(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程是x＝－7，则抛物线的标准方程是( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
解析：选B.∵抛物线的准线为x＝－7，
∴p＝14，且开口方向向右．
故抛物线的方程为：y2＝28x.
2．双曲线－＝1的焦点坐标是( )
A．(－，0)，(，0) B．(0，－)，(0，)
C．(－4,0)，(4,0) D．(－5,0)，(5,0)
解析：选D.双曲线焦点在x轴上，且c＝＝5，所以焦点为(±5,0)．
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，故是等轴双曲线，离心率e＝.
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.由题意得点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．
5．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选D.依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝x，
故＝2，得p＝.
6．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c＝1，又e＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.
故所求的椭圆方程为＋＝1.
7．若抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标为( )
A．(9,6) B．(6,9)
C．(±6,9) D．(9，±6)
解析：选D.设P(x0，y0)，则x0－(－1)＝10，即x0＝9，代入抛物线方程，得y＝36，即y0＝±6.
8．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：选B.∵直线mx＋ny＝4与圆O无交点，
∴＞2，即m2＋n2＜4，
∴＋＜1.∴＋＜1，
∴点P(m，n)在椭圆内部，过点P的直线与椭圆有2个交点．
9．设F1和F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是2，则b的值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A.由
得|PF1|·|PF2|＝2b2.
因此，S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝2.故b＝.
10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C.如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p·40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
其方程不同主要是因为讨论的焦点不同．
二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)
11．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＝|AB|＝6，则|F2B|＝________.
解析：∵|F2A|＝|AB|＝6，a＝5，
由椭圆的定义知：|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝20，
∴|F2B|＝8.
答案：8
12．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．
解析：∵k＋5>k－2，
又曲线＋＝1的焦距与k无关，
∴k＋5>0，k－2<0，曲线是焦点在y轴上的双曲线，且a2＝k＋5，b2＝2－k，c2＝a2＋b2＝7，故焦点坐标为(0，±)．
答案：(0，±)
13．动直线y＝a与抛物线y2＝x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．
解析：由，解得A(2a2，a)，设M的坐标为(x，y)，
则，∴x＝y2，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
14．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，
如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
答案：
15．若一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则该动圆必过点________．
解析：因为直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，又动圆恒与直线x＋2＝0相切，
所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离．
故由抛物线的定义可知，所求定点为抛物线的焦点(2,0)．
答案：(2,0)
三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程．
解：(1)依题意，有3m2－5n2＝2m2＋3n2，即m2＝8n2，即双曲线方程为－＝1，故双曲线的渐近线方程是－＝0，即y＝±x.
(2)不妨设渐近线y＝±x与直线l：x＝c交于点A、B，则|AB|＝，S△OAB＝c·c＝，解得c＝1.
即a2＋b2＝1，又＝，a2＝，
b2＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
17．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程．
解：∵＝2，故P为MN中点，
又⊥，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负方向上．
设N(x，y)，则M(－x,0)，P(0，)，(x＞0)．
∴＝(－x，－)，＝(1，－)．
∵⊥，
∴·＝0，即－x＋＝0.
∴y2＝4x(x＞0)是轨迹C的方程．
18．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.
(1)求该双曲线的离心率；
(2)若点P(2,1)在双曲线E上，求直线y＝kx＋1与该双曲线有且仅有一个公共点时相应的k值．
解：(1)∵＝，∴＝.故e＝.
(2)设双曲线方程为－＝1，
∵把P(2,1)代入可得a2＝2，∴－y2＝1.
由得(1－2k2)x2－4kx－4＝0.
当1－2k2＝0，即k＝±时，满足题意；
当1－2k2≠0时，应有Δ＝16k2＋16(1－2k2)＝0.
此时k2＝1，即k＝±1.
综上，可知当k＝±或k＝±1时直线与双曲线有且仅有一个交点．
19．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点(1，－)．
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，求证：∠MAN＝.
解：(1)由题意，即可得到＋y2＝1.
(2)证明：设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和曲线C的方程可得
得(k2＋4)y2－ky－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，
y1y2＝－，y1＋y2＝，
则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，
即可得∠MAN＝.
20．已知椭圆的两个焦点F1，F2的坐标分别为(0，－2)，(0,2)，离心率e＝.
(1)求椭圆方程；
(2)一条斜率为－9的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，求线段MN中点横坐标x0的取值范围．
解：(1)由题意知2c＝4，e＝＝，
于是可得c＝2，a＝3，b2＝1.
由已知条件知椭圆的焦点在y轴上，
故其方程为x2＋＝1.
(2)设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其连线的中点为(x0，y0)，则＝－9，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
∴
作差得，(x1＋x2)(x1－x2)＋＝0，
即2x0＋(－9)＝0，从而可得y0＝x0.
又∵点(x0，y0)在椭圆内部，∴x＋＜1.
因此，－＜x0＜.
故线段MN中点的横坐标x0的取值范围为
.
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝3x有且只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C.切线有两条(其中一条为y轴)，平行于x轴有一条，∴共有3条，故选C.
2.
(2012·高考浙江卷)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
解析：选B.设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2，选B.
3．椭圆＋＝1(m>7)上一点P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为__________．
解析：设椭圆的右焦点F(c,0)，长轴端点分别为(－a,0)、(a,0)，则|PF|＝(a＋c＋a－c)＝a，故点P为椭圆的短轴端点，即(0，)、(0，－)．
答案：(0，)、(0，－)
4．双曲线－＝1的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为________．
解析：由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝10，|PF1|＝12.
∴|12－|PF2||＝10.
∴|PF2|＝2或22.
答案：2或22
5．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上任一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：
如图所示，∵M是AQ的垂直平分线与CQ的交点，连接MA，
∴|MQ|＝|MA|.∵|MC|＋|MA|＝|MC|＋|QM|＝|QC|＝5，又AC＝2，
∴点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝5,2c＝2.∴a＝，c＝1.
∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴点M的轨迹方程为＋＝1.
6．已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解：(1)由消去y，并整理得
9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
上面方程的判别式Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)，
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围为[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝
＝
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
课件21张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线的定义是推导其标准方程及几何性质的基础，因此解决圆锥曲线的有关问题，要注意运用圆锥曲线定义的应用，“回归定义”是一种重要的解题策略．
【答案】 C专题二 圆锥曲线的方程与性质
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．
【答案】 (1)C (2)D专题三 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要有：
(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；
(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；
(3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算．
专题四 曲线与方程
求曲线方程的常用方法有：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．专题五 数学思想
分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论．
如在讨论曲线与直线的位置关系时，对直线的斜率是否存在要分类讨论；在求曲线的方程时，对焦点的位置也要分类讨论．
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