(共21张PPT)
5.7 三角函数的应用
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2)会用三角函数模型解决简单的实际问题．
教 材 要 点
要点一 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
A
ωx＋φ
φ
助 学 批 注
批注 当A <0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ．如函数y＝－sin (2x－)的初相不是φ＝－.
要点二 三角函数模型的应用
(1)匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用____________准确地描述它们的运动变化规律．
(2)函数模型的应用
利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
三角函数模型
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．( )
(2)函数y＝3sin (x－)的相位为－.( )
(3)函数y＝|cos x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．( )
(4)某实验室一天的温度y(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似地满足函数关系：y＝10－2sin (t＋)，t∈[0，24)，则该实验室这一天的温差为4 ℃.( )
√
×
×
√
2．简谐运动y＝4sin (5x－)的相位与初相是( )
A．5x－ B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
答案：C
解析：相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
3．一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为( )
A．0.2 m B．0.5 m
C．1 m D．2 m
答案：C
解析：2 s为5个周期，一个周期通过路程为5×4＝20 cm，5×20＝100(cm)＝1(m)．
4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin (t－)，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________ m．
1
解析：当t＝12时，f(12)＝2sin (5π－)＝2sin ＝1，即12点时潮水的高度是1 m.
题型探究·课堂解透
题型 1 三角函数在物理中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解析：(1)列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
将t＝0代入s＝4sin (2t＋)，
得s＝4sin ＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s．
t －
2t＋ 0 π 2π
sin (2t＋) 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
方法归纳
处理物理学问题的2个策略
巩固训练1 电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin (100πt＋)，则当t＝ s时，电流强度I为( )
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
答案：B
解析：将t＝代入I＝5sin (100πt＋)，得I＝2.5 A.
题型 2 三角函数在生活中的应用
例2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m
解析：(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为t＝t，
故在t s时，此人相对于地面的高度为
h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sin t＋12≥17，得sin t≥，则25≤t≤125.
故转动的一圈内，此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
方法归纳
解三角函数应用问题的一般步骤
巩固训练2 已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin (x－)＋20，x∈[4，16].
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解析：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin (x－)＋20＝15，
得sin (x－)＝－，
而x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin (x－)＋20＝25，
得sin (x－)＝，而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为＝小时．5.7 三角函数的应用
课程标准
(1)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2)会用三角函数模型解决简单的实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一 函数y＝Asin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
助学批注
批注 当A <0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ．如函数y＝－sin (2x－)的初相不是φ＝－.
要点二 三角函数模型的应用
(1)匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用________________准确地描述它们的运动变化规律．
(2)函数模型的应用
利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．( )
(2)函数y＝3sin (x－)的相位为－.( )
(3)函数y＝|cosx|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．( )
(4)某实验室一天的温度y(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似地满足函数关系：y＝10－2sin (t＋)，t∈[0，24)，则该实验室这一天的温差为4℃.( )
2．简谐运动y＝4sin (5x－)的相位与初相是( )
A．5x－B．5x－，4
C．5x－，－D．4，
3．一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为( )
A．0.2mB．0.5m
C．1mD．2m
4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin (t－)，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 三角函数在物理中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
方法归纳
处理物理学问题的2个策略
巩固训练1 电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin (100πt＋)，则当t＝s时，电流强度I为( )
A．5AB．2.5A
C．2AD．－5A
题型 2 三角函数在生活中的应用
例2 如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m
方法归纳
解三角函数应用问题的一般步骤
巩固训练2 已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin (x－)＋20，x∈[4，16].
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
5．7 三角函数的应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
A ωx＋φ φ
要点二
(1)三角函数模型
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
答案：C
3．解析：2s为5个周期，一个周期通过路程为5×4＝20cm，5×20＝100(cm)＝1(m)．
答案：C
4．解析：当t＝12时，f(12)＝2sin (5π－)＝2sin＝1，即12点时潮水的高度是1m.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)列表如下：
t －
2t＋ 0 π 2π
sin (2t＋) 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
将t＝0代入s＝4sin (2t＋)，得s＝4sin＝2，
所以小球开始振动时的位移是2cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs．
巩固训练1 解析：将t＝代入I＝5sin (100πt＋)，得I＝2.5A.
答案：B
例2 解析：(1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为t＝t，
故在ts时，此人相对于地面的高度为
h＝10sint＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则25≤t≤125.
故转动的一圈内，此人有100s相对于地面的高度不小于17m.
巩固训练2 解析：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为30℃－10℃＝20℃.
(2)令10sin (x－)＋20＝15，
得sin (x－)＝－，
而x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin (x－)＋20＝25，
得sin (x－)＝，而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为＝小时．
1
