(共31张PPT)
5.1.1 任意角
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．(2)理解象限角的概念．(3)理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合．
教 材 要 点
要点一 任意角
1．角的概念：角可以看成平面内一条 _______绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：________，终边：__________ ，顶点O.
射线
OA
OB
3. 角的分类 ：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
零角 一条射线_______做任何旋转形成的角
逆时针
顺时针
没有
要点二 角的加法与减法
(1)如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是______．
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，于是有α－β＝_________．
α＋β
α＋(－β)
要点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与_____________重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几________；如果角的终边在________，就认为这个角不属于任何一个象限．
要点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
x轴的非负半轴
象限角
坐标轴上
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
助 学 批 注
批注 要注意由旋转方向来确定角的符号．
批注 正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．
批注 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小．
批注 (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．
(2)k ·360 °与α中间要用“＋”连接，k ·360 °－α可理解成k ·360 °＋(－α).
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)第一象限角都是锐角．( )
(2)第二象限角是钝角．( )
(3)终边与始边重合的角为零角．( )
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )
×
×
×
√
2．手表时针走1小时转过的角度是( )
A．60° B．－60° C．30° D．－30°
答案：D
解析：－×360°＝－30°.故选D.
3．与53°角终边相同的角是( )
A．127° B．233°
C．－307° D．－127°
答案：C
解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.故选C.
4．2 022°是第________象限角．
三
解析：∵2 022°＝360°×5＋222°，180°<222°<270°.
∴2 022°是第三象限角．
题型探究·课堂解透
题型 1 任意角的概念
例1 (1)(多选)下列说法，不正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
答案：ACD
解析：A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；
D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．
故选ACD.
(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是( )
A．10° B．15° C．30° D．－30°
解析：分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.
答案：B
方法归纳
解决与角的概念有关问题的策略
巩固训练1 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
答案：B
解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
题型 2 终边相同角的表示
例2 (1)与－2 022°终边相同的最小正角是( )
A．138° B．132° C．58° D．42°
解析：由－2 022°＝－360°×6＋138°，
所以与－2022°终边相同的最小正角是138°.
答案：A
(2)写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
解析：60°终边所在的集合S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．
k＝－1时，β＝－300°；k＝0时，β＝60°；k＝1时，β＝420°；
S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β为－300°，60°，420°.
方法归纳
在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤
巩固训练2 (1)与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
解析：因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
答案：C
(2)终边落在x轴上的角的集合为____________________．
{β|β＝k·180°，k∈Z}
解析：在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
题型 3 象限角及区域角的表示
例3 (1)(多选)若α是第一象限角，则角在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：AC
解析：(1)(法一)∵α是第一象限角，
∴k·360°<α∴k·180°<①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，
得n·360°<②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，
得n·360°＋180°<综合①②知，是第一或第三象限角．
(法二)如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即的终边所在的区域，故是第一或第三象限角．
(2)写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．
方法归纳
1．确定角nα或所在象限的2种方法
2．表示区域角的一般步骤
巩固训练3 (1)已知α是锐角，那么2α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．小于180°的正角
D．第一或第二象限角
答案：C
解析：因为α是锐角，所以α∈，所以2α∈(0，π)，满足小于180°的正角．其中D选项不包括90°，故错误．
故选C.
(2)写出角α的终边在下列位置时的集合S.
ⅰ.角α的终边在如图①所示的阴影中(包括边界)；
ⅱ.角α的终边在如图②示的阴影中(包括边界).
解析：ⅰ.角的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界)，
角α的集合为：S＝{α|k·360°＋90°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋90°≤α≤k·180°＋120°，k∈Z}；
ⅱ.角的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界)．
角α的集合为S＝{α|－60°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}．5.1.1 任意角
课程标准
(1)了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．(2)理解象限角的概念．(3)理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 任意角
1．角的概念：角可以看成平面内一条__________绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：________，终边：__________，顶点O.
3.角的分类 ：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
零角 一条射线__________做任何旋转形成的角
要点二 角的加法与减法
(1)如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是____________．
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，于是有α－β＝____________．
要点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与________________重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几________；如果角的终边在____________，就认为这个角不属于任何一个象限．
要点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
助学批注
批注 要注意由旋转方向来确定角的符号．
批注 正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．
批注 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小．
批注 (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．
(2)k ·360 °与α中间要用“＋”连接，k ·360 °－α可理解成k ·360 °＋(－α).
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)第一象限角都是锐角．( )
(2)第二象限角是钝角．( )
(3)终边与始边重合的角为零角．( )
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )
2．手表时针走1小时转过的角度是( )
A．60° B．－60°C．30° D．－30°
3．与53°角终边相同的角是( )
A．127°B．233°
C．－307°D．－127°
4．2022°是第________象限角．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 任意角的概念
例1 (1)(多选)下列说法，不正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是( )
A．10° B．15° C．30° D．－30°
方法归纳
解决与角的概念有关问题的策略
巩固训练1 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A．60°，720°B．－60°，－720°
C．－30°，－360°D．－60°，720°
题型 2 终边相同角的表示
例2 (1)与－2022°终边相同的最小正角是( )
A．138°B．132°C．58°D．42°
(2)写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
方法归纳
在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤
巩固训练2 (1)与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
(2)终边落在x轴上的角的集合为____________．
题型 3 象限角及区域角的表示
例3 (1)(多选)若α是第一象限角，则角在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
(2)写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．
方法归纳
1．确定角nα或所在象限的2种方法
2．表示区域角的一般步骤
巩固训练3 (1)已知α是锐角，那么2α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．小于180°的正角
D．第一或第二象限角
(2)写出角α的终边在下列位置时的集合S.
ⅰ.角α的终边在如图①所示的阴影中(包括边界)；
ⅱ.角α的终边在如图②示的阴影中(包括边界).
5.1.1 任意角
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．射线
2．OA OB
3．逆时针 顺时针 没有
要点二
α＋β α＋(－β)
要点三
x轴的非负半轴 象限角 坐标轴上
要点四
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：－×360°＝－30°.故选D.
答案：D
3．解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.故选C.
答案：C
4．解析：∵2022°＝360°×5＋222°，180°<222°<270°.
∴2022°是第三象限角．
答案：三
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；
D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．
故选ACD.
(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.
答案：(1)ACD (2)B
巩固训练1 解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
答案：B
例2 解析：(1)由－2022°＝－360°×6＋138°，
所以与－2022°终边相同的最小正角是138°.
(2)60°终边所在的集合S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．
k＝－1时，β＝－300°；k＝0时，β＝60°；k＝1时，β＝420°；
S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β为－300°，60°，420°.
答案：(1)A (2)见解析
巩固训练2 解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
答案：(1)C (2){β|β＝k·180°，k∈Z}
例3 解析：(1)(法一)∵α是第一象限角，
∴k·360°<α∴k·180°<①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，
得n·360°<②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，
得n·360°＋180°<综合①②知，是第一或第三象限角．
(法二)如图
，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即的终边所在的区域，故是第一或第三象限角．
(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．
巩固训练3 解析：(1)因为α是锐角，所以α∈，所以2α∈(0，π)，满足小于180°的正角．
其中D选项不包括90°，故错误．
故选C.
(2)ⅰ.角的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界)，
角α的集合为：S＝{α|k·360°＋90°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋90°≤α≤k·180°＋120°，k∈Z}；
ⅱ.角的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界)．
角α的集合为S＝{α|－60°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}．
答案：(1)C (2)见解析
1(共28张PPT)
5.1.2 弧度制
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解弧度制的概念．(2)能进行角度与弧度的互化．(3)会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式．
教 材 要 点
要点一 弧度制
1．度量角的两种单位制
角度制 定义 用________作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的________
弧度制 定义 以________作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角
度
弧度
半径长
2.弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个________．
(2)负角：负角的弧度数是一个________．
(3)零角：零角的弧度数是________．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .
正数
负数
0
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ 2π rad＝________
180°＝________ π rad＝________
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝（）°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×（）°＝度数
2π rad
360°
π rad
180°
要点二 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α（0＜α＜2π）为其圆心角 ，则
(1)弧长公式：l＝_______．
(2)扇形面积公式：S＝__________＝__________．
αR
lR
αR2
助 学 批 注
批注 角度制是以“度”为单位，单位不能省略．
批注 弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略．
批注 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．
批注 要注意α的单位是“弧度”．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等．( )
(2)用弧度来表示的角都是正角．( )
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(4)若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．( )
×
×
√
×
2．把60°化为弧度是( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵1°＝，∴60°＝60×＝.
3.弧度等于( )
A．120° B．150° C．210° D．240°
答案：C
解析：＝×180°＝210°.
4．已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是______．
4
解析：l＝αR＝2×2＝4.
题型探究·课堂解透
题型 1 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20° (2)－15° (3)－
解析：(1)20°＝20×＝；
(2)－15°＝－15×＝－；
(3)－＝－＝－396°.
方法归纳
角度制与弧度制的互化的方法
度数×＝弧度数；弧度数×（）°＝度数．
巩固训练1 (1)－660°＝( )
A．－π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
答案：C
解析：－660°＝－660× rad＝－π rad.
故选C.
(2)π＝____________(化为角度)
105°
解析：因为1 rad＝°，所以π＝π×°＝×180°＝105°.
题型 2 用弧度制表示终边相同的角
例2 在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)在区间[－720°，－360°)内的角．
解析：(1)∵495°＝，∴与495°角终边相同的角为2kπ＋π，k∈Z.
由－2π<2kπ＋<0且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－；
(2)由0<2kπ＋<2π且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为；
(3)由－4π≤2kπ＋<－2π且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－.
方法归纳
用弧度制表示终边相同的角的2个关注点
巩固训练2 用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解析：对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图②，同理可得，所求集合为
＝.
题型 3 弧长公式与扇形面积公式的应用
例3 (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有
将①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad)．∴θ＝ rad.
题型 3 弧长公式与扇形面积公式的应用
例3 (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
解析：设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为R cm，面积为S cm2.
∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αR＝×20＝8π(cm)．
∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．
题型 3 弧长公式与扇形面积公式的应用
例3 (3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析： 设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当r＝10时，扇形的面积最大．
这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.
方法归纳
扇形的弧长和面积的求解策略
巩固训练3 (1)已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为( )
A．π B．2π C．3 D．6
答案：B
解析：设扇形的弧长为l，半径为r，根据已知的扇形的圆心角α＝，面积S＝3π，由扇形的面积公式S＝αr2，得3π＝×r2，解得r＝3，
由弧长公式l＝αr＝×3＝2π.
(2)已知弧长为30 cm的弧所对的圆心角为150°，则这段弧所在圆的
半径为________cm.
解析：由弧长公式l＝αr，其中l为圆心角为α，半径为r的圆弧长，
因为圆心角为150°，即α＝，
30＝r，所以r＝cm.5.1.2 弧度制
课程标准
(1)理解弧度制的概念．(2)能进行角度与弧度的互化．(3)会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 弧度制
1．度量角的两种单位制
角度制 定义 用________作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的________
弧度制 定义 以________作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角
2.弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个________．
(2)负角：负角的弧度数是一个________．
(3)零角：零角的弧度数是________．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ 2πrad＝________
180°＝________ πrad＝________
1°＝rad≈0.01745rad 1rad＝（）°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×（）°＝度数
要点二 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l， ，则
(1)弧长公式：l＝____________．
(2)扇形面积公式：S＝__________＝__________．
助学批注
批注 角度制是以“度”为单位，单位不能省略．
批注 弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略．
批注 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．
批注 要注意α的单位是“弧度”．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1rad的角和1°的角大小相等．( )
(2)用弧度来表示的角都是正角．( )
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(4)若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．( )
2．把60°化为弧度是( )
A．B．C．D．
3.弧度等于( )
A．120°B．150°C．210°D．240°
4．已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是____________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20° (2)－15° (3)－
方法归纳
角度制与弧度制的互化的方法
度数×＝弧度数；弧度数×（）°＝度数．
巩固训练1 (1)－660°＝( )
A．－πradB．－πrad
C．－πradD．－πrad
(2)π＝____________(化为角度)
题型 2 用弧度制表示终边相同的角
例2 在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)在区间[－720°，－360°)内的角．
方法归纳
用弧度制表示终边相同的角的2个关注点
巩固训练2 用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
题型 3 弧长公式与扇形面积公式的应用
例3 (1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．
(3)已知一扇形的周长为40cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
方法归纳
扇形的弧长和面积的求解策略
巩固训练3 (1)已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为( )
A．πB．2πC．3D．6
(2)已知弧长为30cm的弧所对的圆心角为150°，则这段弧所在圆的半径为________cm.
5.1.2 弧度制
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．度 弧度 半径长
2．(1)正数 (2)负数 (3)0
3．2πrad 360° πrad 180°
要点二
αR lR αR2
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：∵1°＝，
∴60°＝60×＝.
答案：A
3．解析：＝×180°＝210°.
答案：C
4．解析：l＝αR＝2×2＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)20°＝20×＝；
(2)－15°＝－15×＝－；
(3)－＝－＝－396°.
巩固训练1 解析：(1)－660°＝－660×rad＝－πrad.
故选C.
(2)因为1rad＝°，所以π＝π×°＝×180°＝105°.
答案：(1)C (2)105°
例2 解析：(1)∵495°＝，∴与495°角终边相同的角为2kπ＋π，k∈Z.
由－2π<2kπ＋<0且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－；
(2)由0<2kπ＋<2π且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为；
(3)由－4π≤2kπ＋<－2π且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－.
巩固训练2 解析：对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图②，同理可得，所求集合为
＝.
例3 解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为rcm，
依题意有
将①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8rad>2πrad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad)．∴θ＝rad.
(2)设扇形的圆心角为α，弧长为lcm，半径为Rcm，面积为Scm2.
∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αR＝×20＝8π(cm)．
∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．
(3)设扇形的圆心角为θ，半径为rcm，弧长为lcm，面积为Scm2，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当r＝10时，扇形的面积最大．
这个最大值为100cm2，这时θ＝＝＝2rad.
巩固训练3 解析：(1)设扇形的弧长为l，半径为r，根据已知的扇形的圆心角α＝，面积S＝3π，
由扇形的面积公式S＝αr2，得3π＝×r2，解得r＝3，
由弧长公式l＝αr＝×3＝2π.
(2)由弧长公式l＝αr，其中l为圆心角为α，半径为r的圆弧长，
因为圆心角为150°，即α＝，
30＝r，所以r＝cm.
答案：(1)B (2)
3
