第11章 2 简谐运动的描述（word版含答案）

2　简谐运动的描述
[学科素养与目标要求]　
物理观念：1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.知道简谐运动的数学表达式，知道描述简谐运动的基本物理量．
科学思维：理解周期和频率的关系，结合简谐运动的图象会进行有关判断．
科学探究：观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义．
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离．
2．全振动(如图1所示)
图1
类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程．
3．周期和频率
(1)周期
①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间．
②单位：国际单位是秒(s)．
(2)频率
①定义：单位时间内完成全振动的次数．
②单位：赫兹(Hz)．
(3)T和f的关系：T＝.
4．相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x＝Asin (ωt＋φ)．
1．x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间．
2．A表示简谐运动的振幅．
3．ω叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf(与周期T和频率f的关系)．
4．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相位(或初相)．
5．相位差
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
1．判断下列说法的正误．
(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的．(　×　)
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．(　×　)
(3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．(　×　)
(4)按x＝5sin (8πt＋π) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s．(　√　)
2．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝__________________________ m.
答案　0.008sin (4πt＋)
一、描述简谐运动的物理量
如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
答案　(1)不是．经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次均与初始时刻相同．
(2)周期相同，振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．
1．振幅和位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值．
(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．
(3)位移是矢量，振幅是标量．
2．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅．
3．一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
例1　如图2所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
图2
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
答案　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s　(3)1 000 cm　10 cm
解析　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，
t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s.
由f＝得f＝5 Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s.
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm.5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
例2　(多选)(2018·嘉兴市高二第一学期期末)如图3所示为一质点的振动图象，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是(　　)
图3
A．该振动为简谐振动
B．该振动的振幅为10 cm
C．质点在前0.12 s内通过的路程为20 cm
D．0.04 s末，质点的振动方向沿x轴负方向
答案　AD
解析　该图象表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，故A正确；由题图可知该振动的振幅为5 cm，故B错误；由题图可知质点振动的周期为0.08 s,0.12 s＝1T，质点通过的路程为6A＝30 cm，故C错误；根据振动规律可知，0.04 s末质点的振动方向沿x轴负方向，故D正确．
二、简谐运动表达式的理解
2．从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
3．从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值．当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.
例3　(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋)，则A滞后B
答案　CD
解析　由振动方程x＝0.1sin 2.5πt，可读出振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或者说A滞后B，故D正确．
[学科素养]　例3考查了对简谐运动表达式的理解．应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先应明确振幅A，周期T、频率f的对应关系，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系．在解题过程中，回顾了物理概念和规律，锻炼了学生从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系认识的能力，体现了“物理观念”与“科学思维”学科素养．
三、简谐运动的周期性和对称性
(如图4所示)
图4
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反．
例4　如图5所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm.
图5
(1)求弹簧振子的振幅A；
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f.
答案　(1)12.5 cm　(2)1 s　1 Hz
解析　(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间距离的，所以A＝ cm＝12.5 cm.
(2)由简谐运动的对称性可知从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的，所以tBP＝ s＝0.1 s
同理可知：tPO＝ s＝0.15 s
又tPO＋tBP＝
联立得：T＝1 s，所以f＝＝1 Hz.
1．(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图象如图6所示，下列叙述中正确的是(　　)
图6
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
答案　BD
解析　由题图振动图象可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，故B正确；由图象知位移与时间的关系为x＝0.02sin (t) m．当t＝5 s时，其相位为×5＝π，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x′＝2sin (×1.5) cm＝ cm，故D正确．
2.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋π) cm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差．
答案　(1)0.25 s　4 Hz　5 cm　　(2)π
解析　(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝0.25 s，
f＝＝4 Hz.由x1＝5sin (8πt＋π) cm知A＝5 cm，φ1＝
(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1
得Δφ＝π－＝π.
3．(简谐运动的分析)如图7所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．请根据图象回答：
图7
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是______cm，周期是______s.
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
答案　(1)0.5　0.4　0.2　0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm　xB＝0.2sin (2.5πt＋) cm
(3)xA＝－ cm　xB＝0.2sinπ cm.
解析　(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.
(2)t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s.则A简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从正向最大位移处开始沿负方向振动，φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s，则B简谐运动的表达式为xB＝0.2sin (2.5πt＋) cm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA′＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝
－ cm，xB′＝0.2sin (2.5π×0.05＋) cm＝0.2sin π cm.
4．(简谐运动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．O点为平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅．
图8
答案　4 s　4 cm
解析　简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1 s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s.
综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2(＋2)＝2×8 cm＝16 cm.所以质点的振幅为A＝＝4 cm.
一、选择题
考点一　描述简谐运动的物理量
1.(2018·宝鸡高二检测)如图1所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动．若小球从C点第一次运动到O点历时0.1 s，则小球振动的周期为(　　)
图1
A．0.1 s B．0.2 s
C．0.3 s D．0.4 s
答案　D
解析　小球从C点第一次运动到O点的时间为0.1 s，对应的时间为一个周期的，故小球振动的周期为0.4 s，D正确．
2．如图2所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝
1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　)
图2
A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s
答案　A
解析　简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，故A正确．
3．关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是(　　)
A．运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍
B．运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍
C．运动个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍
D．运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍
答案　A
解析　运动一个周期，振子完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅的4倍，故A正确；当振子从一端开始运动，经过半个周期，则振子恰好到达另一端点，故位置变化，故B错误；若从最大位置到平衡位置的中间某点开始运动，运动周期时由于速度不是均匀的，路程并不等于振幅的3倍，故C错误；只有振子振动一个周期时，路程才等于振幅的4倍，若回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振幅的4倍，故D错误．
4.如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则(　　)
图3
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
答案　C
解析　振子从O→B→O只完成了半个全振动，A错误；从A→B振子也只是完成了半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；振幅A＝ cm＝10 cm,6 s＝T，所以振子经过的路程为6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处(A或B)，D错误．
5．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图4所示，由图可知(　　)
图4
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
答案　C
解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t＝0时质点在最大位移处，0～3 s为T，质点通过的路程为3A＝6 cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为
2 cm，所以D错误．
6．如图5所示，物体A和B用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为(　　)
图5
A. B.
C. D.
答案　A
解析　轻绳断开前，弹簧的伸长量为x1＝.若弹簧下只挂有A，则静止时弹簧的伸长量x2＝，此位置为A在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则A振动的振幅为x1－x2＝－＝，故A正确．
考点二　简谐运动的表达式
7．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x＝Asin t，则质点(　　)
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同
答案　AD
解析　根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图象如图所示，图象切线的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但切线的斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点切线的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
8．(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin m．比较A、B的运动(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
答案　CD
解析　振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期均为T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D对．
9．(多选)如图6所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是(　　)
图6
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
答案　AB
解析　t＝0.6 s时，物块的位移为x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，则对小球h＋|x|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．
考点三　简谐运动的周期性与对称性
10．一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　　)
A．0.4 Hz B．0.8 Hz C．2.5 Hz D．1.25 Hz
答案　D
解析　由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确．
11．(2018·沈阳市郊联体高二上学期期末)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间(　　)
A．1.2 s B．1.0 s C．0.4 s D．1.4 s
答案　D
解析　若从O点开始向右振子按如图甲所示路线振动，则振子的振动周期为：T1＝4×(0.3＋×0.2) s＝1.6 s，
则该质点再经过时间Δt1＝T1－0.2 s＝1.4 s，第三次经过P点．
若振子从O点开始向左振动，则按如图乙所示路线振动，
设从P到O的时间为t，则×0.2 s＋t＝，解得：t＝ s，可得周期为：T2＝4×(＋0.1) s＝ s，则该质点再经过时间Δt2＝T2－0.2 s＝ s，故D正确，A、B、C错误．
12．(多选)(2018·天津卷)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
答案　AD
解析　若振幅为0.1 m，则t＝＋nT(n＝0,1,2，…)．
当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s，
故选项A正确，选项B错误．
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知
t＝0时，－＝Asin φ，φ＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；
若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，
则周期最大为2 s.
综上所述C错误，D正确．
二、非选择题
13.如图7所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
图7
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
答案　(1)b、e、f　(2)d、e　(3)2 cm
解析　(1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小．由题图知最大距离为2 cm.
14．某个质点的简谐运动图象如图8所示．
图8
(1)求振动的振幅和周期；
(2)写出简谐运动的表达式．
答案　(1)10 cm　8 s　(2)x＝10sin (t) cm
解析　(1)由题图读出振幅A＝10 cm
简谐运动方程x＝Asin (t) cm
代入数据得－10＝10sin (×7) cm
解得T＝8 s.
(2)x＝Asin (t)＝10sin (t) cm.