课件22张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 四种命题及其关系
命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若﹁p，则﹁q”；逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．书写四种命题应注意：
(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．
(2)要注意条件和结论的否定形式． 判断下列命题的真假：
(1)“若0
(2)a，b为非零向量，“如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题． (1)(2011·高考福建卷)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“A?B”是“a＞5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1?|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1?a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.
(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4}，所以A?B?a＞4，而a＞5?a＞4，且a＞4 a＞5，所以“A?B”是“a＞5”的必要不充分条件．
【答案】 (1)A (2)B专题三 逻辑联结词
逻辑联结词“且”“或”“非”与集合的“交”“并”“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．
含有逻辑联结词的命题的真假判断，要以真值表为标准，对于p∧q来说：“有假则假”；对于p∨q来说：“有真则真”；对于﹁p来说：“真假相对”．
已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是真命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题，其中正确的是( )
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【答案】 C专题四 全称命题与特称命题
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可．
(3)要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使p(x0)成立即可，否则这一特称命题为假命题．
【答案】 D专题五 数学思想
1．转化与化归思想
利用互为逆否命题之间的等价性进行命题真假的判断、证明是转化与化归思想在逻辑中的直接应用，全称命题与特称命题在否定时的相互转化也是这一思想的具体体现．2．分类讨论思想
对于含参数的问题，由于参数取值不同影响函数的取值情况，因此常常需要分类讨论．本章中对于“一真一假”两个命题常用到分类讨论思想，在解决充分、必要条件问题时也常用到分类讨论思想．
设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
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(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列四个命题，其中真命题是( )
A．?n∈R，n2≥n
B．?n∈R，?m∈R，m·n＝m
C．?n∈R，?m∈R，m2＜n
D．?n∈R，n2＜n
解析：选B.对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.
2．下列特称命题不正确的是( )
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋3x＋3≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：选B.∵x2＋3x＋3＝2＋>0，
∴选项B中命题不正确．
3．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．p∨q形式 D．p∧q形式
解析：选B.因为命题中含存在量词“有且只有一个”，所以是特称命题．
4．已知向量a，b，则“a∥b”是“a＋b＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.必要性：a＋b＝0?a＝－b，从而有a∥b；充分性：当a∥b时，可以取a＝2b，从而a＋b＝3b，当b≠0时，a＋b≠0.综上，“a∥b”是“a＋b＝0”的必要不充分条件．
5．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为( )
A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行
C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行
D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行
解析：选A.命题“若A，则B”的否命题为“若﹁A，则﹁B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.
6．“α≠”是“cos α≠”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.法一：当α≠时，由α＝－可以得出cos α＝，故“α≠”不是“cos α≠”的充分条件；但当cos α≠时，一定不会有α＝，故“α≠”是“cos α≠”的必要不充分条件．正确选项为B.
法二：原命题的逆否命题是：“cos α＝”是“α＝”的什么条件．当cos α＝时，α＝2kπ±(k∈Z)；当α＝时，cos α＝.显然“cos α＝”是“α＝”的必要不充分条件，因为原命题与逆否命题是等价的，故选B.
7．已知命题p：“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，命题q：“＞”是“a＞b”的充要条件，则( )
A．“p或q”为真 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
解析：选A.由x＞3能够得出x2＞9，反之不成立，故命题p是假命题；由＞能够推出a＞b，反之，因为＞0，所以由a＞b能推出＞成立，故命题q是真命题．因此选A.
8．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：选D.A中原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错；C中命题的否定应为“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错；在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，因此D正确．
9．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x＜3x，命题q：?x∈(0,1)，log2x＜0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(﹁q)
C．(﹁p)∧q D．p∧(﹁q)
解析：选C.由指数函数的图象与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨(﹁q)”为假命题，命题“(﹁p)∧q”为真命题，命题“p∧(﹁q)”为假命题，故选C.
10．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析：选C.命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.
二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)
11．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是__________．
答案：圆的切线到圆心的距离等于半径
12．命题p：?α，sin α＞1是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否命题﹁p：________________，它是________命题(填“真”或“假”)．
答案：特称命题 假 ?α，sin α≤1 真
13．已知命题p：|x2－x|≠6，q：x∈N，且“p且q”与“﹁q”都是假命题，则x的值为________．
解析：由“p且q”与“﹁q”都是假命题，知p假q真，得
解得x＝3.
答案：3
14．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；
③“菱形的对角线垂直”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，
∴是真命题．
②否命题：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．
③逆命题：“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为0”是真命题．
答案：①②④
15．已知“关于x的不等式<3对于?x∈R恒成立”的充要条件是“a∈(a1，a2)”，则a1＋a2＝________.
解析：∵x2－x＋1>0，∴原不等式化为x2－ax＋2<3x2－3x＋3，即2x2＋(a－3)x＋1>0.
∵?x∈R时，2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立，
∴Δ＝(a－3)2－8<0.
∴3－2∴a1＋a2＝6.
答案：6
三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(2)?x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(3)?x∈{x|x∈Z}，log2x>2.
解：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；
(2)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题；
(3)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
17.
如图所示的电路图，设命题p：开关K闭合，命题q：开关K1闭合，命题s：开关K2闭合，命题t：开关K3闭合．
(1)写出灯泡A亮的充要条件；
(2)写出灯泡B不亮的充分不必要条件；
(3)写出灯泡C亮的必要不充分条件．
解：(1)灯泡A亮的充要条件是“p∧q”；
(2)灯泡B不亮的充分不必要条件是“﹁p”或“﹁s”；
(3)灯泡C亮的必要不充分条件是p或t.
18．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)m＞时，mx2－x＋1＝0无实根；
(2)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．
解：(1)将原命题改写成“若p，则q”的形式为“若m＞，则mx2－x＋1＝0无实根”．
逆命题：“若mx2－x＋1＝0无实根，则m＞”，是真命题；
否命题：“若m≤，则mx2－x＋1＝0有实根”，是真命题；
逆否命题：“若mx2－x＋1＝0有实根，则m≤”，是真命题．
(2)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
19．设p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
解：若p真，则由指数函数的单调性知0＜a＜1.
若q真，则得a＞.
∴p假，则a≤0，或a≥1；q假，则a≤.
又p∧q为假，p∨q为真，∴p和q有且仅有一个正确，
①当p真q假时，0＜a≤；
②当p假q真时，a≥1.
综上，a的取值范围是∪[1，＋∞)．
20．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，
命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)·(x－a)＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3.
由得2＜x≤3，
即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
(2)法一：﹁p是﹁q的充分不必要条件，
即﹁p?﹁q，且﹁q ﹁p，
设A＝{x|﹁p}，B＝{x|﹁q}，则AB.
又A＝{x|﹁p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|﹁q}＝{x≤2或x＞3}，
则0＜a≤2，且3a＞3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
法二：∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，
∴﹁p?﹁q，且﹁q ﹁p，
与它等价的命题是q?p且p q.
令M＝{x|p}，N＝{x|q}，则NM，
结合(1)在数轴上表示不等式如图，
从而，
∴1＜a≤2，
∴实数a的取值范围是(1,2]．
1．已知命题p：?x∈R，x>sin x，则p的否定形式为( )
A．﹁p：?x0∈R，x0B．﹁p：?x∈R，x≤sin x
C．﹁p：?x0∈R，x0≤sin x0
D．﹁p：?x∈R，x解析：选C.命题p是全称命题，它的否定﹁p是一个特称命题：?x0∈R，x0≤sin x0.
2．以下判断正确的是( )
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
解析：选B.根据真值表，当p，q都为真时，p∧q才为真，当p，q中一个为真时，p∨q为真，∴A错误．C中“p∧q”为假命题时，可能p是假命题，也可能q为假命题，也可能都为假命题，∴C错误．D中，p是假命题，p∧q一定为假命题．
3．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．
解析：全称命题的否定是特称命题，“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q”．
答案：有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等
4．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“﹁p”中是真命题的为__________．
解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，﹁p为真命题．
答案：p∨q，﹁p
5．设语句q(x)：|x－1|＝1－x.
(1)写出q(1)，q(2)，并判断它们是不是真命题；
(2)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题；
(3)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．
解：(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题．q(2)：|2－1|＝1,1－2＝－1，|2－1|≠1－2，假命题．
(2)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知q(2)为假命题，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为假命题．
(3)?a∈R，使|a－1|＝1－a.由(1)知q(1)为真命题，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题．
6．指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0解：(1)∵{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2－2或x<3} {x|－2－2或x<3}．
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a、b都是奇数?a＋b为偶数，而a＋b为偶数 a、b都是奇数，∴p是q的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根?
???0∴p是q的充要条件．
