(共32张PPT)
第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其
初步应用
比《数学3》中“回归”增加的内容
数学３——统计
画散点图
了解最小二乘法的思想
求回归直线方程
y＝bx＋a
用回归直线方程解决应用问题
选修2-3——统计案例
引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
了解模型中随机误差项e产生的原因
了解残差图的作用
了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系
利用线性回归模型解决一类非线性回归问题
正确理解分析方法与结果
回归分析的内容：
《数学3》中，已对具有相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。
回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用的方法，也就是通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。
最小二乘法：
称为样本点的中心。回归直线过样本点中心
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为
172cm的女大学生的体重。
案例1：女大学生的身高与体重
解：1、选取身高为自变量x，体重为
因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．
2.回归方程：
1. 散点图；
探究：
身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。
即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报
她的体重的回归方程，并预报一
名身高为172cm的女大学生的体重。
案例1：女大学生的身高与体重
解：1、选取身高为自变量x，体重
为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型：
线性回归模型：
当随机误差恒等于0时，
线性回归模型就变为函数模型
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型：
回归模型：
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和
随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e， (3)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)= (4)
在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差 越小，通过回归直线 (5)
预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。
另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因。
思考:
产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
2、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
3、身高 y 的观测误差。
以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
探究:
e 是 用预报真实值Y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢？
回归模型：
其估计值为
而言，它们的随机误差
对于样本点
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，
是否可以用回归模型来拟合数据。
残差分析与残差图的定义：
然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始
数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本
编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
残差图的制作及作用。
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；
对于远离横轴的点，要特别注意。
身高与体重残差图
异常点
错误数据
模型问题
几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。
在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的
线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值
来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
1
354
总计
0.36
128.361
残差变量
0.64
225.639
随机误差
比例
平方和
来源
表1-3
从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R2 0.64，可以叙述为
“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。
所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
用身高预报体重时，需要注意下列问题：
1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；
3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；
4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
——这些问题也使用于其他问题。
涉及到统计的一些思想：
模型适用的总体；
模型的时间性；
样本的取值范围对模型的影响；
模型预报结果的正确理解。
小结
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系
（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
什么是回归分析？
（内容）
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度
回归分析与相关分析的区别
相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
相关系数
1.计算公式
2．相关系数的性质
(1)|r|≤1．
(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？
负相关
正相关
相关系数
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常， r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
例2：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
解:1)作散点图;
从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。
解: 令
则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图
x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.19 4.745 5.784
2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 ,则y=c3t+c4 ,列出变换后数据表并画出t与y 的散点图
散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。
t 441 529 625 729 841 1024 1225
y 7 11 21 24 66 115 325
残 差 表
编号 1 2 3 4 5 6 7
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
e(1) 0.52 -0.167 1.76 -9.149 8.889 -14.153 32.928
e(2) 47.7 19.397 -5.835 -41.003 -40.107 -58.268 77.965
非线性回归方程
二次回归方程
残差公式
在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据。
现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：
可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。
对于给定的样本点
，
，
…
，
含有两个未知参数模型
（ ）
（ ）(共22张PPT)
第三章 统计案例
3.2 独立性检验的基本思想及其
初步应用
独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：
例如，吸烟是否与患肺癌有关系？
性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
列联表
在不吸烟者中患肺癌的比重是
在吸烟者中患肺癌的比重是
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。
0.54%
2.28%
探究
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 7775 42 7817
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
1、列联表
2、三维柱形图
3、二维条形图
不患肺癌
患肺癌
吸烟
不吸烟
不患肺癌
患肺癌
吸烟
不吸烟
0
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
从三维柱形图能清晰看出
各个频数的相对大小。
从二维条形图能看出，吸烟者中
患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。
通过图形直观判断两个分类变量是否相关：
不吸烟
吸烟
患肺癌
比例
不患肺癌
比例
4、等高条形图
等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。
上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。
现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，
为此先假设
H0：吸烟与患肺癌没有关系.
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 a b a+b
吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；
|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 a b a+b
吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量
（1）
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
那么这个值到底能告诉我们什么呢？
（2）
独立性检验
在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率
即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。
也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。
思考
答：判断出错的概率为0.01。
判断 是否成立的规则
如果 ，就判断 不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。
独立性检验的定义
上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。
在该规则下，把结论“ 成立”错判成“ 不成立”的概率不会差过
即有99%的把握认为 不成立。
独立性检验的基本思想（类似反证法）
(1)假设结论不成立,即 “两个分类变量没有关系”.
(2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明 不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对 的充分证据。
(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设不合理的程度为1%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.
怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？
这仅需要确定一个正数 ，当 时就认为K2的观测值 k大。此时相应于 的判断规则为：
如果 ，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。
----临界值
按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误的判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P( ).
在实际应用中，我们把 解释为有
的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把 解释为不能以 的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。
思考：
利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量是否相关呢？
表1-11 2x2联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1成立的可能性：
2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。
（1）在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大。
（2）在二维条形图中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 ，也可以估计满足条件X=x2
的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 。两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.636 7.879 10.828
具体作法是：
(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；
(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；
(3)如果 ，就以 的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
患心脏病 不患心脏病 总计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总计 665 772 1437
相应的三维柱形图如图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”。
秃头
不秃头
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
患心脏病 不患心脏病 总计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总计 665 772 1437
根据联表1-13中的数据，得到
所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。
例1.秃头与患心脏病
在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程 。
本例中的边框中的注解，主要是使得学生们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）。
因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体．
练习 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出结论的依据。
解：可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。
分别用a,b,c,d表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。
如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例 与女生中喜欢数学课的比例 应该相差很多，即
练习 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出结论的依据。
因此， 越大， “性别与喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。
另一方面，在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系”的前提下，事件
的概率为
因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得 的观测值k=4.514,即小概率事件A发生。因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为5%。所以，约有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。
