4.5.1 函数的零点与方程的解
课程标准
(1)理解零点的概念．(2)了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数．(3)能够利用零点的存在解决含参问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 函数的零点
1．零点的定义
对于函数y＝f(x)，把________________，叫做函数y＝f(x)的零点 .
2．方程的根与函数零点的关系
要点二 函数的零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内____________________，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
助学批注
批注 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
批注 函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( )
(3)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( )
(4)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( )
2.
函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的零点为( )
A．1B．2
C．(0，1) D．(2，0)
3．函数f(x)＝x＋1零点所在的区间是( )
A．(－3，0) B．(0，2) C．(1，3) D．(2，4)
4．f(x)＝x2－3x－4的零点是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 求函数的零点(方程的根)
例1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x3＋8；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
方法归纳
求函数零点的2种方法
巩固训练1 (1)如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，2B．0，
C．0，－D．2，－
(2)函数y＝log2x－1的零点是________．
题型 2 判断零点所在的区间
例2 (1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的区间为( )
A．(0，) B．()
C．() D．(，1)
(2)f(x)＝x＋3x的零点所在区间为(a，a＋1)，(a∈Z)则a＝________．
方法归纳
判断函数零点所在区间的一般步骤
巩固训练2 函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在区间为( )
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
题型 3 函数零点个数的判断
例3 (1)函数f(x)＝x3－()x的零点个数为( )
A．0 B．1C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
方法归纳
1．判断函数零点的个数的3种方法
2．根据函数零点个数求参数范围的方法
将函数零点问题转化为图象交点问题，画出函数的图象，从而确定参数的范围．
巩固训练3 (1)函数y＝的零点个数为________．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
4.5.1 函数的零点与方程的解
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．使f(x)＝0的实数x 2.交点的横坐标 零点
要点二
连续不断 f(a)f(b)<0 至少有一个零点 f(c)＝0
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：根据函数f(x)的图象，可知f(x)与x轴的交点为(2，0)，所以函数f(x)的零点为2.
答案：B
3．解析：令f(x)＝x＋1＝0可得x＝－2，
因为－2∈(－3，0)，
所以函数f(x)＝x＋1零点所在的区间是(－3，0)．
答案：A
4．解析：由f(x)＝x2－3x－4＝0，即(x－4)(x＋1)＝0，
解得x1＝4，x2＝－1.
答案：4，－1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)令x3＋8＝0，得x＝－2，所以函数f(x)＝x3＋8的零点为－2.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，3)令＝0，得x＋2＝0或lnx＝0，
所以x＝－2(舍去)或x＝1，
所以函数f(x)＝的零点为1.
(3)当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lgx＝0，得x＝1，满足要求．
所以函数f(x)的零点是－2，1.
巩固训练1 解析：(1)由题意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．由g(x)＝0得x＝0或－，故函数g(x)的零点是0，－.
(2)令y＝log2x－1＝0，log2x＝1即log2x＝log22，解得x＝2，即函数零点为2.
答案：(1)C (2)2
例2 解析：(1)函数f(x)＝ex＋2x－3的定义域为R.
因为函数y＝ex，y＝2x－3均为增函数，所以f(x)＝ex＋2x－3为R上的增函数．
又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，
f()＝＝<0，
f()＝＋2×－3＝－2<0，f()＝＋2×－3＝>>0.
由零点存在定理可得：f(x)的零点所在的区间为()．
(2)因为f(x)是定义域为R的连续函数，且y＝x与y＝3x在R上均为增函数，
所以f(x)在R上为增函数，
又f(－1)<0，f(0)>0，
所以f(－1)·f(0)<0，
即零点在区间(－1，0)内，
所以a＝－1.
答案：(1)C (2)－1
巩固训练2 解析：函数f(x)＝log2x＋2x－1可看成两个函数y＝log2x(x>0)和y＝2x－1组成，
两函数在(0，＋∞)上，都是增函数，
故函数f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上也是单调递增的，
所以f()＝log2＋2×－1＝－1＋1－1＝－1<0，
而f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1>0，
由零点存在性定理可得，函数f(x)＝log2x＋2x－1零点所在区间为(，1)．
答案：B
例3 解析：(1)根据题意，x3－()x＝0，故x3＝()x，
故函数y＝x3与y＝()x的图象如图，
由于函数y＝x3与y＝()x的图象只有一个交点，
所以方程x3＝()x有且只有一个实数根，
所以函数f(x)＝x3－()x的零点个数为1个．
(2)问题可以转化为函数f(x)＝的图象与直线y＝m有3个交点，如图所示：
所以m∈(－1，0]时满足题意．
答案：(1)B (2)(－1，0]
巩固训练3 解析：(1)当x≤0时，x2＋2x－1＝0 x1＝－－1，x2＝－1，
∵x2>0，故此时零点为x1＝－－1；
当x＞0时，y＝lgx＋2x－3在(0，＋∞)上单调递增，
当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1，2)之间有唯一零点；
综上，函数y在R上共有2个零点．
(2)令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0答案：(1)2 (2)(0，2)
1(共20张PPT)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(2)了解二分法求解方程近似解的步骤．(3)进一步加深对函数零点存在定理的理解．
教 材 要 点
要点 用二分法求方程的近似解
1．二分法
对于在区间[a，b]上_____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .
图象连续不断且f(a)f(b)＜0
一分为二
零点
2．给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤
第一步：确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
第二步：求区间(a，b)的中点c.
第三步：计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间．
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．
助 学 批 注
批注 二分法就是通过不断地将所选区间[a，b]一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用二分法可求所有函数零点的近似值．( )
(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．( )
(3)二分法无规律可循．( )
(4)只有在求函数的零点时才用二分法．( )
×
√
×
×
2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
答案：C
解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
答案：A
解析：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f(a)·f(b)<0.
由于本题中函数f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3，f(1)＝6，显然满足f(－2)·f(1)<0，
故函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是[－2，1].
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈________(填区间)．
(0，)
解析：f()＝()3＋3×－1＝>0，f(0)·f()<0，
所以下一次计算可得x0∈(0，)．
题型探究·课堂解透
题型 1 二分法的概念
例1 下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
答案：B
解析：由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值．
方法归纳
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据
函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
巩固训练1 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
答案：D
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3.
题型 2 用二分法求函数零点的近似值
例2 (1)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如下表所示
那么函数f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )
A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007
答案：B
解析：函数f(x)＝x－()x在R上单调递增，
由数表知：f(0.5)由零点存在性定义知，函数f(x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f(x)的一个零点的近似值为0.57.
(2)用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值时，若第一次所取的区间是[0，m]，则第三次所取的区间可能是________________________________________．(只需写出满足条件的一个区间即可)
解析：由第一次所取的区间是[0，m]，取该区间的中点，所以第二次所取的区间[0，]或[，m]，区间[0，]的中点，区间[，m]的中点，
所以第三次所取的区间可能是[0，]或[]或[]或[，m].
[0，]或[]或[]或[，m](写一个即可)
方法归纳
用二分法求函数零点近似值的关注点
巩固训练2 (1)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)
答案：B
解析：由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，
即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)
(2)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝________(精确到0.1)．
f(1)<0 f(1.5)>0
f(1.25)<0 f(1.375)>0
f(1.312 5)<0 f(1.343 75)>0
解析：由题可得f(1.312 5)<0，f(1.343 75)>0，
所以函数零点所在区间(1.312 5，1.343 75)
因为精确到0.1，所以其近似解为1.3.
1.34.5.2 用二分法求方程的近似解
课程标准
(1)通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(2)了解二分法求解方程近似解的步骤．(3)进一步加深对函数零点存在定理的理解．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 用二分法求方程的近似解
1．二分法
对于在区间[a，b]上________________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .
2．给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤
第一步：确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
第二步：求区间(a，b)的中点c.
第三步：计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间．
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．
助学批注
批注 二分法就是通过不断地将所选区间[a，b]一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用二分法可求所有函数零点的近似值．( )
(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．( )
(3)二分法无规律可循．( )
(4)只有在求函数的零点时才用二分法．( )
2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1B．x2
C．x3D．x4
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈________(填区间)．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 二分法的概念
例1 下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
方法归纳
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据
函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
巩固训练1 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
题型 2 用二分法求函数零点的近似值
例2 (1)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如下表所示
x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625
f(x) 0.6321 －0.1065 0.2776 0.0897 －0.007
那么函数f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )
A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.7
(2)用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值时，若第一次所取的区间是[0，m]，则第三次所取的区间可能是________．(只需写出满足条件的一个区间即可)
方法归纳
用二分法求函数零点近似值的关注点
巩固训练2 (1)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)
(2)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝________(精确到0.1)．
f(1)<0 f(1.5)>0
f(1.25)<0 f(1.375)>0
f(1.3125)<0 f(1.34375)>0
4.5.2 用二分法求方程的近似解
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．图象连续不断且f(a)f(b)＜0 一分为二 零点
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．
答案：C
3．解析：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f(a)·f(b)<0.
由于本题中函数f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3，f(1)＝6，显然满足f(－2)·f(1)<0，
故函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是[－2，1].
答案：A
4．解析：f()＝()3＋3×－1＝>0，f(0)·f()<0，
所以下一次计算可得x0∈(0，)．
答案：(0，)
题型探究·课堂解透
例1 解析：由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值．
答案：B
巩固训练1 解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3.
答案：D
例2 解析：(1)函数f(x)＝x－()x在R上单调递增，
由数表知：f(0.5)由零点存在性定义知，函数f(x)的零点在区间(0.5625，0.625)内，所以函数f(x)的一个零点的近似值为0.57.
(2)由第一次所取的区间是[0，m]，取该区间的中点，所以第二次所取的区间[0，]或[，m]，
区间[0，]的中点，区间[，m]的中点，
所以第三次所取的区间可能是[0，]或[]或[]或[，m].
答案：(1)B (2)[0，]或[]或[]或[，m](写一个即可)．
巩固训练2 解析：(1)由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，
即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，
(2)由题可得f(1.3125)<0，f(1.34375)>0，
所以函数零点所在区间(1.3125，1.34375)
因为精确到0.1，所以其近似解为1.3.
答案：(1)B (2)1.3
1(共27张PPT)
4.5.3 函数模型的应用
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．(2)能建立函数模型解决实际问题．
教 材 要 点
要点 常用函数模型
常见函数模型 指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
助 学 批 注
批注 有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．
批注 对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，再根据实际问题求解．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( )
(2)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )
×
×
×
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案：D
解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
3．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
答案：B
解析：设平均每年降低成本x，(1－x)2＝1－36%＝0.64，
解得x＝0.2＝20%或x＝1.8＝180%(舍去)．
4．已知函数t＝－144lg (1－)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．
144
解析：当N＝90时，t＝－144lg (1－)＝144.
题型探究·课堂解透
题型 1 指数函数模型
例1 某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)；另一个是同学乙提出的y＝＋k(p>0，k>0)，记2021年元旦最初测量时间x的值为0.
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：(1)因为两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上都是增函数．
随着x的增大，y＝kax(k>0，a>1)的函数值增加的越来越快，而y＝＋k(p>0，k>0)的函数值增加的越来越慢．
因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快，
所以，甲同学提出的函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意知，解得，，
所以，y＝·()x
(2)一月底水深植物面积为·()1＝，
由·()x>10×，解得.
又＝1＋＝1＋＝1＋≈1＋≈5.5
故x≥6.
所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．
方法归纳
指数型函数应用题的解题步骤
巩固训练1 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点(结果取整数)开车才不构成酒后驾车？( )
(参考数据：lg 3≈0.477)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：B
解析：设他至少经过t小时才可以驾车，
则0.6×100(1－10%)t＜20，
即3×<1，即t×lg ＜lg ，
所以t＞≈10，
所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选B.
题型 2 对数函数模型
例2 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：v＝ωln ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，m0和mk分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完 )时的质量．被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．(参考数据：ln 2≈0.69，无理数e＝2.718 28…)
解析：(1)∵ω＝2，m0＝160，mk＝40，
∴v＝ωln ＝2×ln ＝2ln 4＝4ln 2≈2.8，
∴该单级火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．
(2)∵≤10，ω＝2，
∴vmax＝ωln ＝2ln 10，
∵e7.9>27.9>27＝128，
∴7.9＝ln e7.9>ln 128>ln 100＝2ln 10，
∴vmax＝2ln 10<7.9.
∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒．
方法归纳
对数函数模型应用题的求解策略
首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
巩固训练2 进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵．经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log2，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？(lg 2≈0.3)
(2)某条湟鱼想把游速提高1 m/s，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
解析：(1)由题意，游速为v＝log2＝log25＝＝－1)＝－1)≈1.17 m/s.
(2)设原来和现在耗氧量的单位数分别为θ1，θ2，所以log2log2＝1 log2＝2 ＝4，所以耗氧量的单位数是原来的4倍．
题型 3 拟合函数模型的应用题
例3 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1 min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.36 60.42
设茶水温度从85 ℃开始，经过t min后温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①y＝kat＋b；②y＝at2＋bt＋c.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感，根据(1)中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
解析：(1)由表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，就不再下降，所以选择模型①y＝kat＋b：
由前 3 组数据可得，解得，
所以函数模型为y＝60×0.9t＋25.
(2)由题意可知60×0.9t＋25＝55，即0.9t＝0.5，
所以t＝log0.90.5＝＝≈7.5，所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感．
方法归纳
通过收集数据直接解决问题的一般步骤
巩固训练3 甲地到乙地的距离大约为240 km，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：
①Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v；
②Q＝0.5v＋2×10－3；
③Q＝2log2.6v－4.16×10－3.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
解析：(1)依题意，所选的函数必须满足两个条件：
定义域为[0，120]，且在区间[0，120]上单调递增．
由于模型③Q＝2log2.6v－4.16×10－3定义域不可能是[0，120].
而模型②Q＝0.5v＋2×10－3在区间[0，120]上是减函数．
因此，最符合实际的模型为①Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v.
(2)设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有y＝Qt.
∵Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v，t＝，
∴y＝Qt＝240(2.6×10－5v2－4.16×10－3v＋2.914×10－1)，
它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为v＝80，且80∈[0，120]，
∴当v＝80时，y有最小值．
由题设表格知，当v＝80时，Q＝10，t＝3，y＝30 L.
∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80 km/h的速度行驶时能使总耗油量最少．4.5.3 函数模型的应用
课程标准
(1)在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．(2)能建立函数模型解决实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 常用函数模型
常见函数模型
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
助学批注
批注 有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．
批注 对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，再根据实际问题求解．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( )
(2)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( )
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2xB．y＝2x－1
C．y＝2xD．y＝2x＋1
3．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18%B．20%
C．24%D．36%
4．已知函数t＝－144lg (1－)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 指数函数模型
例1 某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为km2，二月底测得该水生植物的面积为24m2，三月底测得该水生植物的面积为40m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)；另一个是同学乙提出的y＝＋k(p>0，k>0)，记2021年元旦最初测量时间x的值为0.
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
方法归纳
指数型函数应用题的解题步骤
巩固训练1 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点(结果取整数)开车才不构成酒后驾车？( )
(参考数据：lg3≈0.477)
A．6 B．7C．8 D．9
题型 2 对数函数模型
例2 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：v＝ωln，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，m0和mk分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完 )时的质量．被称为火箭的质量比．
(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．(参考数据：ln2≈0.69，无理数e＝2.71828…)
方法归纳
对数函数模型应用题的求解策略
首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
巩固训练2 进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵．经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log2，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？(lg2≈0.3)
(2)某条湟鱼想把游速提高1m/s，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
题型 3 拟合函数模型的应用题
例3 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.36 60.42
设茶水温度从85℃开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①y＝kat＋b；②y＝at2＋bt＋c.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据(1)中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
方法归纳
通过收集数据直接解决问题的一般步骤
巩固训练3 甲地到乙地的距离大约为240km，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：
①Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v；
②Q＝0.5v＋2×10－3；
③Q＝2log2.6v－4.16×10－3.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
4.5.3 函数模型的应用
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
答案：D
3．解析：设平均每年降低成本x，(1－x)2＝1－36%＝0.64，
解得x＝0.2＝20%或x＝1.8＝180%(舍去)．
答案：B
4．解析：当N＝90时，t＝－144lg (1－)＝144.
答案：144
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上都是增函数．
随着x的增大，y＝kax(k>0，a>1)的函数值增加的越来越快，而y＝＋k(p>0，k>0)的函数值增加的越来越慢．
因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快，
所以，甲同学提出的函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意知，解得，，
所以，y＝·()x
(2)一月底水深植物面积为·()1＝，
由·()x>10×，解得.
又＝1＋＝1＋＝1＋≈1＋≈5.5
故x≥6.
所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．
巩固训练1 解析：设他至少经过t小时才可以驾车，
则0.6×100(1－10%)t＜20，
即3×<1，即t×lg＜lg，
所以t＞≈10，
所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选B.
答案：B
例2 解析：(1)∵ω＝2，m0＝160，mk＝40，
∴v＝ωln＝2×ln＝2ln4＝4ln2≈2.8，
∴该单级火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．
(2)∵≤10，ω＝2，
∴vmax＝ωln＝2ln10，
∵e7.9>27.9>27＝128，
∴7.9＝lne7.9>ln128>ln100＝2ln10，
∴vmax＝2ln10<7.9.
∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒．
巩固训练2 解析：(1)由题意，游速为v＝log2＝log25＝＝－1)＝－1)≈1.17m/s.
(2)设原来和现在耗氧量的单位数分别为θ1，θ2，所以log2log2＝1 log2＝2 ＝4，所以耗氧量的单位数是原来的4倍．
例3 解析：(1)由表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，就不再下降，所以选择模型①y＝kat＋b：
由前3组数据可得，解得，
所以函数模型为y＝60×0.9t＋25.
(2)由题意可知60×0.9t＋25＝55，即0.9t＝0.5，
所以t＝log0.90.5＝＝≈7.5，所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳饮用口感．
巩固训练3 解析：(1)依题意，所选的函数必须满足两个条件：
定义域为[0，120]，且在区间[0，120]上单调递增．
由于模型③Q＝2log2.6v－4.16×10－3定义域不可能是[0，120].
而模型②Q＝0.5v＋2×10－3在区间[0，120]上是减函数．
因此，最符合实际的模型为①Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v.
(2)设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有y＝Qt.
∵Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v，t＝，
∴y＝Qt＝240(2.6×10－5v2－4.16×10－3v＋2.914×10－1)，
它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为v＝80，且80∈[0，120]，
∴当v＝80时，y有最小值．
由题设表格知，当v＝80时，Q＝10，t＝3，y＝30L.
∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行驶时能使总耗油量最少．
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