(共29张PPT)
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第一章 计数原理
1.2.1 排 列
探究
在1.1节的例9中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢 (1分钟讨论)
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。
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把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
第１步，确定百位上的数字，有4种方法
第２步，确定十位上的数字，有3种方法
第３步，确定个位上的数字，有2种方法
根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2＝24 种不同的排法。如下图所示
有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
同样，问题２可以归结为：
从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，
然后按照一定的顺序排成一列，共有多少
种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;
cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？
(1)有顺序的
(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等，
推广到一般
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
排列问题实际包含两个过程：
（1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。
（2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。
注意：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。
例1、下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中抽2名学生开会
（2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）20位同学互通一次电话
（6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？
（10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？
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哪些是全排列？
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
排列数，而不表示具体的排列。
所有排列的个数，是一个数；
“排列数”是指从
个不同元素中，任取
个元素的
所以符号
只表示
“一个排列”是指：从
个不同元素中，任取
按照一定的顺序排成一列，不是数；
个元素
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为 ,
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为 ，已经算出
探究：从ｎ个不同元素中取出２个元素的排列数 是多少？ ， 又各是多少？
第1位
第2位
n
n-1
第1位
第2位
第3位
n-2
n
n-1
· · · · · ·
第1位
第2位
第3位
第m位
n
n-1
n-2
n-(m-1)
（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1．
（2）最后一个因数是n－m＋1．
（3）共有m个因数．
观察排列数公式有何特征：
就是说，ｎ个不同元素全部取出的排列数，
等于正整数１到ｎ的连乘积，
正整数１到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，
用ｎ!表示，
所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
另外，我们规定 0!＝1
排列数公式（2）：
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
例2、计算：
（1）
（2）
（3）
例2、解方程：
例3、求证：
例5、求 的值.
例4．若
，则
，
．
1．计算：（1）
（2）
课堂练习
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 种不同的种植方法？
4．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能
打出不同的信号有（ ）
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
小结
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．
例3、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是
例 4(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
= 5×4×3= 60
被选元素可重复选取，不是排列问题！
5×5×5= 125
“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”
【例5】用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
特殊位置“百位”，特殊元素“0”
百位
十位
个位
法1：
法2：
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
法3：
对于有限制条件的排列问题，必须遵循“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”，并注意“合理分类，准确分步”，做到“不重不漏，步骤完整” ，适当考虑“正难则反” 。
百位
十位
个位
千位
万位
变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
有约束条件的排列问题
百位
十位
个位
千位
万位
变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
有约束条件的排列问题(共16张PPT)
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步
乘法计数原理（二）
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有 种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的
共同点：
不同点：
分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关。
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
分类计数原理 分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
区别1
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
区别2
区别3
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 种 .
例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，
答：最多可以给1053个程序命名。
中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子
是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称
为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表
示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位
置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组
成，那么能有多少种不同的RNA分子？
U
U
U
A
A
A
C
C
C
G
G
G
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。
第1位
第2位
第3位
第100位
4种
4种
4种
4种
……
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
种不同的RNA分子.
例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
第1位
第2位
第3位
第8位
2种
2种
2种
2种
……
如00000000，10000000，
11111111.
解：（1）用图来表示一个字节.
一个字节共有8位，每个字节上有两种选择.
根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示
2x2x2x2x2x2x2x2=28=256个不同的字符.
（2）所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用
2个字节表示 .
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3*2=6。
如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。
这样，测试整个模块的次数就变为
172+6=178（次）
2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：
18+45+28+38+43=172。
例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照
分析：按照新规定，牌照可以分为两类，
即字母组合在左和字母组合在右.
确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.
解：根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照个数为
26x25x24x10x9x8=11 232 000.
同理，字母在右的牌照个数也为11 232 000
所以，
共能给11 232 000+11 232 000=22 464 000
辆汽车上牌照.
将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种
练习:
１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。(共28张PPT)
第一章 计数原理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数
的性质
一般地，对于n N*有
二项定理:
一、新课引入
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
杨辉三角
《九章算术》
杨辉
杨辉三角
《详解九章算法》中记载的表
1．“杨辉三角”的来历及规律
杨辉三角
展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
第5行 1 5 5 1
第0行 1
杨辉三角
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 1
第6行 1 6 15 6 1
第n-1行 1
1
第n行 1
1
…… ……
…
…
…
…
…… … …
15
15=5+10
20
20=10+10
10=6+4
10
10=6+4
10
6
6=3+3
4=1+3
4
1
2
5
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
……
1
3
8
13
21
34
如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;
这就是著名的斐波那契数列 。
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
二项式系数的性质
展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：
当 时，其图象是右图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
图象的对称轴：
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于：
所以 相对于 的增减情况由 决定．
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
可知，当 时，
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
系数 取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、
相等，且同时取得最大值。
（3）各二项式系数的和
二项式系数的性质
在二项式定理中，令 ，则：
这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：
同时由于 ，上式还可以写成：
这是组合总数公式．
一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质：
（1）
（2）
（3）当 时，
（4）
当 时，
例题分析:
例1．证明：
（1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
令a=b=1，则
继续思考1: （2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：
证明：在展开式 中
令a=1，b=－1得
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。
例2 （赋值法）
例2
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和
可以先赋值，然后解方程组整体求解
1.当n 10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
思考1求证:
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：
再由 得
思考:求证：
证明：∵
倒序相加法
思考2.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
即 3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）
r=5.
即 3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
小结(共20张PPT)
第一章 计数原理
1.2.2 组合
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
情境创设
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,并成一组
问题2
从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列.
问题1
排列
组合
有
顺
序
无
顺
序
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
概念讲解
组合定义:
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么
思考二:两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
概念理解
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
思考三:组合与排列有联系吗
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
组合问题
排列问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3个)
(6个)
概念理解
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：
概念讲解
组合数:
注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
C32=3
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
abc ， abd ， acd ， bcd .
b
c
d
d
c
b
a
c
d
练一练
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
根据分步计数原理，得到：
因此：
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ．
这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式．
概念讲解
组合数公式:
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
概念讲解
例1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
（2)列出所有冠亚军的可能情况.
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
解：
例题分析
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
课堂练习：
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。
9
9
C
D
排列
组合
组合的概念
组合数的概念
组合是选择的
结果，排列是
选择后再排序
的结果
联系
课堂小结(共19张PPT)
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步
乘法计数原理（一）
思考？
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
26+10=36
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
一、分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
化学
医学
物理学
工程学
数学
会计学
信息技术学
法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。
根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思考？
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码。
字母 数字 得到的号码
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
树形图
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
A村
B村
C村
北
南
中
北
南
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有3种方法,
所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
二、分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理
说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：根据分步乘法计数原理，共有30x24=720种
不同的选法.
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤：
第1步，选男生；第2步，选女生.
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码
05798415
10
10
10
10
×
×
×
=104
分析:
分析:
=5040
10
9
8
7
×
×
×
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法
N＝4＋3+2＝9
N＝4 ×3×2＝24
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2
幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共
有多少种不同的挂法？
解：根据分步乘法计数原理，不同的挂法种数
是3x2=6.
加法原理 乘法原理
联系
区别一
完成一件事情共有n类
办法，关键词是“分类”
完成一件事情,共分n个
步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成
这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。
区别三
各类办法是互斥的、
并列的、独立的
各步之间是相关联的
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
1 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
课堂练习
甲地
丙地
丁地
乙地
N1=2×3=6
N2=4×2=8
N= N1+N2 =14
2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条
第二类, m2 = 1 条
第三类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据分类原理, 从A到B共有
N = 3 + 1 + 4 = 8
条不同的线路可通电。
在解题有时既要分类又要分步。(共21张PPT)
第一章 计数原理
1.3.1 二项式定理
问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢
(3)如果是 天后的这一天呢？
(2)如果是15天后的这一天呢？
（星期二）
（星期一）
回顾：
尝试二项式定理的发现:
尝试二项式定理的发现:
尝试二项式定理的发现:
发现规律：
对于（a+b）n=
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 .那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？
将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？
归纳提高
引出定理，总结特征
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 ，
其中 （r=0,1,2,……,n）叫做 ，
叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有_____个项.
展开式
二项式系数
r+1
n+1
二项式定理
2.系数规律：
2.指数规律：
（1）各项的次数均为n；即为n次齐次式
（2）a的次数由n逐次降到0，
b的次数由0逐次升到n.
1.项数规律：
展开式共有n+1个项
二项式定理
特别地:
1、把b用-b代替
(a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ … +(-1)rCnan-rbr
+ … +(-1)nCnbn
0
1
r
n
对定理的再认识
2、令a=1，b=x
尝试二项式定理的应用：
例1：
尝试二项式定理的应用：
思考：
尝试二项式定理的应用：
练习：
解:（1）
例2. 用二项式定理展开下列各式：
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
二项式定理的应用：
课堂练习
2.求 的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
解：展开式的第4项的二项式系数
第4项的系数
今天是星期一，那么 天后
的这一天是星期几？
余数是1，所以这一天是星期二
问题探究:
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
-
小结：
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
