(共23张PPT)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解正弦函数、余弦函数的图象．(2)会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．
(3)能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
教 材 要 点
要点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)，_______，_______，_______，(2π，0) (0，1)，______，______，______，(2π，1)
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线 (，1)
(π，0)
(，－1)
(，0)
(π，－1)
(，0)
助 学 批 注
批注 余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左(或右)平移(或)．
批注 “五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( )
(2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．( )
(4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．( )
√
×
×
×
2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于( )
A.x轴对称
B.y轴对称
C.原点对称
D.直线y＝x对称
答案：A
解析：设y＝f(x)＝sinx，y＝g(x)＝－sin x，
所以有g(x)＝－f(x)，
因此两个函数的图象关于x轴对称．
3．下列对y＝cos x的图象描述错误的是( )
A.在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
答案：C
解析：由余弦函数的周期T＝2π，则区间[0，2π]和[4π，6π]相差4π，故图象形状相同，只是位置不同，A正确；
由余弦函数的值域为[－1，1]，故其图象介于直线y＝1与直线y＝－1之间，B正确；由余弦函数的图象
可得C错误，D正确．
4．用“五点法”作函数y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应描出的
五个点的坐标是___________________________________．
(0，0)，(，－1)，(π，0)，(，1)，(2π，0)
解析：x＝0，y＝0；x＝，y＝－1；x＝π，y＝0；x＝，y＝1；x＝2π，y＝0，
所以五个点的坐标是(0，0)，(，－1)，(π，0)，(，1)，(2π，0)．
题型探究·课堂解透
题型 1 用“五点法”作简图
例1 (1)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sin x－1的简图；
解析：①列表：
x 0 π 2π
y －1 －2 －1 0 －1
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
题型 1 用“五点法”作简图
例1 (2)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－2cos x＋3的简图．
解析：由条件列表如下：
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．
方法归纳
用五点法作函数y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的一般步骤
巩固训练1 用“五点法”画出y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的简图．
解析：列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x＋2 2 3 2 1 2
(2)描点：在坐标系内描出点(0，2)，(，3)，(π，2)，(，1)，(2π，2)．
(3)作图：将上述五点用光滑的曲线顺次连接起来(实线)．
题型 2 利用正弦(余弦)函数图象解三角不等式
例2 使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：原不等式可化为sin x≤，在同一直角坐标系中作出正弦曲线及直线y＝，如图所示．
由图知，不等式的解集为.
方法归纳
用正、余弦曲线解三角不等式一般步骤
巩固训练2 在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为
_______________．
解析：画出y＝cos x在[0，2π]上的简图，如图所示．
由于cos x＝－时，x＝或x＝.
由图象可知，在[0，2π]上，使cos x≤－成立的
角x的取值集合为.
题型 3 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题
例3 已知函数f(x)＝2cos x＋1，x∈的图象与直线y＝t有两个交点，则t的最大值为( )
A. 1 B．2
C．＋1 D．＋1
答案：D
解析：由2cos x＋1＝t可得cos x＝，
所以当x∈时，由y＝cos x与y＝有两个交点可得的最大值为，所以t的最大值为＋1.
方法归纳
画出函数的图象，利用函数的图象与直线的交点来解决．
巩固训练3 若方程sin x＝4m＋1在[0，2π]上有解，则实数m的取值
范围是___________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，
要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课程标准
(1)了解正弦函数、余弦函数的图象．(2)会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．
(3)能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sinx y＝cosx
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)，________， ________，________，(2π，0) (0，1)，________， ________，________， (2π，1)
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线
助学批注
批注 余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左(或右)平移(或)．
批注 “五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( )
(2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )
(3)正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于x轴对称．( )
(4)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象关于原点成中心对称．( )
2．函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象关于( )
A.x轴对称
B.y轴对称
C.原点对称
D.直线y＝x对称
3．下列对y＝cosx的图象描述错误的是( )
A.在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
4．用“五点法”作函数y＝－sinx，x∈[0，2π]的图象时，应描出的五个点的坐标是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 用“五点法”作简图
例1 (1)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sinx－1的简图；
(2)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－2cosx＋3的简图．
方法归纳
用五点法作函数y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0，2π]的图象的一般步骤
巩固训练1 用“五点法”画出y＝sinx＋2，x∈[0，2π]的简图．
题型 2 利用正弦(余弦)函数图象解三角不等式
例2 使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A．
B．
C．
D．
方法归纳
用正、余弦曲线解三角不等式一般步骤
巩固训练2 在[0，2π]上，使cosx≤－成立的x的取值集合为________．
题型 3 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题
例3 已知函数f(x)＝2cosx＋1，x∈的图象与直线y＝t有两个交点，则t的最大值为( )
A.1B．2
C．＋1D．＋1
方法归纳
画出函数的图象，利用函数的图象与直线的交点来解决．
巩固训练3 若方程sinx＝4m＋1在[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(，1) (π，0) (，－1) (，0) (π，－1) (，0)
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：设y＝f(x)＝sinx，y＝g(x)＝－sinx，
所以有g(x)＝－f(x)，
因此两个函数的图象关于x轴对称．
答案：A
3．解析：由余弦函数的周期T＝2π，则区间[0，2π]和[4π，6π]相差4π，故图象形状相同，只是位置不同，A正确；
由余弦函数的值域为[－1，1]，故其图象介于直线y＝1与直线y＝－1之间，B正确；由余弦函数的图象
可得C错误，D正确．
答案：C
4．解析：x＝0，y＝0；x＝，y＝－1；x＝π，y＝0；x＝，y＝1；x＝2π，y＝0，
所以五个点的坐标是(0，0)，(，－1)，(π，0)，(，1)，(2π，0)．
答案：(0，0)，(，－1)，(π，0)，(，1)，(2π，0)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)①列表：
x 0 π 2π
y －1 －2 －1 0 －1
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
(2)由条件列表如下：
x 0 π 2π
－2cosx －2 0 2 0 －2
－2cosx＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．
巩固训练1 解析：(1)列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
sinx＋2 2 3 2 1 2
(2)描点：在坐标系内描出点(0，2)，(，3)，(π，2)，(，1)，(2π，2)．
(3)作图：将上述五点用光滑的曲线顺次连接起来(实线)．
例2 解析：原不等式可化为sinx≤，在同一直角坐标系中作出正弦曲线及直线y＝，如图所示．
由图知，不等式的解集为
.
答案：C
巩固训练2 解析：画出y＝cosx在[0，2π]上的简图，如图所示．
由于cosx＝－时，x＝或x＝.
由图象可知，在[0，2π]上，使cosx≤－成立的角x的取值集合为.
答案：
例3 解析：由2cosx＋1＝t可得cosx＝，
所以当x∈时，由y＝cosx与y＝有两个交点可得的最大值为，所以t的最大值为＋1.
答案：D
巩固训练3 解析：由正弦函数的图象，
知当x∈[0，2π]时，sinx∈[－1，1]，
要使得方程sinx＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
1(共24张PPT)
第1课时 正弦函数、余弦函数
的周期性与奇偶性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解周期函数、周期、最小正周期的意义．(2)会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期．(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
教 材 要 点
要点一 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个___________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数 .
____________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
最小的正数
要点二 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 ____ ____
奇偶性 ________ ________
2π
2π
奇函数
偶函数
助 学 批 注
批注 函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期内的性质，就可以知道它的整体性质．
批注 正弦曲线关于原点(0，0)对称．
批注 余弦曲线关于y轴对称．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)周期函数y＝f(x)的周期可能只有一个．( )
(2)任何周期函数都有最小正周期．( )
(3)因为sin ()＝sin ，所以是函数y＝sin x的一个周期．( )
(4)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( )
×
×
×
×
2．函数f(x)＝sin (x＋)最小正周期为( )
A. B．
C.π D．2π
答案：D
解析：因函数f(x)＝sin (x＋)，则ω＝1，T＝＝2π，所以函数f(x)＝sin (x＋)最小正周期为2π.
3．函数y＝1＋cos x的图象( )
A.关于x轴对称 B．关于y轴对称
C.关于原点对称 D．关于直线x＝对称
答案：B
解析：可得y＝1＋cos x是由y＝cos x向上平移1个单位得到，
根据余弦函数的性质可得y＝1＋cos x的图象关于y轴对称．
4．写出一个最小正周期为2π的奇函数f(x)＝________．
f(x)＝sin x
解析：因为函数y＝sin x的周期为2π且是奇函数，所以函数f(x)＝sin x.
题型探究·课堂解透
题型 1 正、余弦函数的周期
例1 求下列函数的周期．
(1)f(x)＝cos (2x＋)；
解析：方法一：定义法
∵f(x)＝cos (2x＋)＝cos (2x＋＋2π)＝cos ＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π.
方法二：公式法
∵y＝cos (2x＋)，∴ω＝2.
又T＝＝＝π，
∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π.
题型 1 正、余弦函数的周期
例1 求下列函数的周期．
(2)f(x)＝|sin x|.
解析：方法一：定义法
∵f(x)＝|sin x|，
∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
方法二：图象法
作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
方法归纳
求三角函数最小正周期的3种常用方法
巩固训练1 (1)函数f(x)＝sin (x－)，x∈R的最小正周期是( )
A． B．π
C．4π D．
解析：函数f(x)＝sin (x－)的最小正周期T＝＝4π.
答案：C
(2)函数y＝|cos x|，x∈R的最小正周期是________．
π
解析：y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.
题型 2 正、余弦函数的周期性
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin x cos x；
(2)f(x)＝.
解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)
＝－sin x cos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin x cos x为奇函数．
(2)由得cos x＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
方法归纳
判断三角函数奇偶性的2个策略
巩固训练2 已知函数f(x)＝sin (－x＋)，则函数f(x)为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：B
解析：函数的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)＝sin (－x＋)＝cos x，
所以f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
题型 3 三角函数奇偶性与周期性的综合应用
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin (＋2x) D．y＝cos (－2x)
答案：D
解析：y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cos 2x是偶函数，y＝cos (－2x)＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．
解析：∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
－2
方法归纳
解决奇偶性与周期性的综合问题，关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值的区间内．
巩固训练3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f()等于( )
A．－ B． C．－ D．
答案：D
解析：f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
课程标准
(1)了解周期函数、周期、最小正周期的意义．(2)会求函数y＝Asin (ωx＋φ)及y＝Acos (ωx＋φ)的周期．(3)掌握y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数 .
____________叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
要点二 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sinx y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 ____ ____
奇偶性 ________ ________
助学批注
批注 函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期内的性质，就可以知道它的整体性质．
批注 正弦曲线关于原点(0，0)对称．
批注 余弦曲线关于y轴对称．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)周期函数y＝f(x)的周期可能只有一个．( )
(2)任何周期函数都有最小正周期．( )
(3)因为sin ()＝sin，所以是函数y＝sinx的一个周期．( )
(4)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．( )
2．函数f(x)＝sin (x＋)最小正周期为( )
A.B．
C.πD．2π
3．函数y＝1＋cosx的图象( )
A.关于x轴对称B．关于y轴对称
C.关于原点对称D．关于直线x＝对称
4．写出一个最小正周期为2π的奇函数f(x)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 正、余弦函数的周期
例1 求下列函数的周期．
(1)f(x)＝cos (2x＋)；(2)f(x)＝|sinx|.
方法归纳
求三角函数最小正周期的3种常用方法
巩固训练1 (1)函数f(x)＝sin (x－)，x∈R的最小正周期是( )
A．B．π
C．4πD．
(2)函数y＝|cosx|，x∈R的最小正周期是________．
题型 2 正、余弦函数的周期性
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sinxcosx；
(2)f(x)＝.
方法归纳
判断三角函数奇偶性的2个策略
巩固训练2 已知函数f(x)＝sin (－x＋)，则函数f(x)为( )
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
题型 3 三角函数奇偶性与周期性的综合应用
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|
C．y＝sin (＋2x) D．y＝cos (－2x)
(2)已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．
方法归纳
解决奇偶性与周期性的综合问题，关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值的区间内．
巩固训练3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f()等于( )
A．－ B．C．－ D．
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T
2．最小的正数
要点二
2π 2π 奇函数 偶函数
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：因函数f(x)＝sin (x＋)，则ω＝1，T＝＝2π，所以函数f(x)＝sin (x＋)最小正周期为2π.
答案：D
3．解析：可得y＝1＋cosx是由y＝cosx向上平移1个单位得到，
根据余弦函数的性质可得y＝1＋cosx的图象关于y轴对称．
答案：B
4．解析：因为函数y＝sinx的周期为2π且是奇函数，所以函数f(x)＝sinx.
答案：f(x)＝sinx(答案不唯一)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)方法一：定义法
∵f(x)＝cos (2x＋)＝cos (2x＋＋2π)
＝cos＝f(x＋π)，
即f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π.
方法二：公式法
∵y＝cos (2x＋)，∴ω＝2.
又T＝＝＝π，
∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π.
(2)方法一：定义法
∵f(x)＝|sinx|，
∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
方法二：图象法
作出函数y＝|sinx|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
巩固训练1 解析：(1)函数f(x)＝sin (x－)的最小正周期T＝＝4π.
(2)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.
答案：(1)C (2)π
例2 解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)
＝－sinxcosx＝－f(x)，
∴f(x)＝sinxcosx为奇函数．
(2)由得cosx＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
巩固训练2 解析：函数的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)＝sin (－x＋)＝cosx，
所以f(－x)＝cos (－x)＝cosx＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
答案：B
例3 解析：(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cos2x是偶函数，y＝cos (－2x)＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：(1)D (2)－2
巩固训练3 解析：f()＝f(－π)＝f()
＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin＝.
答案：D
2(共24张PPT)
第2课时 正弦函数、余弦函数
的单调性与最值
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(2)掌握y＝sin x，y＝cos x最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．
教 材 要 点
要点 正、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
单调性 在________________________上单调递增， 在________________________上单调递减
在__________________上单调递增，
在_________________上单调递减
(k∈Z)
(k∈Z)
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
正弦函数 余弦函数
最值 x＝____________时，取得最大值1； x＝____________时，取得最小值－1
x＝____________时，取得最大值1；
x＝____________时，取得最小值－1
＋2kπ(k∈Z)
－＋2kπ(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
2kπ＋π(k∈Z)
助 学 批 注
批注 从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.
批注 结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．( )
(2)存在实数x，使得sin x＝.( )
(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x有三个零点．( )
(4)余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].( )
×
×
√
√
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是( )
A．[0，π] B．
C. D．[π，2π]
答案：C
解析：由正弦曲线知y＝sin x在上是增函数．
3．函数y＝－2cos x的最小值为( )
A. 1 B．－1
C. 2 D．－2
答案：D
解析：因为y＝cos x的最大值是1, 所以函数y＝－2 cos x的最小值是－2.
4．比较大小：sin ________sin (填“＞”或“＜”)
<
解析：0＜＜＜，由于函数y＝sin x在上为增函数，则sin ＜sin .
题型探究·课堂解透
题型 1 利用单调性比较大小
例1 [2022·湖南永州高一期末]设a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
答案：D
解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜，函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin 1＜sin (π－2)，即sin 3＜sin 1＜sin 2，所以c＜a＜b.
方法归纳
利用单调性比较三角函数值大小的步骤
巩固训练1 若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
答案：C
解析：由题意得sin 47°＝sin (90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在上单调递减，所以b＞a＞c.
题型2 求单调区间
例2 (1)y＝cos (x－)在[0，π]上的单调递减区间为( )
A． B．
C． D．
解析：由cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－≤π＋2kπ，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，≤x≤π.
答案：D
(2)求函数y＝sin (－2x)的单调区间．
解析：∵y＝sin (－2x)＝－sin (2x－)，
∴由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数y＝sin (－2x)的单调增区间为(k∈Z)，
由2kπ－≤2x－＋2kπ，(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝sin (－2x)的单调减区间为(k∈Z)．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
巩固训练2 函数y＝sin (2x＋)的单调递减区间为( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
答案：A
解析：函数y＝sin (2x＋)，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数y＝sin (2x＋)的单调递减区间为(k∈Z)．
题型 3 正、余弦函数的最值(或值域)
例3 已知函数f(x)＝sin (2x－)＋.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)求f(x)在区间上的值域．
解析：(1)∵函数f(x)＝sin (2x－)＋，
∴f(x)最小正周期T＝＝π，
∵sin (2x－)≤1，sin (2x－)＋，∴当sin (2x－)＝1时，f(x)max＝.
(2)当0≤x≤时，－≤2x－π，
∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)max＝，
当2x－＝－时，即x＝0时，f(x)min＝0，
∴f(x)在区间上的值域为.
方法归纳
求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法
巩固训练3 (1)函数f(x)＝sin (x＋)在上的最大值与最小值之和是( )
A． B．－ C．1 D．－1
答案：A
解析：∵－≤x≤，
∴－≤x＋，
∴－≤sin (x＋)≤1，
∴最大值与最小值之和为－＋1＝.
(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sinx(0≤x≤)，当x＝________时，f(x)取得最大值．
解析：令t＝sin x，则y＝1－t2＋t(0≤t≤1)，
对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，
即sin x＝，得x＝.第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
课程标准
(1)掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y＝Asin (ωx＋φ)及y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间．(2)掌握y＝sinx，y＝cosx最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 正、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
单调性 在____________上单调递增， 在____________上单调递减 在____________上单调递增， 在____________上单调递减
最值 x＝________时，取得最大值1； x＝________时，取得最小值－1 x＝________时，取得最大值1； x＝________时，取得最小值－1
助学批注
批注 从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.
批注 结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．( )
(2)存在实数x，使得sinx＝.( )
(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sinx有三个零点．( )
(4)余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].( )
2．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( )
A．[0，π] B．
C.D．[π，2π]
3．函数y＝－2cosx的最小值为( )
A.1B．－1
C.2D．－2
4．比较大小：sin________sin(填“＞”或“＜”)
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 利用单调性比较大小
例1 [2022·湖南永州高一期末]设a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜cB．b＜a＜c
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
方法归纳
利用单调性比较三角函数值大小的步骤
巩固训练1 若a＝sin47°，b＝cos37°，c＝cos47°，则a，b，c大小关系为( )
A．a＞b＞cB．b＞c＞a
C．b＞a＞cD．c＞b＞a
题型2 求单调区间
例2 (1)y＝cos (x－)在[0，π]上的单调递减区间为( )
A．B．
C．D．
(2)求函数y＝sin (－2x)的单调区间．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
巩固训练2 函数y＝sin (2x＋)的单调递减区间为( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
题型 3 正、余弦函数的最值(或值域)
例3 已知函数f(x)＝sin (2x－)＋.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)求f(x)在区间上的值域．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法
巩固训练3 (1)函数f(x)＝sin (x＋)在上的最大值与最小值之和是( )
A．B．－C．1D．－1
(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sinx(0≤x≤)，当x＝________时，f(x)取得最大值．
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(k∈Z) (k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) ＋2kπ(k∈Z) －＋2kπ(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由正弦曲线知y＝sinx在上是增函数．
答案：C
3．解析：因为y＝cosx的最大值是1
所以函数y＝－2cosx的最小值是－2.
答案：D
4．解析：0＜＜＜，由于函数y＝sinx在上为增函数，则sin＜sin.
答案：<
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜，函数y＝sinx在(0，)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin1＜sin (π－2)，即sin3＜sin1＜sin2，所以c＜a＜b.
答案：D
巩固训练1 解析：由题意得sin47°＝sin (90°－43°)＝cos43°，因为y＝cosx在上单调递减，所以b＞a＞c.
答案：C
例2 解析：(1)由cosx的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－≤π＋2kπ，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，
又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，≤x≤π.
(2)∵y＝sin (－2x)＝－sin (2x－)，
∴由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数y＝sin (－2x)的单调增区间为(k∈Z)，
由2kπ－≤2x－＋2kπ，(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝sin (－2x)的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(1)D (2)见解析
巩固训练2 解析：函数y＝sin (2x＋)，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数y＝sin (2x＋)的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：A
例3 解析：(1)∵函数f(x)＝sin (2x－)＋，
∴f(x)最小正周期T＝＝π，
∵sin (2x－)≤1，sin (2x－)＋，∴当sin (2x－)＝1时，f(x)max＝.
(2)当0≤x≤时，－≤2x－π，
∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)max＝，
当2x－＝－时，即x＝0时，f(x)min＝0，
∴f(x)在区间上的值域为.
巩固训练3 解析：(1)∵－≤x≤，
∴－≤x＋，
∴－≤sin (x＋)≤1，
∴最大值与最小值之和为－＋1＝.
(2)令t＝sinx，则y＝1－t2＋t(0≤t≤1)，
对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，
即sinx＝，得x＝.
答案：(1)A (2)
1(共26张PPT)
5.4.3 正切函数的性质与图象
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质．(2)能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
教 材 要 点
要点 正切函数的图象和性质
函数 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 ________
奇偶性 ________
单调性 在区间__________________都是增函数
对称中心 ____________
π
奇函数
(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
助 学 批 注
批注 “三点两线”法作函数y＝tan x的图象：
“三点”是指(－，－1)，(0，0)，(，1)；“两线”是指x＝－和x＝.在“三点”确定的情况下，可大致画出正切函数在(－)上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数的图象是连续不断的．( )
(3)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．( )
(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tan x．( )
×
×
×
×
2．函数y＝tan (x＋)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
3．已知函数f(x)＝tan (2x＋)，则函数f(x)的最小正周期为( )
A. B．
C.π D．2π
答案：B
解析：方法一：函数y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
方法二：由诱导公式可得tan (2x＋)
＝tan (2x＋＋π)＝tan ，
所以f(x＋)＝f(x)，所以周期为T＝.
4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)
＜
解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.
题型探究·课堂解透
题型 1 正切函数的定义域
例1 函数f(x)＝tan (πx－)的定义域为 __________________．
解析：令πx－≠kπ＋，k∈Z，可得x≠k＋，k∈Z，
故函数f(x)的定义域为.
方法归纳
求正切函数定义域的方法
巩固训练1 函数y＝的定义域为( )
A．{x|x≠0} B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C． D．
答案：D
解析：函数y＝有意义时，需使
所以函数的定义域为
＝.
题型 2 正切函数的奇偶性与周期性
例2 (1)函数y＝3tan (2x＋)的最小正周期是( )
A． B． C．π D．3
答案：A
解析：由解析式及正切函数的性质，最小正周期T＝.
(2)函数f(x)＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案：A
解析：要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函数．
方法归纳
解决与正切函数有关的周期性、奇偶性的策略
巩固训练2 (1)若f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为1，则f()的值为( )
A．－ B．－ C． D．
答案：D
解析：∵f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tan πx，则f()＝tan ＝.
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：f(x)的定义域为，
关于原点对称，又f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
答案：A
题型 3 正切函数的单调性
角度1 比较大小
例3 比较tan ________tan (－)的大小(用“＞”或“＜”填空)．
＜
解析：tan ＝tan ，tan (－)＝tan ，
因为0＜＜＜，
又y＝tan x在(0，)上单调递增，所以tan 方法归纳
利用正切函数单调性比较大小的步骤
巩固训练3 比较tan ________tan 的大小．
＜
解析：tan ＝tan ，且0＜＜＜，
又y＝tan x在(0，)上单调递增，
所以tan ＜tan ，即tan ＜tan .
角度2 求单调区间
例4 求函数y＝tan (－x＋)的单调区间．
解析：y＝tan (－x＋)＝－tan (x－)．
由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∴函数y＝tan (－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
方法归纳
正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，
ω≠0，φ是常数)的单调区间的求解策略
巩固训练4 函数y＝tan (x－)的单调增区间为__________________
(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
．
解析：y＝tan (x－)，由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－课程标准
(1)了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质．(2)能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 正切函数的图象和性质
函数 y＝tanx
图象
定义域
值域 R
周期 ________
奇偶性 ________
单调性 在区间____________都是增函数
对称中心 ____________
助学批注
批注 “三点两线”法作函数y＝tan x的图象：
“三点”是指(－，－1)，(0，0)，(，1)；“两线”是指x＝－和x＝.在“三点”确定的情况下，可大致画出正切函数在(－)上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数的图象是连续不断的．( )
(3)函数y＝tanx在其定义域上是增函数．( )
(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tanx．( )
2．函数y＝tan (x＋)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
3．已知函数f(x)＝tan (2x＋)，则函数f(x)的最小正周期为( )
A.B．
C.πD．2π
4．比较大小：tan135°________tan138°.(填“＞”或“＜”)
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 正切函数的定义域
例1 函数f(x)＝tan (πx－)的定义域为________．
方法归纳
求正切函数定义域的方法
巩固训练1 函数y＝的定义域为( )
A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．D．
题型 2 正切函数的奇偶性与周期性
例2 (1)函数y＝3tan (2x＋)的最小正周期是( )
A． B． C．π D．3
(2)函数f(x)＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
方法归纳
解决与正切函数有关的周期性、奇偶性的策略
巩固训练2 (1)若f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为1，则f()的值为( )
A．－B．－C．D．
(2)函数f(x)＝sinx＋tanx的奇偶性为( )
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
题型 3 正切函数的单调性
角度1 比较大小
例3 比较tan________tan (－)的大小(用“＞”或“＜”填空)．
方法归纳
利用正切函数单调性比较大小的步骤
巩固训练3 比较tan________tan的大小．
角度2 求单调区间
例4 求函数y＝tan (－x＋)的单调区间．
方法归纳
正切型函数y＝Atan (ωx＋φ)(A＞0，
ω≠0，φ是常数)的单调区间的求解策略
巩固训练4 函数y＝tan (x－)的单调增区间为________．
5.4.3 正切函数的性质与图象
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
π 奇函数 (kπ－，kπ＋)(k∈Z) (，0)(k∈Z)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
答案：D
3．解析：方法一：函数y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
方法二：由诱导公式可得tan (2x＋)
＝tan (2x＋＋π)＝tan，
所以f(x＋)＝f(x)，所以周期为T＝.
答案：B
4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tanx在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan135°＜tan138°.
答案：＜
题型探究·课堂解透
例1 解析：令πx－≠kπ＋，k∈Z，可得x≠k＋，k∈Z，
故函数f(x)的定义域为.
答案：
巩固训练1 解析：函数y＝有意义时，需使
所以函数的定义域为
＝.
答案：D
例2 解析：(1)由解析式及正切函数的性质，最小正周期T＝.
(2)要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函数．
答案：(1)A (2)A
巩固训练2 解析：(1)∵f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tanπx，则f()＝tan＝.
(2)f(x)的定义域为，
关于原点对称，又f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
答案：(1)D (2)A
例3 解析：tan＝tan，tan (－)＝tan，
因为0＜＜＜，
又y＝tanx在(0，)上单调递增，所以tan答案：＜
巩固训练3 解析：tan＝tan，且0＜＜＜，
又y＝tanx在(0，)上单调递增，
所以tan＜tan，即tan＜tan.
答案：<
例4 解析：y＝tan (－x＋)＝－tan (x－)．
由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∴函数y＝tan (－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
巩固训练4 解析：y＝tan (x－)，由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－答案：(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
1
