课件44张PPT。【综合评价】
通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义．【学习目标】
1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标
系的作用．
2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况．
3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系
和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标
和直角坐标的互化．
4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或
圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系
和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形
时选择适当坐标系的意义．5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬
度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位
置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方
法相比较，体会它们的区别．
【学习计划】【课标要求】
1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用．
2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换．
3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．第一节 平面直角坐标系【核心扫描】
1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点．
2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题．
3．理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系．(难点)1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数
对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建
立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关
系．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐
标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问
题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问
题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．自学导引2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸
缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研
究几何变换．
想一想 如何理解点的坐标的伸缩变换？
提示 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换．1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上
起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架
起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方
法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一
个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几
何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数
方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法
应用于几何学的研究．
建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问
题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．名师点睛2．解析法解题步骤
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题
中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法
(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变
换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解．
(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区
别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变
换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方
程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．【思维导图】题型一 运用坐标法解决解析几何问题解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．【反思感悟】 建立坐标系的几个基本原则：
①尽量把点和线段放在坐标轴上;
②对称中心一般放在原点;
③对称轴一般作为坐标轴． 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【变式1】解 在?ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思维启迪] 解答本题可以运用坐标方法，先在?ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．题型二 用坐标法解决平面几何问题【例2】解 法一 坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，【反思感悟】 本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感． 已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
【变式2】证明 法一 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，法二 延长AD到E，使DE＝AD，
连接BE，CE，
则四边形ABEC为平行四边形，
由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．题型三 平面直角坐标系中的伸缩变换【例3】[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．【变式3】方法技巧——求解曲线的轨迹方程 [P3思考]
我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？
答 直角坐标点的位置用有序数组来刻画．两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想．在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便． [P4探究]
你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？
答 可以建立不同的直角坐标系(例如以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系)解决问题的过程中，根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则．
如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；
使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上． [P8思考]
答 椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆．我们可以把圆作为椭圆的特例．[课后习题解答]
习题1.1 (第8页)
1．解 设两定点A、B，以线段AB的中点为原点，AB所
在直线为x轴建立直角坐标系，则A、B的坐标为(－3，
0)、(3，0)．
设动点为P(x，y)，由已知得到|PA|2＋|PB|2＝26，
即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，整理得x2＋y2＝4.
这就是点M的轨迹方程．这是以AB的中点为圆心，2
为半径的圆．2．解 以直线l为x轴，过点A与l垂直的直线为y轴建立平
面直角坐标系．则点A的坐标为(0，3)．设△ABC的外
心为P(x，y)，因为P是线段BC的垂直平分线上的点，
所以B、C的坐标分别为(x－2，0)，(x＋2，0)．
因为P也在线段AB的垂直平分线上，
整理得x2－6y＋5＝0.
这就是所求的轨迹方程．3.证明 法一 如图所示，AD，BE，
CO分别是三角形ABC的三条高，取边
AB所在的直线为x轴，边AB上的高CO
所在的直线为y轴建立直角坐标系．设
A，B，C的坐标依次为(－a，0)，(b，
0)，(0，c)，由方程①与②，解得x＝0.
所以，AD，BE的交点H在y轴上．
因此，三角形的三条高线相交于一点．所以(－b)(x＋a)＋cy＝0. ②
①－②得到(a＋b)x＝0.
因为a＋b≠0，所以x＝0.所以点H在AB边的高线上，即△ABC的三条高线交于一点．5.课件36张PPT。【课标要求】
1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性．
2．掌握极坐标与直角坐标的互化．
3．掌握极坐标系的简单应用．第二节 极坐标系【核心扫描】
1．对极坐标系意义和应用的考查是热点．
2．对极坐标和直角坐标互化的考查是热点．
3．能够利用坐标转化解决某些数学问题．(难点)1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个
_________、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通
常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．自学导引极轴长度单位(2)极坐标系内一点极坐标的规定：
设M是平面内一点，极点O与点M的距离
|OM|叫做点M的_____，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的_____，记为θ.有序数对_________叫做点M的极坐标，记为___________．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．极径极角(ρ，θ)M(ρ，θ)(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与__________
__________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个
点的极坐标有无数种表示．
想一想 极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？
提示 建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)2.点的极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作
为____，x轴的正半轴作为_____，并在
两种坐标系中取相同的________，如图
所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：极点极轴长度单位在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．x2＋y2ρcos θρsin θ1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．
2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的
位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．
平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐
标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点
(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，
θ＋2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π)
(k∈Z)．名师点睛在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．
【思维导图】题型一 极坐标系的概念与点的极坐标 写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)，最内层圆的半径为1，且各圆半径相差1.【例1】[思维启迪] 确定极径、极角即可．
解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．已知最内层圆的半径为1，各圆半径相差1，写出下列各点的极坐标． 【变式1】 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：题型二 把点的极坐标化为直角坐标【例2】【反思感悟】 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．【变式2】 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)：题型三 将点的直角坐标化为极坐标【例3】[思维启迪]解 (1)由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以限定ρ≥0，0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ)． 本例中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；
解 根据与角α终边相同的角为α＋2kπ，k∈Z，
由上述可知，点的直角坐标化为极坐标
(ρ>0，θ∈R)，分别如下：【变式3】方法技巧——极坐标的综合应用【示例1】(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[思维启迪] 解答本题可以结合图形利用边、角关系完成判断和计算． [P9思考]
如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：
(1)他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？答 (1)他向东偏北60°方向走120 m后到达图书馆，位置唯一确定．
(2)从教学楼向东走60 m到达体育馆，从教学楼向西北方向走50 m到达办公楼．
[课后习题解答]
习题1.2 (第12页)
1．解 由题图得各点的极坐标分别为： 所以A，B两点间的距离为|AB|＝3＋1＝4.4．解 由直角坐标与极坐标互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
