(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为( )
A.， B．5,2
C．－，－ D．－5，－2
解析：选A.a∥b，则存在m∈R，使得a＝mb，又a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，则有
可得
2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
解析：选A.＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(－5，－1,7)，
∴·＝－10＋3＋7＝0.
∴BC⊥CA.
∴△ABC是直角三角形．
3．已知在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：选B.因＝－＝(＋)－＝b＋c－a.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3 B．2
C. D．5
解析：选A.|a－b＋2c|＝，
∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.
5．给出下列命题：
①已知a⊥b，则a·(b＋c)＋c·(b－a)＝b·c；
②A、B、M、N为空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N四点共面；
③已知a⊥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量m＝a＋c构成空间另一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.当a⊥b时，a·b＝0，a·(b＋c)＋c·(b－a)＝a·b＋a·c＋c·b－c·a＝c·b＝b·c，故①正确；
当向量、、不能构成空间的一个基底时，、、共面，从而A、B、M、N四点共面，故②正确；
当a⊥b时，a，b不共线，任意一个与a，b不共面的向量都可以与a，b构成空间的一个基底，故③错误；
当{a，b，c}是空间的一个基底时，a，b，c不共面，所以a，b，m也不共面，故a，b，m可构成空间的另一个基底，故④正确．
6．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
解析：选C.空间的四点M、A、B、C共面只需满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，或存在实数x，y使得＝x＋y.
7．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.如图所示，设|a|＝m(m＞0)，
a＝，PA⊥平面xOy，
则在Rt△PBO中，|PB|＝||·cos〈a，i〉＝m，
在Rt△PCO中，|OC|＝||·cos〈a，j〉＝，
∴|AB|＝，
在Rt△PAB中，
|PA|＝
＝ ＝，
∴|OD|＝，在Rt△PDO中，
cos〈a，k〉＝＝，
又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.
8．已知点A(－3,4,3)，O为坐标原点，则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B.A点在面yOz上的射影为B(0,4,3)且|OB|＝5，所以OA与平面yOz所成角θ满足tan θ＝＝.
9.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
解析：选B.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E(1,1，)，F(，0,1)．故＝(0,1，)，＝(－，0,1)．
由即所以
当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B.
10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为( )
A．90° B．60°
C．120° D．45°
解析：选C.如图，
以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，
于是＝(0，a,0)，＝(－a，a，a)，＝(0,0，a)．
设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝(x，y，z)·(0，a,0)＝ay＝0，
n·＝(x，y，z)·(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0.
∵a≠0，∴y＝0，x＝z.
令x＝z＝1，则n＝(1,0,1)，
同理，平面B1BD1的法向量m＝(－1，－1,0)．
由于cos〈n，m〉＝＝－，
而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.
二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)
11．已知a＝(2，－1,0)，b＝(k,0,1)，若〈a，b〉＝120°，则k＝________.
解析：∵cos〈a，b〉＝＝＝－ ＜0，
∴k＜0，且k2＝.∴k＝－.
答案：－
12．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
解析：cos〈a，b〉＝＝－，得sin〈a，b〉＝，由公式S＝|a||b|sin〈a，b〉可得结果．
答案：6
13.
如图，空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
解析：＝－
＝(＋)－
＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
14．点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内一点，且满足＝＋＋，则点P到棱AB的距离为__________．
解析：
如图所示，过P作PQ⊥平面ABCD于Q，过Q作QE⊥AB于E，连接PE.
∵＝＋＋，
∴PQ＝，EQ＝，
∴点P到棱AB的距离为
PE＝＝.
答案：
15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成的角的余弦值是________．
解析：
如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，＝(－4,4,0)，＝(0,4，－2)．
cos〈，〉＝
＝.
∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，CM＝2MA，A1N＝2ND，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
解：∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(＋)
＝－－＋＋
＝－a＋b＋c，∴＝－a＋b＋c.
17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD的中心．求证：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP.
证明：
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，P，
M，N(1，y,1)．
∴＝，
＝.
∴·＝(－1)×＋0×＋×1＝0，
∴⊥，
即A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.
18.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．
解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，
∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，
∴PD⊥平面ABM.
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)
如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)．
∵AM⊥PD，PA＝AD，
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,0)．
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得，
令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sin α＝＝.
∴cos α＝，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为.
19.
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又因为PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
又因为AD∩PD＝D，
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，
C(－1，，0)，P(0,0,1)，
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，
＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，〈m，n〉等于二面角A－PB－C的平面角，cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.
20.
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
解：(1)
证明：如图所示，以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
所以＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，
·＝0，所以，PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
(2)＝(－1,1,0)，＝(1，－1，－1)，所以cos〈，〉＝＝＝－，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
由，得，
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，得平面PCD的一个法向量为
n＝(1,1,1)．又＝(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离
d＝＝＝.
