第1课时 两角差的余弦公式
课程标准
会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；(2)掌握两角差的余弦公式及其应用．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 两角差的余弦公式
名称 简单符号 公式 使用条件
两角差的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β为任意角
助学批注
批注 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos (60°－30°)＝cos60°－cos30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cosα－cosβ都不成立. ( )
(3)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．( )
(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.( )
2．cos20°＝( )
A．cos30°cos10°－sin30°sin10°
B．cos30°cos10°＋sin30°sin10°
C.sin30°cos10°－sin10°cos30°
D．cos30°cos10°－sin30°cos10°
3．已知sinθ＝，cosθ＝，则cos (θ－)＝( )
A． B．C． D．
4．已知cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则cos (β－α)的值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；
(2).
方法归纳
利用两角差的余弦公式求值的2个策略
巩固训练1 (1)cos (－)的值是( )
A．B．
C．D．
(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝________．
题型 2 给值求值
例2 已知cosα＝，cos (α－β)＝且0＜β＜α＜，求cosβ.
方法归纳
给值求值问题的解题策略
巩固训练2 已知α∈(0，)，cos (α＋)＝，则cosα的值为________．
题型 3 给值求角
例3 已知cosα＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，求β的值．
方法归纳
给值求角的解题步骤
巩固训练3 已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．
第1课时 两角差的余弦公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：cos20°＝cos (30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°sin10°.
答案：B
3．解析：∵sinθ＝，cosθ＝，
∴cos (θ－)＝cosθcos＋sinθsin＝cosθ＋sinθ＝＝.
答案：B
4．解析：∵cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，∴cos (β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°
＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos (75°－15°)＝cos60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝cos15°＝cos (60°－45°)＝.
巩固训练1 解析：(1)cos (－)＝cos ()＝coscos＋sinsin＝＝.
(2)原式＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos90°＝0.
答案：(1)D (2)0
例2 解析：因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，因为cosα＝，所以sinα＝＝，
又cos(α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cosαcos (α－β)＋sinαsin (α－β)＝＝.
巩固训练2 解析：因α∈(0，)，即＜α＋＜，又cos (α＋)＝，则sin (α＋)＝＝，
所以cosα＝cos [(α＋)－]＝cos (α＋)cos＋sin (α＋)sin＝)＝.
答案：
例3 解析：∵α，β∈(0，)且cosα＝，cos (α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cosα＋sin (α＋β)sinα
＝(－)×＝.
又∵β∈(0，)，∴β＝.
巩固训练3 解析：∵α，β均为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝，
∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝＝.
又sinα＜sinβ，
∴0<α<β<，∴－＜α－β＜0，
故α－β＝－.
1(共26张PPT)
第2课时 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式，了解它们的内在联系．(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值．
教 材 要 点
要点一 两角和的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
要点二 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝__________________ α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝__________________ α，β∈R
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
要点三 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正切 tan (α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan (α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
助 学 批 注
批注 理顺公式间的联系：
批注 公式T(α±β)的符号规律：
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )
(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )
(3)存在α，β角，使得cos (α＋β)＝cos α－cos β.( )
(4)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝.( )
×
√
√
×
2．已知sin α＝，且α∈(0，)，则sin (α＋)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案：D
解析：因为α∈(0，)，sin α＝，所以cos α＝＝＝，
因此sin (α＋)＝sin αcos ＋cos α sin ＝＝.
3．已知tan α＝2，则tan (α－)＝( )
A．－3 B．3 C．－ D．
答案：D
解析：∵tan α＝2，∴tan (α－)＝＝＝.
4．cos 105°＝________．
解析：cos 105°＝cos (60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝＝.
题型探究·课堂解透
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 17°cos 13°＋sin 73°cos 77°；
(3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°.
解析：(1)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.
(2)sin 17°cos 13°＋sin 73°cos 77°＝sin 17°cos 13°＋cos 17°sin 13°＝sin (17°＋13°)＝.
(3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
方法归纳
给角求值问题的解题策略
巩固训练1 (1)cos 75°sin 135°＋sin 45°cos 15°＝________.
解析：由诱导公式可得：
cos 75°sin 135°＋sin 45°cos 15°＝sin 15°cos 45°＋sin 45°cos 15°＝sin (15°＋45°)＝sin 60°＝.
(2)＝________．
解析：＝＝＝＝.
题型 2 给值求值
例2 (1)已知cos α＝，0＜α＜，则sin (α＋)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝，
所以sin (α＋)＝sin α＋cos α＝＝.
答案：B
(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β)．
解析：∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，
∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)
＝－(－)×(－)＝－.
方法归纳
给值求值的解题策略
巩固训练2 (1)已知sin α＝，α∈(，π)，则tan (－α)＝( )
A．－7 B．－
C． D．7
答案：D
解析：由于sin α＝，α∈(，π)，
所以cos α＝－＝－，tanα＝＝－，
tan (－α)＝＝＝7.
(2)已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则sin α的值为__________．
解析：由题意可知，因为α∈(0，)，所以α－∈(－)，
所以cos (α－)＝ ＝，
则sinα＝sin (α－)＝sin (α－)cos ＋cos (α－)sin ＝＝.
题型 3 给值求角
例3 已知sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，
∴cos α＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝＝＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
方法归纳
给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cos θ，若θ∈(－)，则通常求sin θ，否则容易导致增解．
巩固训练3 若α，β均为锐角，且tan α＝2，tan β＝3，则α＋β等于( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：tan (α＋β)＝＝＝－1.
因为α∈(0，)，β∈(0，)，则α＋β∈(0，π)，
故α＋β＝.第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课程标准
(1)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式，了解它们的内在联系．(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 两角和的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R
要点二 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝____________________ α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝____________________ α，β∈R
要点三 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正切 tan (α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan (α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
助学批注
批注 理顺公式间的联系：
批注 公式T(α±β)的符号规律：
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sinα＋sinβ.( )
(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sinα＋sinβ.( )
(3)存在α，β角，使得cos (α＋β)＝cosα－cosβ.( )
(4)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝.( )
2．已知sinα＝，且α∈(0，)，则sin (α＋)＝( )
A．－B．
C．－D．
3．已知tanα＝2，则tan (α－)＝( )
A．－3 B．3C．－ D．
4．cos105°＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)；
(2)sin17°cos13°＋sin73°cos77°；
(3)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°.
方法归纳
给角求值问题的解题策略
巩固训练1 (1)cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝________.
(2)＝________．
题型 2 给值求值
例2 (1)已知cosα＝，0＜α＜，则sin (α＋)＝( )
A．B．
C．－D．－
(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β)．
方法归纳
给值求值的解题策略
巩固训练2 (1)已知sinα＝，α∈(，π)，则tan (－α)＝( )
A．－7B．－
C．D．7
(2)已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则sinα的值为________________．
题型 3 给值求角
例3 已知sinα＝，sinβ＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
方法归纳
给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cosθ，若θ∈(－)，则通常求sinθ，否则容易导致增解．
巩固训练3 若α，β均为锐角，且tanα＝2，tanβ＝3，则α＋β等于( )
A．B．
C．D．
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：因为α∈(0，)，sinα＝，所以cosα＝＝＝，
因此sin (α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝＝.
答案：D
3．解析：∵tanα＝2，
∴tan (α－)＝＝＝.
答案：D
4．解析：cos105°＝cos (60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)∵sin47°＝sin (30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝＝sin30°＝.
(2)sin17°cos13°＋sin73°cos77°＝sin17°cos13°＋cos17°sin13°＝sin (17°＋13°)＝.
(3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan45°＝1.
∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°
∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1.
巩固训练1 解析：(1)由诱导公式可得：
cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝sin15°cos45°＋sin45°cos15°＝sin (15°＋45°)＝sin60°＝.
(2)＝
＝＝＝.
答案：(1) (2)
例2 解析：(1)由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝，
所以sin (α＋)＝sinα＋cosα＝＝.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，
∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)
＝－(－)×(－)＝－.
答案：(1)B (2)见解析
巩固训练2 解析：(1)由于sinα＝，α∈(，π)，
所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－，
tan (－α)＝＝＝7.
(2)由题意可知，因为α∈(0，)，所以α－∈(－)，
所以cos (α－)＝＝，
则sinα＝sin (α－)＝sin (α－)cos＋cos (α－)sin＝＝.
答案：(1)D (2)
例3 解析：∵sinα＝，sinβ＝，且α，β∈(0，)，
∴cosα＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝＝＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
巩固训练3 解析：tan (α＋β)＝＝＝－1.
因为α∈(0，)，β∈(0，)，则α＋β∈(0，π)，
故α＋β＝.
答案：B
1(共28张PPT)
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(2)能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
教 材 要 点
要点 二倍角 公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝____________ S2α
余弦 cos 2α＝___________＝_________＝_________ C2α
正切 tan 2α＝__________ T2α
2sin αcos α
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2cos2α－1
助 学 批 注
批注 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是的2倍等．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
(4)对于任意角α，总有tan 2α＝.( )
√
√
×
×
2．已知sinα＝，cos α＝，则sin 2α等于 ( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：sin2α＝2sin αcos α＝2×＝.
3．已知sin α＝－，则cos 2α的值为( )
A．－ B．
C． D．－
答案：C
解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝.
4．已知tan α＝－，则tan 2α＝________．
－
解析：因为tanα＝－，
所以tan 2α＝＝＝－.
题型探究·课堂解透
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
解析：原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cosπ
＝－cos (π－)＝cos ＝.
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(2)；
解析：原式＝＝2×
＝＝.
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解析：原式＝
＝
＝
＝＝＝.
方法归纳
利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
巩固训练1 (1)的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：＝＝tan 150°＝×(－)＝－.
答案：A
(2)2sin18°cos 36°的值为( )
A． B．1
C． D．2
答案：A
解析：2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2×
＝＝＝＝.
(3)cos4－sin4＝_______．
解析：原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)
＝cos2－sin2
＝cos＝.
题型 2 给值求值
例2 (1)已知sin(θ－)＝，则sin 2θ的值为( )
A． B．－ C． D．－
解析：由sin (θ－)＝，得sin (θ－)＝cos sin θ－sin cos θ＝(sin θ－cos θ)＝，即sin θ－cos θ＝，等式两边同时平方，
得1－sin 2θ＝，所以sin 2θ＝－.
答案：B
(2)若cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝ ( )
A．－ B．－ C． D．
答案：A
解析：因cos (＋α)＝，
则sin (－2α)＝sin [－(＋2α)]＝cos 2(＋α)＝2cos2(＋α)－1＝2×()2－1＝－.
方法归纳
利用二倍角公式解决给值求值问题的策略
巩固训练2 (1)[2022·广东潮州高一期末]已知cos (α－)＝，则cos 2α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：∵cos(α－)＝sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝－.
答案：A
(2)已知sin (－x)＝，0＜x＜，则cos 2x＝________．
解析：因为x∈(0，)，所以－x∈(0，)，
又因为sin(－x)＝，所以cos (－x)＝，
所以cos 2x＝sin (－2x)＝2sin (－x)cos (－x)
＝2×＝.
题型 3 化简与证明
例3 (1)化简：；
解析：原式＝＝＝－＝－tan2θ.
(2)证明：＝tan θ.
证明：左边＝
＝
＝tan θ＝右边
所以等式成立．
方法归纳
三角函数式化简，证明的常用技巧
巩固训练3 (1)若θ∈()，化简的结果为( )
A．2sin θ B．2cos θ
C．－2sin θ D．－2cos θ
解析：∵θ∈()，∴0>cos θ>sin θ，
∴
＝
＝
＝|sin θ＋cos θ|＋|sin θ－cos θ|
＝－(cos θ＋sin θ)＋cos θ－sin θ
＝－2sin θ.
答案：C
(2)证明：3＋cos 4α－4cos 2α＝8sin4α.
证明：左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α
＝2(cos22α－2cos2α＋1)
＝2(cos 2α－1)2
＝2(1－2sin2α－1)2
＝8sin4α
＝右边
所以等式成立．第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课程标准
(1)会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(2)能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 二倍角 公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin2α＝____________ S2α
余弦 cos2α＝______________＝____________＝____________ C2α
正切 tan2α＝__________ T2α
助学批注
批注 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是的2倍等．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )
(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．( )
(4)对于任意角α，总有tan2α＝.( )
2．已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于 ( )
A．B．
C．D．
3．已知sinα＝－，则cos2α的值为( )
A．－B．
C．D．－
4．已知tanα＝－，则tan2α＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)；
(3)cos20°·cos40°·cos80°.
方法归纳
利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
巩固训练1 (1)的值为( )
A．－B．－
C．D．
(2)2sin18°cos36°的值为( )
A．B．1
C．D．2
(3)cos4－sin4＝________________．
题型 2 给值求值
例2 (1)已知sin(θ－)＝，则sin2θ的值为( )
A．B．－C．D．－
(2)若cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝ ( )
A．－B．－C．D．
方法归纳
利用二倍角公式解决给值求值问题的策略
巩固训练2 (1)[2022·广东潮州高一期末]已知cos (α－)＝，则cos2α＝( )
A．－B．
C．－D．
(2)已知sin (－x)＝，0＜x＜，则cos2x＝________．
题型 3 化简与证明
例3 (1)化简：；
(2)证明：＝tanθ.
方法归纳
三角函数式化简，证明的常用技巧
巩固训练3 (1)若θ∈()，化简的结果为( )
A．2sinθB．2cosθ
C．－2sinθD．－2cosθ
(2)证明：3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α.
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
2sinαcosα cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1
[基础自测]
1答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：sin2α＝2sinαcosα＝2×＝.
答案：D
3．解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝.
答案：C
4．解析：因为tanα＝－，
所以tan2α＝＝＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cosπ
＝－cos (π－)＝cos＝.
(2)原式＝＝2×
＝＝.
(3)原式＝
＝
＝
＝＝＝.
巩固训练1 解析：(1)＝＝tan150°＝×(－)＝－.
(2)2sin18°cos36°＝2cos72°cos36°＝2×
＝＝＝＝.
(3)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)
＝cos2－sin2
＝cos＝.
答案：(1)A (2)A (3)
例2 解析：(1)由sin (θ－)＝，得sin (θ－)＝cossinθ－sincosθ＝(sinθ－cosθ)＝，
即sinθ－cosθ＝，等式两边同时平方，
得1－sin2θ＝，所以sin2θ＝－.
(2)因cos (＋α)＝，
则sin (－2α)＝sin [－(＋2α)]＝cos2(＋α)＝2cos2(＋α)－1＝2×()2－1＝－.
答案：(1)B (2)A
巩固训练2 解析：(1)∵cos(α－)＝sinα＝，
∴cos2α＝1－2sin2α＝－.
(2)因为x∈(0，)，所以－x∈(0，)，
又因为sin(－x)＝，所以cos (－x)＝，
所以cos2x＝sin (－2x)＝2sin (－x)cos (－x)
＝2×＝.
答案：(1)A (2)
例3 解析：(1)原式＝＝＝－＝－tan2θ.
(2)证明：左边＝
＝
＝tanθ＝右边
所以等式成立．
巩固训练3 解析：(1)∵θ∈()，∴0>cosθ>sinθ，
∴
＝
＝
＝|sinθ＋cosθ|＋|sinθ－cosθ|
＝－(cosθ＋sinθ)＋cosθ－sinθ
＝－2sinθ.
(2)证明：左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α
＝2(cos22α－2cos2α＋1)
＝2(cos2α－1)2
＝2(1－2sin2α－1)2
＝8sin4α
＝右边
所以等式成立．
答案：(1)C (2)见解析
2(共23张PPT)
5.5.2 简单的三角恒等变换
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)能够综合运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换．(2)运用恒等变换进行化简、求值、证明．(3)会将a sinx＋b cos x化为只含有正弦的形式．
要点一 半角公式
1－2sin2α
2cos2α－1
2α
α
1－2sin2
2cos2－1
±
±
要点二 辅助角公式
a sin x＋b cos x＝________________，其中tan φ＝.
·sin (x＋φ)
助 学 批 注
批注 若没有给出确定符号的条件，则要保留根号前的正负号；若给出角α的具体范围，则根号前的符号由角所在象限确定．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos ＝.( )
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.( )
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan ＝.( )
×
√
×
√
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A． B．－ C．± D．±
答案：A
解析：因为α∈(0，π)，所以∈(0，)．
所以cos ＝ ＝ ＝.
3．已知π＜θ＜2π，且cos θ＝－，则tan 的值等于( )
A．－3 B．3 C．－ D．
答案：A
解析：因为π＜θ＜2π，所以＜＜π
所以tan ＝－ ＝－ ＝－3.
4．函数y＝cos x＋sin x的最小正周期为_______．
2π
解析：y＝cos x＋sin x＝cos x＋sin x)＝sin (x＋)，
所以最小正周期为2π.
题型探究·课堂解透
题型 1 应用半角公式求值
例1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求sin ，cos ，tan .
解析：∵sin θ＝<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
∵<<，∴sin＝－ ＝－，
cos ＝－ ＝－，tan ＝＝2.
方法归纳
利用半角公式求值的步骤
巩固训练1 设α是第二象限角，tan α＝－，且sin ＜cos ，求cos .
解析：∵α是第二象限角，且sin ∴为第三象限，∴cos <0，∵tan α＝－，
∴cos α＝－，∴cos ＝－ ＝－.
题型 2 三角恒等式的证明
例2 求证：＝sin 2α.
证明：方法一 左边＝＝＝
＝cos αsin cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．
方法二 左边＝＝cos2α·
＝cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
方法归纳
证明三角恒等式的方法
对恒等式的证明，应遵循“化繁为简”的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一等方法．
巩固训练2 求证：－tan θ·tan 2θ＝1.
证明：－tan θ·tan 2θ
＝＝
＝＝＝＝1.
题型 3 利用辅助角公式研究三角函数的性质
例3 设函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx cos (x－)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)求函数f(x)在闭区间[0，]内的最大值以及此时对应的x的值．
解析：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx cos (x－)
＝－cos 2x＋2cos x(cos x cos ＋sin x sin )
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin (2x－)＋.
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
函数f(x)的单调递减间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(3)因为0≤x≤，－≤2x－，所以－≤sin (2x－)≤1.
当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为.
方法归纳
利用辅助角公式解决三角函数问题的步骤
巩固训练3 已知函数f(x)＝4cos x sin (x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－]上的最大值和最小值．
解析：(1)因为f(x)＝4cos x sin (x＋)－1
＝4cos x·(sin x＋cos x)－1
＝sin 2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
故f(x)最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.5.5.2 简单的三角恒等变换
课程标准
(1)能够综合运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换．(2)运用恒等变换进行化简、求值、证明．(3)会将asinx＋bcosx化为只含有正弦的形式．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 半角公式
要点二 辅助角公式
asinx＋bcosx＝____________，其中tanφ＝.
助学批注
批注 若没有给出确定符号的条件，则要保留根号前的正负号；若给出角α的具体范围，则根号前的符号由角所在象限确定．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos＝.( )
(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.( )
(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan＝.( )
2．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos的值为( )
A．B．－C．±D．±
3．已知π＜θ＜2π，且cosθ＝－，则tan的值等于( )
A．－3B．3C．－D．
4．函数y＝cosx＋sinx的最小正周期为____________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 应用半角公式求值
例1 已知sinθ＝，且<θ<3π，
求sin，cos，tan.
方法归纳
利用半角公式求值的步骤
巩固训练1 设α是第二象限角，tanα＝－，且sin＜cos，求cos.
题型 2 三角恒等式的证明
例2 求证：＝sin2α.
方法归纳
证明三角恒等式的方法
对恒等式的证明，应遵循“化繁为简”的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一等方法．
巩固训练2 求证：－tanθ·tan2θ＝1.
题型 3 利用辅助角公式研究三角函数的性质
例3 设函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosxcos (x－)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)求函数f(x)在闭区间[0，]内的最大值以及此时对应的x的值．
方法归纳
利用辅助角公式解决三角函数问题的步骤
巩固训练3 已知函数f(x)＝4cosxsin (x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－]上的最大值和最小值．
5.5.2 简单的三角恒等变换
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1－2sin2α 2cos2α－1 2α α 1－2sin2 2cos2－1 ± ±
要点二
·sin (x＋φ)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：因为α∈(0，π)，所以∈(0，)．
所以cos＝＝＝.
答案：A
3．解析：因为π＜θ＜2π，所以＜＜π
所以tan＝－＝－＝－3.
答案：A
4．解析：y＝cosx＋sinx＝cosx＋sinx)＝sin (x＋)，
所以最小正周期为2π.
答案：2π
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵sinθ＝<θ<3π，
∴cosθ＝－＝－.
∵<<，∴sin＝－＝－，
cos＝－＝－，tan＝＝2.
巩固训练1 解析：∵α是第二象限角，且sin∴为第三象限，∴cos<0，∵tanα＝－，
∴cosα＝－，∴cos＝－＝－.
例2 证明：方法一 左边＝
＝＝
＝cosαsincos
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．所以原式成立．
方法二 左边＝＝cos2α·
＝cos2αtanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．
所以原式成立．
巩固训练2 证明：－tanθ·tan2θ
＝＝
＝＝＝＝1.
例3 解析：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosxcos (x－)
＝－cos2x＋2cosx(cosxcos＋sinxsin)
＝－cos2x＋sin2x
＝sin2x－cos2x＋
＝sin (2x－)＋.
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
函数f(x)的单调递减间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(3)因为0≤x≤，－≤2x－，所以－≤sin (2x－)≤1.
当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为.
巩固训练3 解析：(1)因为f(x)＝4cosxsin (x＋)－1
＝4cosx·(sinx＋cosx)－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin (2x＋)，
故f(x)最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
1
