1.1.2 验证勾股定理及其简单计算 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
北师大版 八年级上册
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理及其简单计算
导入新课
伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法．
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
探究新知
探究
图中是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形.
有不同的拼法吗？
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
验证方法：美国总统证法
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
大正方形的面积可以表示为________；
也可以表示为___________.
(a+b)2
c2 +4·ab/2
∵ (a+b)2 = c2 + 4·ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
验证方法：毕达哥拉斯证法
c
b
a
c
a
b
c
a
b
大正方形的面积可以表示为______；
也可以表示为__________________.
∵ c2= 4· ab/2 +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
c2
4·ab/2+(b- a)2
b
c
a
验证方法：赵爽弦图
探究新知
探究
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，但是这种方法是否具有普遍性呢？
A
B
C
A
B
C
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。
b
a
c
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
对其进行适当割补：
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c2=a2+b2
图1－5
b
a
c
A
B
C
D
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
c2=a2+b2
图1－6
b
a
c
A
B
C
D
【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2.
数学小知识
青朱出入图
a
c
b
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青入
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
达·芬奇对勾股定理的证明
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
剪开
右边部分上下翻转
应用举例
例1 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后汽车与他相距500m，你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？
C
B
公路
400m
500m
A
在直角三角形中已知什么边？要求什么边？
在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边．
分析：根据题意画出简单的示意图如图所示：
C
B
公路
400m
500m
A
解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×6×60=10800（m），即它行驶的速度为108km/h.
例2 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？
M
O
N
P
Q
30km
40km
50km
120km
利用勾股定理求出斜边OM，OQ的长，再计算造价预计．
解：在Rt△MON中，由勾股定理，得OM2＝MN2＋NO2，即OM2＝302＋402＝2500，
∴OM＝50km.
在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2，即OQ2＝502＋1202＝16900，
∴OQ＝130km，
5000×(50＋130)＝900000(万元).
M
O
N
P
Q
30km
40km
50km
120km
答：该沿江高速公路的造价预计是900000万元．
课堂小结
探索勾股定理
勾股定理的验证
勾股定理的简单运用
随堂练习
1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，小红和小颖家的距离为 （ ）
A.600m B.800m
C.1000m D.不能确定
C
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝4，AB＝3，BC＝12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是____．
169
3．如图，一架云梯长10m，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6m，要使梯子顶端离地面8m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动____m.
2
4．如图，受某次台风的影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12m处，这棵树断裂后有多高？
解：设这棵树断裂后高xm．
根据题意，得x2＋122＝(18－x)2，
解得x＝5.
答：这棵树断裂后高5m．