(共27张PPT)
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(2)能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．
教 材 要 点
要点一 对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________ .
(0，＋∞)
要点二 对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0
图象
定义域 ________ 值域 R (0，＋∞)
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0，1)时，y∈_________；x∈[1，＋∞)时，y∈__________ x∈(0，1)时，y∈________；x∈[1，＋∞)时，y∈_______
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于________对称 (1，0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
要点三 反函数
指数函数______(a>0，且a≠1)与对数函数y＝______________互为反函数 .
y＝ax
logax(a>0且a≠1)
助 学 批 注
批注 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
批注 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
批注 图象关于直线y＝x对称．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝log2x2是对数函数．( )
(2)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )
(3)函数y＝loga(x＋1)的定义域为(0，＋∞)．( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
×
√
×
×
2．对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log5x B．y＝
C．y＝ D．y＝log3x
答案：A
解析：设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．
由于对数函数的图象过点M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝log5x.
3.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B．
C． D．
答案：A
解析：由图可知，a>1.
4．函数f(x)＝log0.5(x－1)的定义域是________．
(1，＋∞)
解析：要使函数f(x)＝log0.5(x－1)有意义就要x－1>0，即x>1，所以函数f(x)＝log0.5(x－1)的定义域是(1，＋∞)．
题型探究·课堂解透
题型 1 对数函数的概念
例1 (1)指出下列函数是对数函数的是( )
A．y＝3log2x B．y＝log6x
C．y＝logx3 D．y＝log2x＋1
答案：B
解析：A中log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
B符合对数函数的结构形式，是对数函数．
C中自变量在底数位置上，不是对数函数．
D中对数式log2x后又加1，不是对数函数．
(2)对数函数f(x)的图象过点(3，－2)，则f()＝________．
解析：设f(x)＝logax，则loga3＝－2，∴a－2＝3，
∴a＝，∴f(x)＝，
∴f()＝＝－1.
－1
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
巩固训练1 已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝________．
1
解析：因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.
题型 2 对数型函数的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
解析：(1)由得－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2)．
(3)由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
方法归纳
求对数型函数的方法
除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
巩固训练2 (1)函数y＝ln (4－x)＋的定义域为( )
A．(0，4) B．(0，4]
C．[0，4) D．[0，4]
答案：C
解析：函数y＝ln (4－x)＋，要使函数有意义可得，
解得0≤x<4，所以函数的定义域为[0，4)．
(2)函数f(x)＝的定义域为______________．
(2，3)
解析：由函数的解析式可知： 2所以函数的定义域为：(2，3)
题型 3 对数函数的图象
例3 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为___________．
b>a>1>d>c
解析：由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若
点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.
方法归纳
解与对数函数图象有关问题的策略
巩固训练3 (1)函数y＝lg (x＋1)的图象大致是( )
解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg (x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．
答案：C
(2)已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(4，－1)
解析： y＝logax的图象恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.第1课时 对数函数的概念、图象及性质
课程标准
(1)理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(2)能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________ .
要点二 对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 ________
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0，1)时，y∈____；x∈[1，＋∞)时，y∈____ x∈(0，1)时，y∈____；x∈[1，＋∞)时，y∈____
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于________对称
要点三 反函数
指数函数______(a>0，且a≠1)与对数函数y＝______互为反函数 .
助学批注
批注 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
批注 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
批注 图象关于直线y＝x对称．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝log2x2是对数函数．( )
(2)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )
(3)函数y＝loga(x＋1)的定义域为(0，＋∞)．( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
2．对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log5xB．y＝
C．y＝D．y＝log3x
3.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5B．
C．D．
4．函数f(x)＝log0.5(x－1)的定义域是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 对数函数的概念
例1 (1)指出下列函数是对数函数的是( )
A．y＝3log2xB．y＝log6x
C．y＝logx3D．y＝log2x＋1
(2)对数函数f(x)的图象过点(3，－2)，则f()＝________．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
巩固训练1 已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝________．
对数型函数的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
方法归纳
求对数型函数的方法
除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
巩固训练2 (1)函数y＝ln (4－x)＋的定义域为( )
A．(0，4) B．(0，4]
C．[0，4) D．[0，4]
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
题型 3 对数函数的图象
例3 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝
logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
方法归纳
解与对数函数图象有关问题的策略
巩固训练3 (1)函数y＝lg (x＋1)的图象大致是( )
(2)已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(0，＋∞)
要点二
(0，＋∞) (1，0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
要点三
y＝ax logax(a>0且a≠1)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．
由于对数函数的图象过点M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝log5x.
答案：A
3．解析：由图可知，a>1.
答案：A
4．解析：要使函数f(x)＝log0.5(x－1)有意义就要x－1>0，即x>1，所以函数f(x)＝log0.5(x－1)的定义域是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
B符合对数函数的结构形式，是对数函数．
C中自变量在底数位置上，不是对数函数．
D中对数式log2x后又加1，不是对数函数．
(2)设f(x)＝logax，则loga3＝－2，∴a－2＝3，
∴a＝，∴f(x)＝，
∴f()＝＝－1.
答案：(1)B (2)－1
巩固训练1 解析：因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.
答案：1
例2 解析：(1)由得－3∴函数的定义域是(－3，3)．
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2)．
(3)由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
巩固训练2 解析：(1)函数y＝ln (4－x)＋，要使函数有意义可得，
解得0≤x<4，所以函数的定义域为[0，4)．
(2)由函数的解析式可知： 2所以函数的定义域为：(2，3)
答案：(1)C (2)(2，3)
例3 解析：(1)由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.
答案：(1)b>a>1>d>c (2)
巩固训练3 解析：(1)由底数大于1可排除A、B，y＝lg (x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．
(2) y＝logax的图象恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
答案：(1)C (2)(4，－1)
1(共25张PPT)
第2课时 对数函数及其性质的应用
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课 程 标 准
(1)进一步理解对数函数的性质．
(2)能运用对数函数的性质解决相关问题．
教 材 要 点
要点 对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为________．
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．
增函数
减函数
助 学 批 注
批注 三看：
(1)看底数是否大于1，
(2)看函数的定义域，
(3)看复合函数的构成．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．( )
(2)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝logax在(0，＋∞)上也是增函数.( )
(3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．( )
(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1).( )
√
√
×
×
2．已知a＝log20.6，b＝log20.8，c＝log21.2，则( )
A．c>b>a B．c>a>b
C．b>c>a D．a>b>c
答案：A
解析：∵y＝log2x在定义域上单调递增，
∴log20.6b>a.
3．函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
答案：A
解析：函数的定义域为(－∞，2)
因为函数y＝2－x在(－∞，2)上为减函数．
又0<<1，所以函数f(x)＝的单调增区间是(－∞，2).
4．不等式log4x≤的解集为________．
(0，2]
解析：由题设，可得：log4x≤log4 ，则0∴不等式解集为(0，2].
题型探究·课堂解透
题型 1 比较对数值的大小
例1 (多选)下列各组的大小关系正确的是( )
B．log1.51.6＞log1.51.4
C．log0.57＜log0.67 D．log3π＞log20.8
答案：BD
解析：A中，因为函数y＝ 是减函数，且0.5<0.6，所以>，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以 < ，即log0.67log31＝0，log20.8log20.8，D正确．
方法归纳
比较对数值大小的三种常用方法
巩固训练1 若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为( )
A．xC．y答案：D
解析：∵4x＝5y＝20，
根据指数与对数的关系和y＝logax(a>1)为增函数：
x＝log420>log416＝2，
y＝log520，由log55∴1可得logxy综上：z题型 2 解对数不等式
例2 已知log0.3(3x)A．(，＋∞) B．(－∞，)
C．(－) D．(0，)
答案：A
解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
方法归纳
对数不等式的2种类型及解法
巩固训练2 已知loga>1，则a的取值范围为________.
(，1)
解析：由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0从而∴a的取值范围是(，1)．
题型 3 对数型复合函数的单调性
例3 若函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案：D
解析：函数f(x)＝ln (ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且 x>1，ax－2>0，
因此，，解得a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
方法归纳
已知对数型函数的单调性求参数的取值范围
一要结合复合函数的单调性规律，二要注意函数的定义域．
巩固训练3 函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D
解析：要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．
题型 4 对数型函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解析：(1)由>0，∴f(x)的定义域为(－4，4)，关于原点对称，
又f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数；
(2)∵t＝＝－1＋在(－4，4)上单调递减，
又当0当a>1时，y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，
∴当0当a>1时，f(x)＝loga在(－4，4)上单调递减．
方法归纳
解决对数型函数性质的策略
巩固训练4 已知奇函数f(x)＝ln .
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明．
解析：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln ＝－ln .
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln (·)＝ln .
∵10，>1，
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．第2课时 对数函数及其性质的应用
课程标准
(1)进一步理解对数函数的性质．(2)能运用对数函数的性质解决相关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为________．
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．
助学批注
批注 三看：
(1)看底数是否大于1，
(2)看函数的定义域，
(3)看复合函数的构成．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．( )
(2)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝logax在(0，＋∞)上也是增函数.( )
(3)lnx＜1的解集为(－∞，e)．( )
(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1).( )
2．已知a＝log20.6，b＝log20.8，c＝log21.2，则( )
A．c>b>aB．c>a>b
C．b>c>aD．a>b>c
3．函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
4．不等式log4x≤的解集为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 比较对数值的大小
例1 (多选)下列各组的大小关系正确的是( )
B．log1.51.6＞log1.51.4
C．log0.57＜log0.67D．log3π＞log20.8
方法归纳
比较对数值大小的三种常用方法
巩固训练1 若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为( )
A．xC．y题型 2 解对数不等式
例2 已知log0.3(3x)A．(，＋∞) B．(－∞，)
C．(－) D．(0，)
方法归纳
对数不等式的2种类型及解法
巩固训练2 已知loga>1，则a的取值范围为________.
题型 3 对数型复合函数的单调性
例3 若函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
方法归纳
已知对数型函数的单调性求参数的取值范围
一要结合复合函数的单调性规律，二要注意函数的定义域．
巩固训练3 函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
题型 4 对数型函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性．
方法归纳
解决对数型函数性质的策略
巩固训练4 已知奇函数f(x)＝ln.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明．
第2课时 对数函数及其性质的应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
增函数 减函数
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：∵y＝log2x在定义域上单调递增，
∴log20.6b>a.
答案：A
3．解析：函数的定义域为(－∞，2)
因为函数y＝2－x在(－∞，2)上为减函数．
又0<<1，所以函数f(x)＝的单调增区间是(－∞，2).
答案：A
4．解析：由题设，可得：log4x≤log4，则0∴不等式解集为(0，2].
答案：(0，2]
题型探究·课堂解透
例1 解析：A中，因为函数y＝是减函数，且0.5<0.6，所以>，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67log31＝0，log20.8log20.8，D正确．
答案：BD
巩固训练1 解析：∵4x＝5y＝20，
根据指数与对数的关系和y＝logax(a>1)为增函数：
x＝log420>log416＝2，
y＝log520，由log55∴1可得logxy综上：z答案：D
例2 解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
答案：A
巩固训练2 解析：由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0从而∴a的取值范围是(，1)．
答案：(，1)
例3 解析：函数f(x)＝ln (ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝lnu在(0，＋∞)上单调递增，
而函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且 x>1，ax－2>0，
因此，，解得a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
答案：D
巩固训练3 解析：要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．
答案：D
例4 解析：(1)由>0，∴f(x)的定义域为(－4，4)，关于原点对称，
又f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数；
(2)∵t＝＝－1＋在(－4，4)上单调递减，
又当0当a>1时，y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，
∴当0当a>1时，f(x)＝loga在(－4，4)上单调递减．
巩固训练4 解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即ln＝－ln.
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：由(1)得f(x)＝ln，x∈(－∞，－1)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln (·)＝ln.
∵10，>1，
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
2(共23张PPT)
4.4.3 不同函数增长的差异
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．(2)会根据函数的增长差异选择函数模型．
教 材 要 点
要点 三种常见函数模型的增长差异
函数性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性 ________ ________ ________
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大逐 渐趋于稳定 增长速度
不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过________的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有________ 增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有________ 增函数
增函数
增函数
y＝kx(k>0)
logaxax>kx>logax
助 学 批 注
批注 其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
批注 其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
(2)对任意的x>0，kx>logax.( )
(3)对任意的x>0，ax>logax.( )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( )
√
×
×
√
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是 ( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
答案：A
解析：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
3．下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝x10 D．y＝2x
答案：A
解析：指数函数增长最快．
4．下列选项是四种生意预期的效益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)
①y＝10×1.05x；
②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg (x＋1)；
④y＝50.
①
题型探究·课堂解透
题型 1 函数模型的增长差异
例1 [2022·福建三明高一期末]当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝100x B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝x100
答案：B
解析：因为指数函数y＝()x的增长是爆炸式的，虽然底数较小，但当x越来越大时，增长速度最快．
方法归纳
比较函数增长情况的3种方法
巩固训练1 有一组数据如下表：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝
C．v＝ D．v＝2t－2
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
答案：C
解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D.
题型 2 函数模型的比较
例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一
个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 022)，
g(2 022)的大小．
解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，x≥0，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)．
所以1由图象知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(8)所以f(2 022)>g(2 022)>g(8)>f(8)．
方法归纳
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
巩固训练2 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，
C2对应的函数为f(x)＝ln x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
题型 3 函数模型的选取
例3 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少．
解析：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，所以把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得
解得所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])．
因为y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，
所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是 L.
方法归纳
不同函数模型的选取标准
巩固训练3 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．4.4.3 不同函数增长的差异
课程标准
(1)了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．(2)会根据函数的增长差异选择函数模型．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 三种常见函数模型的增长差异
函数性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性 ________ ________ ________
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大逐 渐趋于稳定 增长速度 不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过________的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有________
增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有________
助学批注
批注 其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
批注 其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
(2)对任意的x>0，kx>logax.( )
(3)对任意的x>0，ax>logax.( )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( )
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是 ( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A．y＝exB．y＝lnx
C．y＝x10D．y＝2x
4．下列选项是四种生意预期的效益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)
①y＝10×1.05x；
②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg (x＋1)；
④y＝50.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 函数模型的增长差异
例1 [2022·福建三明高一期末]当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝100xB．y＝()x
C．y＝log2xD．y＝x100
方法归纳
比较函数增长情况的3种方法
巩固训练1 有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2tB．v＝
C．v＝D．v＝2t－2
题型 2 函数模型的比较
例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两函数的图象交
于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2022)，g(2022)的大小．
方法归纳
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
巩固训练2
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
题型 3 函数模型的选取
例3 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少．
方法归纳
不同函数模型的选取标准
巩固训练3 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
4.4.3 不同函数增长的差异
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
增函数 增函数 增函数 y＝kx(k>0) logaxkx>logax
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
答案：A
3．解析：指数函数增长最快．
答案：A
4．答案：①
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为指数函数y＝()x的增长是爆炸式的，虽然底数较小，但当x越来越大时，增长速度最快．
答案：B
巩固训练1 解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D.
答案：C
例2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，x≥0，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)．
所以1由图象知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(8)所以f(2022)>g(2022)>g(8)>f(8)．
巩固训练2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lnx.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
例3 解析：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，所以把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得
解得所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])．
因为y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，
所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是L.
巩固训练3 解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
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