第13章 微型专题 几何光学的原理及应用（word版含答案）

微型专题　几何光学的原理及应用
[学科素养与目标要求]　
物理观念：1.知道光的直线传播规律.2.知道光的反射定律、折射定律和全反射的规律.3.知道光的可逆原理．
科学思维：1.会根据几何光学的基本原理画出光路图.2.会利用几何关系找出相应的角、边关系．
一、几何光学的基本原理及应用
几何光学就是以光线为工具，研究光的传播规律．解几何光学的题目，首先根据几何光学的基本原理画出光路图，然后利用几何关系找出相应的角、边关系．
几何光学研究的是光线传播的规律，主要包括五条基本规律．
1．光的直线传播规律
2．光的反射定律
(1)反射光线与入射光线、法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧．
(2)反射角等于入射角．
3．光的折射定律
折射光线与入射光线、法线在同一平面内，折射光线、入射光线分居法线两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比．公式：n12＝.其中θ1为入射光线与法线的夹角，θ2为出射光线与法线的夹角．
4．光的全反射规律
发生全反射的条件是：
(1)由光密介质射向光疏介质；
(2)入射角θ≥临界角C，其中sin C＝.
5．光的可逆原理
在反射、折射和直线传播中，光路都是可逆的．
例1　如图1所示，一棱镜的截面为直角三角形ABC，∠A＝30°，斜边AB＝a.棱镜材料的折射率为.在此截面所在的平面内，一条光线以45°的入射角从AC边的中点M射入棱镜．画出光路图，并求光线从棱镜射出的点的位置(不考虑光线沿原路返回的情况)．
图1
答案　见解析
解析　设入射角为θ1，折射角为θ2，由折射定律得
＝n①
由已知条件及①式得θ2＝30°②
如果入射光线在法线的右侧，光路图如图甲所示．设出射点为F，由θ2＝30°得光线垂直于AB射出，且由几何关系可得AF＝a③
甲
即出射点在AB边上离A点a的位置．
如果入射光线在法线的左侧，光路图如图乙所示．
乙
设折射光线与AB边的交点为D.由几何关系可知，在D点的入射角θ＝60°④
设全反射的临界角为C，则sin C＝⑤
由⑤式和已知条件得C＝45°⑥
因此，光在D点发生全反射．
设此光线的出射点为E，由几何关系得
∠DEB＝90°，BD＝a－2AF⑦
BE＝BDsin 30°⑧
联立③⑦⑧式得BE＝a
即出射点在BC边上离B点a的位置．
求解几何光学的题目首先要画出光路图，然后利用相应的公式结合几何知识分析边、角关系.而光从光密介质射到光疏介质时，首先要判断是否发生了全反射.
二、全反射和临界角的综合问题
分析光的全反射、临界角问题的一般思路
(1)确定光是由光疏介质进入光密介质，还是由光密介质进入光疏介质．
(2)若光是由光密介质进入光疏介质，根据公式sin C＝确定临界角．
(3)画出恰好发生全反射的光路图，利用几何知识分析边、角关系，找出临界角．
(4)以恰好发生全反射的光线为比较对象来判断其他光线是否发生全反射，从而画出其他光线的光路图．
例2　(2018·全国卷Ⅱ)如图2，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°.一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出．EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点．不计多次反射．
图2
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案　(1)60°　(2)≤n<2
解析　(1)光线在BC面上发生折射，由折射定律有
sin i1＝nsin r1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角．光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角．光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsin i3＝sin r3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角．
由几何关系得
i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①②③④⑤式得
δ＝60°⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全发射，有nsin i2≥nsin C>nsin i3⑦
式中C是全反射临界角，满足
nsin C＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为
≤n<2.⑨
[学科素养]　光在穿过有形介质时，往往要发生多次折射和反射，所以常把全反射现象和一般的折射问题综合起来考查．在解题时，要边计算、边作图、边考虑几何关系，三个环节同步进行，才能得到合理的情况．例2体现了“物理观念”和“科学思维”的学科素养．
针对训练　如图3所示，ABC为一透明材料制成的柱形光学元件的横截面，该种材料的折射率n＝，AC是一半径为R的圆弧，O为圆弧的圆心，ABCO构成正方形，在O处有一点光源．从点光源射到圆弧AC的光线进入透明材料后首次射向AB或BC界面时，有一部分不能从AB或BC界面直接射出．下面的问题只研究进入透明材料后首次射向AB或BC界面的光线，已知AB面上的P点到A点的距离为R.求：
图3
(1)从P点射出的光线的折射角；
(2)AB和BC横截面上没有光线射出部分的总长度．
答案　(1)60°　(2)(2－)R
解析　(1)设射向P点的光线入射角为θ1，折射角为θ2，如图所示，
tan θ1＝＝，
θ1＝30°，故sin θ1＝
根据折射定律有n＝＝
解得θ2＝60°
(2)设临界角为C，射向M点的光线恰好发生全反射，则有sin C＝＝，由数学知识可得tan C＝
AB横截面没有光线射出部分的长度BM＝(1－tan C)R＝(1－)R
同理可知BC横截面没有光线射出部分的长度为(1－)R
两横截面上没有光线射出部分的总长度l＝2(1－)R＝(2－)R.
1.(几何光学的基本原理及应用)(2018·四川资阳二诊)如图4所示，一个三棱镜的截面为等腰直角△ABC，腰长为a，∠A＝90°.一束细光线沿此截面所在平面且平行于BC边的方向从真空射到AB边上的中点M，光在M点发生折射后射到AC边上，并刚好在AC边上发生全反射．已知真空中的光速为c，试求：
图4
(1)该棱镜材料的折射率n；
(2)光从AB边到AC边的传播时间t.
答案　见解析
解析　(1)设光从AB边射入时入射角为i，折射角为α，射到AC边上N点时入射角为β，作出光路如图所示．
根据折射定律：
n＝
光在AC边上恰好发生全反射：
sin β＝
又由几何关系：
α＋β＝90°
i＝45°
联立解得：
n＝
(2)由图中几何关系可得M、N间距x＝
光在棱镜内传播的速度v＝
t＝
联立解得：t＝
2.(全反射和临界角的综合问题)用某种透明材料制成的一块柱体形棱镜的水平截面图如图5所示，左侧ABOD为长方形，右侧DOF为以O为圆心的圆．光线从真空以入射角θ1＝60°射到棱镜AB面，经折射后，光线到达BF面上的O点并恰好不从BF面射出．
图5
(1)画出光路图；
(2)求该棱镜的折射率n和光线在棱镜中传播的速度大小v(光在真空中的传播速度c＝3×
108 m/s)．
答案　(1)见解析图　(2)　×108 m/s
解析　(1)光路图如图所示
(2)设光线在AB面的折射角为θ2，折射光线与OD的夹角为C，则n＝
由题意可知，光线在BF面恰好发生全反射sin C＝
由图可知，θ2＋C＝90°
联立以上各式解得n＝
又n＝，
可解得v＝×108 m/s.
3.(全反射和临界角的综合问题)一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图6所示，玻璃的折射率为n＝.
图6
(1)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少？
(2)一细束光线在O点左侧与O相距R处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置．
答案　见解析
解析　(1)在O点左侧，设从E点射入的光线进入玻璃砖后在上表面的入射角恰好等于发生全反射的临界角θ，则OE区域的入射光线经上表面折射后都能从玻璃砖射出，如图甲．由全反射条件有
甲
sin θ＝①
由几何关系有
OE＝Rsin θ②
由对称性可知，若光线都能从上表面射出，光束的宽度最大为
l＝2OE③
联立①②③式，代入已知数据得
l＝R④
(2)设光线在距O点R的C点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系及①式和已知条件得
α＝60°>θ⑤
光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图乙，由反射定律和几何关系得
OG＝OC＝R⑥
乙
射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出．
1.(2018·西安中学高二第二学期期中)如图1所示，△ABC为一直角三棱镜的横截面，∠BAC＝30°，现有两条间距为d的平行单色光线垂直于AB面射入三棱镜，已知棱镜对该单色光的折射率为.
图1
(1)若两条单色光线均能从AC面射出，求两条单色光线从AC面射出后的距离；
(2)若第三条单色光线垂直于AB面射入三棱镜，到达AC面恰好能发生全反射，若真空中光速为c，求这条光线在三棱镜中的传播速度．
答案　见解析
解析　(1)如图所示，
两条单色光线在AC面的折射点分别为D、E，由图中几何关系可知，入射角i＝30°
则根据光的折射定律有＝n
得r＝60°
在直角三角形DEF中∠EDF＝30°
所以EF＝DE＝·＝d.
(2)由题意结合光路图知入射的临界角为30°，n2＝＝2，则光在三棱镜中的传播速度v＝.
2．(2018·唐山一中高二第二学期期中)如图2所示为安全防盗门上的观察孔(俗称“猫眼”)，直径为d，为了扩大向外观察的范围，在孔中完全嵌入折射率为n＝的玻璃，玻璃由圆柱体和顶角为60°的球冠组成，猫眼的平面部分正好和安全门内表面平齐，球冠的边缘恰好和防盗门外表面平齐．若要让房间里的人能看到门外全部的景象，门的厚度不能超过多少？
图2
答案　d
解析　若要让房间的人能看到门外全部的景象，则沿平行门方向射向C处的光线能够折射经过A点即可．
光路如图所示：
根据光的折射定律有＝n
可得γ＝30°
有几何关系知∠CAB＝30°
则门的厚度最大为BC＝ABtan 30°＝d.
3.(2018·青岛一中高二第二学期第一次模拟考试)如图3所示是一个半球形透明物体的侧视图，现在有一细束单色光沿半径OA方向入射，保持入射方向不变，不考虑光线在透明物体内部的反射．
图3
(1)将细光束平移到距O点R处的C点，此时透明物体左侧恰好不再有光线射出，求透明物体对该单色光的折射率；
(2)若细光束平移到与O点0.5R处，求出射光线与OA轴线的交点与O点的距离．
答案　(1)　(2)R
解析　(1)如图甲所示，
甲
光束由C处水平射入，在B处恰好发生全反射，∠OBC为临界角，由几何关系有sin ∠OBC＝＝，则折射率n＝＝.
(2)如图乙所示，
乙
光束由D点水平射入，在E点发生折射，入射角为∠OED＝α，折射角为∠NEF＝β，折射率n＝＝，sin α＝＝
联立解得：sin β＝，β＝60°
由几何关系可知：∠FOE＝α＝30°，
∠OFE＝β－α＝30°＝α，
则出射光线与OA轴线的交点F与O点的距离为：OF＝2Rcos 30°＝R.
4.(2018·四川宜宾一诊)如图4所示，模截面为直角三角形的玻璃砖ABC，AC边长为L，∠B＝30°.两条同种色光的光线P、Q，从AC边中点射入玻璃砖，其中光线P垂直AC边，光线Q与AC边夹角为45°.发现光线Q第一次到达BC边后垂直BC边射出，已知真空中的光速为c.求：
图4
(1)玻璃砖的折射率．
(2)光线P由进入玻璃砖到第一次从BC边射出经过的时间．
答案　(1)　(2)
解析　(1)作出光路图如图所示：
光线Q在AC边的入射角i＝45°
由几何关系可知在AC边的折射角r＝30°
由折射定律得n＝＝
(2)光线P在玻璃砖中传播时s1＝＝L
s2＝＝L
P在玻璃砖内传播的速度v＝，则所要求的时间为t＝
由以上各式可得t＝.
5.如图5所示，圆形的光学仪器(斜线阴影)内有一个半径为2R的圆形空腔，空腔左面侧壁上有一台激光器，可以沿空腔的直径方向发出在真空中速度为c的激光束．空腔中放置了一个比空腔略小(半径可视为2R)的折射率为2的透明圆柱状光学材料，光学材料的圆心在空腔的圆心O点，并且材料中被挖掉了一块半径为R的截面为半圆形的柱体(圆心和O点重合)，挖掉的部分为真空．(反射与折射在同一界面时只考虑折射)
图5
(1)求激光从发出到照射到空腔壁的时间．
(2)激光器始终开启，若光学材料围绕空腔圆心O点顺时针转动90°，空腔壁上能被激光照射到的圆弧长度为多少？(只考虑反射光线照射的圆弧长度)
答案　(1)　(2)
解析　(1)光在半圆真空中的传播时间为t1＝
光学材料中光速为v＝，传播距离为3R
传播时间为：t2＝＝
总时间t＝t1＋t2＝
(2)在O处，光从光密介质射入光疏介质，设发生全反射的临界角为C，则sin C＝，解得C＝30°，所以照射的弧长范围为l＝.
6.如图6所示，由两种不同透明介质制成的直角三棱镜甲和乙，并排放在一起刚好构成一截面为正三角形的棱镜，甲的折射率为n1＝1.5，一细光束由AB边的中点O斜射入棱镜甲，已知入射光线在AB边的入射角的正弦值为sin i＝0.75，经折射后该光束刚好在棱镜乙的AC边发生全反射，最后从BC边射出，已知真空中的光速为c＝3×108 m/s，AB边的长度为l＝6 cm，求该细光束在棱镜中的传播时间．
图6
答案　3.75×10－10 s
解析　由题意可知该细光束在棱镜甲中的传播速度为：v1＝＝2×108 m/s
设该细光束在AB边的折射角为θ，由折射定律可得：n1＝，得到：θ＝30°
由几何关系可知，细光束在棱镜甲中的折射光线与AB边的夹角为90°－30°＝60°，故折射光线与底边BC平行，光线进入棱镜乙时传播方向不变．
因光束刚好在AC边发生全反射，由几何知识得到，光线在AC边的入射角为90°－60°＝30°，即发生全反射的临界角为：C＝30°
设棱镜乙的折射率为n2，则有sin C＝，得到：n2＝2
则该细光束在棱镜乙中的传播速度为v2＝＝1.5×108 m/s
由几何关系可知：OE＝＝1.5 cm，EF＝＝1.5 cm，FD＝＝3 cm
则该光束在棱镜中的传播时间为：t＝＋＝3.75×10－10 s.
7.(2018·沈阳东北育才学校高二下学期期中)如图7所示，有一透明玻璃砖的截面，其上面的部分是半径为R的半圆，下面是边长为2R的正方形，在玻璃砖的两侧面距离R处，分别放置和侧面平行的足够大的光屏，已知玻璃砖的折射率n＝，一束光线按图示方向从左侧光屏的P点射出，过M点射入玻璃砖，恰好经过半圆部分的圆心O，且∠MOA＝45°，光在真空中的传播速度为c.求：
图7
(1)光在玻璃砖中发生全反射的临界角；
(2)光从P点发出到第一次传播到右侧光屏上所用的时间．
答案　(1)37°　(2)
解析　(1)设光在玻璃砖中发生全反射的临界角为C，则：n＝
解得：sin C＝
C＝37°
(2)由于光射到玻璃砖的平面上时的入射角均为i＝45°>C＝37°，则射到玻璃砖面上的光线发生全反射，其光路图如图所示．
由几何知识可得，光在玻璃砖和光屏之间传播的距离x1＝2(2－1)R
传播的时间t1＝＝
光在玻璃砖内传播的距离：x2＝(4＋2)R
光在玻璃砖内传播的速度为v＝＝c
光在玻璃砖内传播的时间t2＝＝
光从P点发出到第一次传播到右侧光屏上所用时间：t＝t1＋t2＝.