(共31张PPT)
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解根式的概念及分数指数幂的含义．
(2)会进行根式与分数指数幂的互化．
(3)掌握根式的运算性质和指数幂的运算性质．
教 材 要 点
要点一 根式及相关概念
1．a的n次方根定义
一般地，如果________，那么x叫做a的n次方根 ，其中n＞1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
3.根式：式子叫做根式，n叫做________，a叫做________．
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 ____________
xn＝a
[0，＋∞)
根指数
被开方数
要点二 根式的性质
(1)0的任何次方根都是0，记作＝________．
(2)()n＝________(n∈N*，且n＞1).
(3)＝a(n为大于1的奇数).
(4)＝|a|＝ (n为大于1的偶数).
0
a
a
－a
要点三 分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 ＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂
＝＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
要点四 有理数指数幂与无理数指数幂
1. 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q).
2．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
ar＋s
ars
arbr
助 学 批 注
批注 求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
批注 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数．
批注 正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根．
批注 分数指数幂是根式的一种表示形式，分数指数不能随意约分，如约分后为 ＝，而在实数范围内是无意义的．
批注 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )
(2)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( )
(3)分数指数幂可以理解为个a相乘．( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
√
√
×
×
2．下列各式正确的是( )
A．＝－4 B．＝m
C．＝3 D．a0＝1
答案：C
解析：根据根式的性质可知，＝4，＝|m|，＝3，
由指数性质可知当a0＝1成立时，需a≠0，则C正确，A、B、D错．
3．已知a>0，则a·＝( )
A． B． C．a2 D．a3
答案：B
解析：因为a>0，所以a·＝＝.
4.－150的值是________．
4
解析：原式＝－1＝5－1＝4.
题型探究·课堂解透
题型 1 根式的化简与求值
例1 (1)[2022·河北石家庄高一期中]若m＝，n＝，则m＋n的值为( )
A．－7 B．－1
C．1 D．7
答案：C
解析：m＋n＝(π－3)＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1，
故选C.
(2)设－3____________________．
解析：原式＝＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
方法归纳
根式化简或求值的策略
巩固训练1 (1)下列各式正确的是( )
A．()3＝a B．()4＝－7
C．()5＝|a| D．＝a
答案：A
解析：()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|.故选A.
(2)化简得_________．
解析：原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；
当x<－3时，原式＝－2x.
6或－2x
题型 2 根式与分数指数幂的互化
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)．
(1) a2； (2) ；
(3) ·；(4)()2·.
解析：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝.
(3)原式＝＝.
(4)原式＝＝·＝·.
方法归纳
根式与分数指数幂互化的2个策略
巩固训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝
＝(x>0)
C．＝
＝(x<0)
答案：B
解析：对A：－＝，故选项A错误；
对B：＝＝(x>0)，故选项B正确；
对C：＝不能化简为，故选项C错误；
对D：因为x<0，所以＝＝＝，故选项D错误．
题型 3 分数指数幂的运算
例3 计算下列各式．
(1)2；
－3π0＋；
.
解析：(1)原式＝＝＝2×3＝6.
(2)原式＝－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝＝＝.
方法归纳
指数幂运算的3个策略
巩固训练3 (1)化简) (a>0，b>0)结果为( )
A．a B．b
C． D．
答案：A
解析：指数幂的运算法则运算，即可求解．
根据实数指数幂的运算公式，可得：
)＝)＝＝a.
(2)计算：＝________．
31＋π
解析：＝8－1＋π－3＋27＝31＋π.
题型 4 指数幂运算中的条件求值
例4 已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解析：(1)将＝4两边平方，
得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
方法归纳
指数幂条件求值问题的一般步骤
巩固训练4 (1)已知10m＝2，10n＝3，求的值．
解析：因为10m＝2，10n＝3，
所以＝＝＝＝.
(2)已知＝3，求的值．
解析：＝3，
∴a＋a－1＝)2－2＝7，
∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47，
∴原式＝＝＝.4．1 指数 4．1.1 n次方根与分数指数幂
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
课程标准
(1)理解根式的概念及分数指数幂的含义．(2)会进行根式与分数指数幂的互化．
(3)掌握根式的运算性质和指数幂的运算性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 根式及相关概念
1．a的n次方根定义
一般地，如果________，那么x叫做a的n次方根 ，其中n＞1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 ____________
3.根式：式子叫做根式，n叫做________，a叫做________．
要点二 根式的性质
(1)0的任何次方根都是0，记作＝________．
(2)()n＝________(n∈N*，且n＞1).
(3)＝a(n为大于1的奇数).
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
要点三 分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 ＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 ＝＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
要点四 有理数指数幂与无理数指数幂
1.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q).
2．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
助学批注
批注 求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
批注 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数．
批注 正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根．
批注 分数指数幂是根式的一种表示形式，分数指数不能随意约分，如约分后为＝，而在实数范围内是无意义的．
批注 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )
(2)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( )
(3)分数指数幂可以理解为个a相乘．( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
2．下列各式正确的是( )
A．＝－4B．＝m
C．＝3D．a0＝1
3．已知a>0，则a·＝( )
A． B．C．a2 D．a3
4.－150的值是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 根式的化简与求值
例1 (1)[2022·河北石家庄高一期中]若m＝，n＝，则m＋n的值为( )
A．－7B．－1
C．1D．7
(2)设－3方法归纳
根式化简或求值的策略
巩固训练1 (1)下列各式正确的是( )
A．()3＝aB．()4＝－7
C．()5＝|a|D．＝a
(2)化简得____________．
题型 2 根式与分数指数幂的互化
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)．
(1)a2；(2) ；
(3) ·；(4)()2·.
方法归纳
根式与分数指数幂互化的2个策略
巩固训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝
＝(x>0)
C．＝
＝(x<0)
题型 3 分数指数幂的运算
例3 计算下列各式．
(1)2；
－3π0＋；
.
方法归纳
指数幂运算的3个策略
巩固训练3 (1)化简)(a>0，b>0)结果为( )
A．aB．b
C．D．
(2)计算：＝________．
题型 4 指数幂运算中的条件求值
例4 已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
方法归纳
指数幂条件求值问题的一般步骤
巩固训练4 (1)已知10m＝2，10n＝3，求的值．
(2)已知＝3，求的值．
4．1.1 n次方根与分数指数幂
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．xn＝a
2．[0，＋∞)
3．根指数 被开方数
要点二
(1)0 (2)a (4)a －a
要点三
要点四
1．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：根据根式的性质可知，＝4，＝|m|，＝3，
由指数性质可知当a0＝1成立时，需a≠0，则C正确，A、B、D错．
答案：C
3．解析：因为a>0，所以a·＝＝.
答案：B
4．解析：原式＝－1＝5－1＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)m＋n＝(π－3)＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1，
故选C.
(2)原式＝＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
答案：(1)C (2)
巩固训练1 解析：(1)()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|.故选A.
(2)原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；
当x<－3时，原式＝－2x.
答案：(1)A (2)6或－2x
例2 解析：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝.
(3)原式＝＝.
(4)原式＝＝·＝·.
巩固训练2 解析：对A：－＝，故选项A错误；
对B：＝＝(x>0)，故选项B正确；
对C：＝不能化简为，故选项C错误；
对D：因为x<0，所以＝＝＝，故选项D错误．
答案：B
例3 解析：(1)原式＝＝＝2×3＝6.
(2)原式＝－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝＝＝.
巩固训练3 解析：(1)指数幂的运算法则运算，即可求解．
根据实数指数幂的运算公式，可得：
)＝)＝＝a.
＝8－1＋π－3＋27＝31＋π.
答案：(1)A (2)31＋π
例4 解析：(1)将＝4两边平方，
得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
巩固训练4 解析：(1)因为10m＝2，10n＝3，
所以＝＝＝＝.
＝3，
∴a＋a－1＝)2－2＝7，
∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47，
∴原式＝＝＝.
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