(共30张PPT)
5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．(2)借助函数图象，理解参数A，ω，φ的意义，能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．
教 材 要 点
要点 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响
左
右
2．ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
A
助 学 批 注
批注 φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
批注 ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
批注 A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象．( )
(2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( )
(3)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．( )
(4)在y＝A sin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期．( )
√
√
×
×
2．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－ B．y＝sin x＋
C．y＝sin (x－) D．y＝sin (x＋)
答案：D
解析：根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin (x＋)的图象．
3．函数y＝sin 4x的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的倍
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的倍
答案：B
解析：将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin 4x的图象．
4．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________．
4
解析：由图象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.
题型探究·课堂解透
题型 1 三角函数图象的变换
例1 如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin (2x－)＋1的图象？
解析：方法一 y＝sin xy＝sin (x－)
y＝sin (2x－)
y＝3sin (2x－)y＝3sin ＋1.
方法二 y＝sin x y＝sin 2x
y＝sin 2(x－) y＝3sin 2(x－)＝3sin (2x－y＝3sin (2x－)＋1.
方法归纳
由y＝sin x的图象得到函数y＝A sin (ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)的图象变化方法：
(1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin [ω(x＋)]＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ).
特别提醒：两种变换方法顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
巩固训练1 (1)为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：y＝sin (2x－)＝sin 2(x－)，
故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，可得y＝sin (2x－)的图象．
答案：D
(2)为了得到y＝sin (x＋)的图象只需将函数y＝cos x的图象____________________而得到．
向右平移个单位长度
解析：y＝sin (x＋)＝cos [－(x＋)]
＝cos (－x)＝cos (x－)，
只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin (x＋)．
题型 2 “五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
例2 作出函数y＝2sin ()的一个周期内的简图．
解析：令t＝＋，列表如下：
x －
t 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
方法归纳
用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤
巩固训练2 [2022·山东临沂高一期末]用“五点法”作出函数y＝sin 在[0，π]上的图象．
解析：列出x，y的对应值表：
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 0 － 0
描点，连线，如图所示．
题型 3 由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例3 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．
解析：方法一 (逐一定参法)：由图象知A＝3，
T＝＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin (2x＋φ)．∵点在函数图象上，∴0＝3sin (－×2＋φ)．
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin (2x＋)．
方法二 (待定系数法)：由图象知A＝3.
∵图象过点(，0)和(，0)，∴解得
∴y＝3sin (2x＋)．
方法归纳
由y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象
确定解析式常用的2种方法
巩固训练3 如图是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则下列说法正确的是( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝1，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
答案：A
解析：由图象得A＝2，＝，
则T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin (2x＋φ)，
∴f()＝2sin (2×＋φ)＝2，
得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，
∴φ＝.
题型 4 三角函数图象与性质的综合应用
例4 (多选)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，则( )
A．f(x)与g(x)的最小正周期都是π
B．g(x)的图象关于点(－，0)对称．
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在区间[－]上单调递增
答案：ABD
解析：由题知f(x)＝sin 2x，g(x)＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)，
f(x)与g(x)的最小正周期均为T＝＝π，故A正确；
g(－)＝sin [2×(－)＋]＝sin 0＝0，故B正确；
f()＝sin (2×)＝sin ＝≠±1，所以x＝不是对称轴，故C错误；
g(x)的单调递增区间为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，递增区间为[－]，故D正确．
方法归纳
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴方程与对称中心的判断方法
对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z求得，即x＝，k∈Z；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即为(，0)，k∈Z.
2．奇偶性的判断方法
对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
巩固训练4 函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是
直线x＝，则φ的值为________.
－π
解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，
所以φ＝－π.5.6 函数y＝Asin (ωx＋φ)
课程标准
(1)结合具体实例，了解函数y＝Asin (ωx＋φ)的实际意义；能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin (ωx＋φ)，x∈R的图象．(2)借助函数图象，理解参数A，ω，φ的意义，能根据y＝Asin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点 A，ω，φ对函数y＝Asin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响
2．ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对函数y＝Asin (ωx＋φ)图象的影响
助学批注
批注 φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
批注 ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
批注 A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cosx的图象．( )
(2)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sinx的图象．( )
(3)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin2x的图象．( )
(4)在y＝Asin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期．( )
2．把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sinx－B．y＝sinx＋
C．y＝sin (x－) D．y＝sin (x＋)
3．函数y＝sin4x的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的倍
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的倍
4．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 三角函数图象的变换
例1 如何由函数y＝sinx的图象得到函数y＝3sin (2x－)＋1的图象？
方法归纳
由y＝sinx的图象得到函数y＝Asin (ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0)的图象变化方法：
(1)y＝sinxy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝Asin (ωx＋φ)．
(2)y＝sinxy＝sinωxy＝sin [ω(x＋)]＝sin (ωx＋φ)y＝Asin (ωx＋φ).
特别提醒：两种变换方法顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
巩固训练1 (1)为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
(2)为了得到y＝sin (x＋)的图象只需将函数y＝cosx的图象________而得到．
题型 2 “五点法”作函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象
例2 作出函数y＝2sin ()的一个周期内的简图．
方法归纳
用“五点法”作函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)图象的步骤
巩固训练2 [2022·山东临沂高一期末]用“五点法\”作出函数y＝sin在[0，π]上的图象．
题型 3 由图象求函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式
例3 函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．
方法归纳
由y＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象
确定解析式常用的2种方法
巩固训练3
如图是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则下列说法正确的是( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝1，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
题型 4 三角函数图象与性质的综合应用
例4 (多选)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，则( )
A．f(x)与g(x)的最小正周期都是π
B．g(x)的图象关于点(－，0)对称．
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．g(x)在区间[－]上单调递增
方法归纳
1．函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象的对称轴方程与对称中心的判断方法
对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z求得，即x＝，k∈Z；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得，即为(，0)，k∈Z.
2．奇偶性的判断方法
对于函数y＝Asin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
巩固训练4 函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为________.
5.6 函数y＝Asin (ωx＋φ)
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．左 右
2.
3．A
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin (x＋)的图象．
答案：D
3．解析：将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin4x的图象．
答案：B
4．解析：由图象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：方法一 y＝sinxy＝sin (x－)y＝sin (2x－)y＝3sin (2x－)y＝3sin＋1.
方法二 y＝sinxy＝sin2xy＝sin2(x－)y＝3sin2(x－)＝3sin (2x－y＝3sin (2x－)＋1.
巩固训练1 解析：(1)y＝sin (2x－)＝sin2(x－)，
故将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可得y＝sin (2x－)的图象．
(2)y＝sin (x＋)＝cos [－(x＋)]
＝cos (－x)＝cos (x－)，
只需把y＝cosx的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin (x＋)．
答案：(1)D (2)向右平移个单位长度
例2 解析：令t＝＋，列表如下：
x －
t 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
巩固训练2 解析：列出x，y的对应值表：
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 0 － 0
描点，连线，如图所示．
例3 解析：方法一 (逐一定参法)：由图象知A＝3，
T＝＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ)．∵点在函数图象上，
∴0＝3sin (－×2＋φ)．
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin (2x＋)．
方法二 (待定系数法)：由图象知A＝3.
∵图象过点(，0)和(，0)，
∴解得
∴y＝3sin (2x＋)．
巩固训练3 解析：由图象得A＝2，＝，
则T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin (2x＋φ)，
∴f()＝2sin (2×＋φ)＝2，
得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，
∴φ＝.
答案：A
例4 解析：由题知f(x)＝sin2x，g(x)＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)，
f(x)与g(x)的最小正周期均为T＝＝π，故A正确；
g(－)＝sin [2×(－)＋]＝sin0＝0，故B正确；
f()＝sin (2×)＝sin＝≠±1，所以x＝不是对称轴，故C错误；
g(x)的单调递增区间为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，递增区间为[－]，故D正确．
答案：ABD
巩固训练4 解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，
所以φ＝－π.
答案：－π
1
