(共26张PPT)
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．
教 材 要 点
要点一 任意角的三角函数的定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 ____叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝____ 余弦 ____叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝____ 正切 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，将它们统称为三角函数． y
y
x
x
要点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦：______象限正，______象限负；余弦：______象限正，______象限负；
正切：________象限正，________象限负．
一二
三四
一四
二三
一三
二四
要点三 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________．即
相等
sin α
cos α
tan α
助 学 批 注
批注 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
批注 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定．
批注 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或0°～360°)范围内的三角函数值．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( )
(4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( )
×
×
×
×
2．已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sin α的值为( )
A．－ B．－ C． D．
答案：B
解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y＝－.
3．若sin α＜0，tan α＞0，则α在( )
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：若sin α<0，则α是终边落在第三、四象限或y轴非正半轴上的角．若tan α>0，则α是终边落在第一或三象限的角，故α在第三象限内．
4．cos ＝________．
解析：cos ＝cos (2π＋)＝cos ＝.
题型探究·课堂解透
题型 1 三角函数的定义及应用
例1 (1)已知点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝( )
A．－ B． C．－ D．－
答案：B
解析：因为点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝.
(2)已知角α的终边经过点(3，4)，则sin α＝________．
解析：由题意知：角α在第一象限，且终边过(3，4)，
∴sin α＝＝.
方法归纳
利用三角函数定义求三角函数值的策略
巩固训练1 (1)已知角α的终边过点P(－1，2)，则tan α等于( )
A．2 B．－2 C．－ D．
答案：B
解析：由题意tan α＝＝－2.
(2)角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则y＝________．
－3
解析：角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－＝，
解得y＝－3.
题型 2 三角函数值符号的判断
例2 (1)角θ为第一或第四象限角的充要条件是( )
A．sin θtan θ＜0 B．cos θtan θ＜0
C．＞0 D．sin θcos θ＞0
答案：C
解析：若角θ为第一象限角，则sin θ＞0，cos θ＞0，tan θ＞0，
若角θ为第四象限角，则sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，
所以若角θ为第一或第四象限角，则＞0；
若＞0，则sin θ＜0，tan θ＜0或sin θ＞0，tan θ＞0，所以角θ为第一或第四象限角．
(2)判断sin 2cos 3tan 4的符号．
解析：∵＜2＜π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0，
∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
例3 计算下列各式的值：
(1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°；
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()．
解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝＝＝.
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()＝cos (－4π＋)＋sin (－12π＋)－tan (6π＋)＝cos ＋sin －tan ＝＝1－.
方法归纳
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
巩固训练3 (1)sin (－330°)＝( )
A． B．－ C． D．－
答案：A
解析：sin (－330°)＝sin (－360°＋30°)＝sin 30°＝.
(2)cos ＋tan (－)＋sin 6π＝________．
解析：cos ＋tan (－)＋sin 6π＝cos (2π＋)＋tan (－6π＋)＋sin (4π＋2π)
＝cos ＋tan ＋sin 2π
＝＋0
＝.5.2.1 三角函数的概念
课程标准
(1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 任意角的三角函数的定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 ____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____
余弦 ____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____
正切 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，将它们统称为三角函数．
要点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦：______象限正，______象限负；余弦：______象限正，______象限负；
正切：________象限正，________象限负．
要点三 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________．即
助学批注
批注 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
批注 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定．
批注 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sinα表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sinα＝，且y越大，sinα的值越大．( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有cosα＞0.( )
(4)若sinα＞0，则α一定在第一或第二象限．( )
2．已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sinα的值为( )
A．－B．－C．D．
3．若sinα＜0，tanα＞0，则α在( )
A.第一象限B．第二象限
C.第三象限D．第四象限
4．cos＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 三角函数的定义及应用
例1 (1)已知点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，则cosα＝( )
A．－ B． C．－ D．－
(2)已知角α的终边经过点(3，4)，则sinα＝________．
方法归纳
利用三角函数定义求三角函数值的策略
巩固训练1 (1)已知角α的终边过点P(－1，2)，则tanα等于( )
A．2 B．－2 C．－ D．
(2)角θ的终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－，则y＝________．
题型 2 三角函数值符号的判断
例2 (1)角θ为第一或第四象限角的充要条件是( )
A．sinθtanθ＜0B．cosθtanθ＜0
C．＞0D．sinθcosθ＞0
(2)判断sin2cos3tan4的符号．
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tanα，sinα)在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
题型 3 诱导公式一的应用
例3 计算下列各式的值：
(1)sin (－1395°)cos1110°＋cos (－1020°)sin750°；
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()．
方法归纳
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
巩固训练3 (1)sin (－330°)＝( )
A． B．－C． D．－
(2)cos＋tan (－)＋sin6π＝________．
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
y y x x
要点二
一二 三四 一四 二三 一三 二四
要点三
相等 sinα cosα tanα
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sinα＝y＝－.
答案：B
3．解析：若sinα<0，则α是终边落在第三、四象限或y轴非正半轴上的角．若tanα>0，则α是终边落在第一或三象限的角，故α在第三象限内．
答案：C
4．解析：cos＝cos (2π＋)＝cos＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，所以cosα＝.
(2)由题意知：角α在第一象限，且终边过(3，4)，
∴sinα＝＝.
答案：(1)B (2)
巩固训练1 解析：(1)由题意tanα＝＝－2.
(2)角θ的终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－＝，
解得y＝－3.
答案：(1)B (2)－3
例2 解析：(1)若角θ为第一象限角，则sinθ＞0，cosθ＞0，tanθ＞0，
若角θ为第四象限角，则sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0，
所以若角θ为第一或第四象限角，则＞0；
若＞0，则sinθ＜0，tanθ＜0或sinθ＞0，tanθ＞0，所以角θ为第一或第四象限角．
(2)∵＜2＜π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.
答案：(1)C (2)见解析
巩固训练2 解析：∵角α为第三象限角，tanα＞0，sinα＜0，
∴点P(tanα，sinα)在第四象限．
答案：D
例3 解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)
＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°
＝＝＝.
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()
＝cos (－4π＋)＋sin (－12π＋)－tan (6π＋)
＝cos＋sin－tan
＝＝1－.
巩固训练3 解析：(1)sin (－330°)＝sin (－360°＋30°)＝sin30°＝.
(2)cos＋tan (－)＋sin6π＝cos (2π＋)＋tan (－6π＋)＋sin (4π＋2π)
＝cos＋tan＋sin2π
＝＋0
＝.
答案：(1)A (2)
1(共22张PPT)
5.2.2 同角三角函数的基本关系
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解并掌握同角三角函数的基本关系．(2)会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．
教 材 要 点
要点 同角三角函数的基本关系式
公式 语言描述
平方关系 sin2α＋cos2α＝____ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 ＝________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角 ________
1
tan α
α的正切
助 学 批 注
批注 (1)公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立．如sin2230°＋cos2260°≠1.
(2)同角不要拘泥于形式α，，6α等等都可以．
批注 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件，即cos α≠0. α≠kπ＋，k∈Z.
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(2)对任意角α，sinα＝cos α·tan α都成立．( )
(3)sin2＋cos2＝1.( )
(4)对任意的角α，都有tanα＝成立．( )
×
×
√
×
2．若α为第二象限角，且sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B． C． D．－
答案：A
解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.
3．已知sin α＝2cos α，则tan α＝( )
A.－2 B．－ C． D．2
答案：D
解析：∵sinα＝2cos α，∴＝2，∴tan α＝2.
4．已知cos α＝，－＜α＜0.则sin α＝________．
－
解析：因为cos α＝及sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＝1－cos2α＝，
因为－＜α＜0，所以sinα＝－.
题型探究·课堂解透
题型 1 利用同角基本关系式求值
例1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解析：∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tanα＝.
方法归纳
利用同角基本关系式求值的一般步骤
巩固训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解析：由tan α＝＝，
得sin α＝cos α， ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cosα＝－，sin α＝cos α＝－.
题型 2 三角函数式化简求值
例2 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sinαcos α＋cos2α.
解析：(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
方法归纳
已知角α的正切，求与sinα，cos α有关式子的值的策略
巩固训练2 已知tan α＝－，则＝________．
－
解析：tanα＝－＝＝＝－.
题型 3 三角函数式的化简与证明
例3 (1)已知 α为第二象限角，化简.
解析：因为α为第二象限，所以cos α<0，
所以原式＝ ＋
＝＝＝－.
(2)求证：＝.
证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴原式成立．
方法归纳
利用同角三角函数的基本关
系式化简与证明常用策略
巩固训练3 (1)化简：sin αcos α(tan α＋)；
解析：sin αcos α(tan α＋)
＝sin αcos α()
＝sin2α＋cos2α＝1.
(2)证明：＝.
证明：左边＝
＝＝，
右边＝
＝
＝
∴左边＝右边，原等式成立．5.2.2 同角三角函数的基本关系
课程标准
(1)理解并掌握同角三角函数的基本关系．(2)会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 同角三角函数的基本关系式
公式 语言描述
平方关系 sin2α＋cos2α＝____ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 ＝________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角________
助学批注
批注 (1)公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立．如sin2230°＋cos2260°≠1.
(2)同角不要拘泥于形式α，，6α等等都可以．
批注 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件，即cos α≠0. α≠kπ＋，k∈Z.
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(2)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立．( )
(3)sin2＋cos2＝1.( )
(4)对任意的角α，都有tanα＝成立．( )
2．若α为第二象限角，且sinα＝，则cosα＝( )
A．－B．C．D．－
3．已知sinα＝2cosα，则tanα＝( )
A.－2B．－C．D．2
4．已知cosα＝，－＜α＜0.则sinα＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 利用同角基本关系式求值
例1 已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
方法归纳
利用同角基本关系式求值的一般步骤
巩固训练1 已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．
题型 2 三角函数式化简求值
例2 已知tanα＝2，求下列代数式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sinαcosα＋cos2α.
方法归纳
已知角α的正切，求与sinα，cosα有关式子的值的策略
巩固训练2 已知tanα＝－，则＝________．
题型 3 三角函数式的化简与证明
例3 (1)已知α为第二象限角，化简.
(2)求证：＝.
方法归纳
利用同角三角函数的基本关
系式化简与证明常用策略
巩固训练3 (1)化简：sinαcosα(tanα＋)；
(2)证明：＝.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1 tanα α的正切
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－.
答案：A
3．解析：∵sinα＝2cosα，∴＝2，∴tanα＝2.
答案：D
4．解析：因为cosα＝及sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＝1－cos2α＝，
因为－＜α＜0，所以sinα＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sinα＝－＝－，tanα＝.
巩固训练1 解析：由tanα＝＝，
得sinα＝cosα， ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.
例2 解析：(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
巩固训练2 解析：tanα＝－＝＝＝－.
答案：－
例3 解析：(1)因为α为第二象限，所以cosα<0，
所以原式＝＋
＝＝＝－.
(2)证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴原式成立．
巩固训练3 解析：(1)sinαcosα(tanα＋)
＝sinαcosα()
＝sin2α＋cos2α＝1.
(2)证明：左边＝
＝＝，
右边＝
＝
＝
∴左边＝右边，原等式成立．
2
