九年级上学期第三章二次根式讲学稿

课题：3.1二次根式
学习目标：1.二次根式的定义
2.二次根式的性质
学习重点：二次根式的性质
学习难点：二次根式的性质的应用
学习过程：
（一）、师生活动，情景引入
我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号，现在请同学们思考并回答下面两个问题
提出问题
1.表示什么? 2.a需要满足什么条件? 为什么?
3. 计算:
(1) 的平方根是 .
(2) 如图,在RABC中,AB=50m,BC=m ,则AC= m.
(3) 圆的面积为S,则圆的半径是 .
(4) 正方形的面积为,则边长为 .
4. 对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们
有什么共同的特征吗?
5、二次根式的定义.
（二）、实践与探索
1、动动脑筋：你能把一张三边分别为、、 的三角形纸片放入4×4方格内,使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?
（图1-2）
2、正方形的边长是 .（）
参考图1-2,完成以下填空:
你发现什么规律？
二次根式性质1：


3.尝试与交流： =____,=____,=____,=____,=____
你有什么发现？
二次根式性质2： ==_________

4.比较与的区别
三、例题
例1．说一说,下列各式是二次根式吗? (1) (2)6 (3) (4) (5)、异号) (6) (7)
例2．a取何值时,下列二次根式有意义.
(1) (3)
(2) （4）
例3．计算：、（1）2 (2) (3) （4）

二次根式性质的探索：
性质1：
性质2：____________________________________________________________________
性质3：____________________________________________________________________
例4：（1）计算：
（2）已知、、是△ABC的三边长，化简：
四、分层练习：
A类：1.（1） （2）
（3） （4）（）
2．的平方根是______
3．若+|y-1|=0，那么x=__ __，y=___ _
4．一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）
A.a+3 B.－3 C. +3 D.a2+3
5．二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A. a＜l B.a≤1 C.a≥1 D.a＞1
6．如果那么x取值范围是（ ）
A.x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
B类：
1．下列等式中的字母应符合什么条件？
（1） （2）
2．计算
（1） （2） （3） （）

3．判断正误，如果是错的，请写出正确结果。
（1） （2）
4．已知（1）已知 =0,求的值.
5．（2）若化简|1－x|－的结果是2x-5 ，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意实数 B．1≤x≤4
C．x≥1 D．x＜4
C类：
化简：（1＜P＜2）
2、若二次根式 的值为3，求x的值.
课 题：3.2 二次根式的乘法
学习目标：理解二次根式乘法的一般规律，会应用两个公式进行二次根式的乘法运算。
过程与方法: 通过试一试，比较、归纳等活动，经历、感受并总结出二次根式的乘法运算公式，运用这两个公式对二次根式进行化简。
教学重点：二次根式的乘法的性质与利用性质进行运算。
教学难点：运用积的算术平方根的性质化简二次根式
教学过程：
一、复习旧知
1.什么是二次根式?
2.二次根式有哪些性质?
(1)
(2)
(3)
二、探索新知
阅读课本第61页实践与探索
二次根式的乘法公式:

例1 计算：
（1）×； （2）×
练习:
(1) (2)

(3)
二次根式性质4:

利用它可以进行二次根式的化简．例如： =
例2化简.
(1) (2)
(3)
练习：
1.化简:
(1) (2)
(3) (4)
2.计算:
(1) (2) (3)
(2)
例3:化简.
(1) (2) （）
(3) (x≥0，x+y≥0)
(4) （）
(三) 总结：
化简二次根式的步骤是：
(1)把被开方数分解因式(或因数)，使其变成因式(或因数)积的形式；
(2)应用积的算术平方根的性质把各因式(或因数)积和算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
(3)如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式=a (a≥0)把这个因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简；
(4)化简的最后结果应使二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)的指数都小于2.
四 、分层练习
A类题
1、课本第63页练习1
2、课本第63页练习2
B类题
1、课本第63页练习3
2、课本第63页练习4
C类题
化简:
(1)（ ） (2) （）
(3)把2中2移入根号内
课 题：3.2二次根式的除法
学习目标：理解二次根式除法的一般规律，会应用两个公式进行二次根式的除法运算。
过程与方法: 通过试一试，比较、归纳等活动，经历、感受并总结出二次根式的除法运算公式，运用这两个公式对二次根式进行化简。
教学重点：二次根式的除法的性质与利用性质进行运算。
教学难点：运用商的算术平方根的性质化简二次根式
教学过程：
一、情境创设:
阅读课本第63页实践与探索
二、探索新知
1、二次根式的除法法则:
例1：计算
（1） （2）
（3） （4）
2、二次根式性质：
（ ）
利用它可以进行二次根式的化简．
例2、化简：
（1） （2）
（3） （4）（a＞0，b≥0）
三、化去根号内的分母
例3、（1） （2）
（3） （ ） （4）（）
四..化去分母中根号:
例4：.（1） （2） （ ）
（3） (4)（）

五.总结：
1.一般地,二次根式运算的结果中,被开方数中应不含有分母,分母中应不含有根号.
2.化简二次根式实际上就是使二次根式满足:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含有分母;
(3)分母中不含有根号.
六．分层练习
A类题
1 化简:
（1） （2）（） （3） .
（4） （）
（5）（）
B类题
2. 计算：
（1） （2） （3）；
（4） （5）
C类题
3.已知： 求的取值范围。
4．已知一个长方形的面积为，其中一边长为，求长方形的对角线的长。

课 题：二次根式的乘除巩固练习
学习目标：1.熟练掌握二次根式乘除法的运算，知道最简二次根式必须满足的三个条件。
2.总结出二次根式的除法运算公式，运用这两个公式对二次根式进行化简。
教学重点：二次根式的乘除法的性质与利用性质进行运算。
教学难点：运用积与商的算术平方根的性质化简二次根式
教学过程：
一、情境创设:
1. 二次根式的乘法：
2. 二次根式的除法：
＞0）＞0）
3. 最简二次根式必须满足的三个条件：
（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、例题精讲：
例1：计算与化简
（1） （ （2）÷（－３） （＞0）
（3）÷2× （4）（x＞2y＞0）
例2、化简：
（1）若ab<0,化简：　　　　　　　　　　　　　　　
（２）若a>0,b<0,化简：
例３、观察： ２＝＝
仿照上面的方法，化简
（1）５ （2）－７ （3）x
三.分层练习
A类题
1.计算：(1) ；（2）=　　　　　　.
（3）　　　　；　　（4）　　　　　.
2.化简：（1）(＝　　　；
（2） =　　　　.
(3) ___________.
（4）（xy＜0）=_______
3.计算：（1）(x＞0,y≥0)＝　　　　；（2）　　　　　.
4．等式=成立的条件是___________．
5．=-x等式成立的条件是
6．一次函数的图象y=x-4与x轴,y轴分别交于Ａ．Ｂ两点，则△ＡＯＢ（Ｏ为坐标原点）的周长为 ．
Ｂ类题
1. 计算与化简：
(１)＞ (2)（a>0） (3)
（4）（＞2） （5）　　　
（6）- (7) )(2)2
（8）＞b＞0)
　　　
2.比较大小：
（1）2与4　　　　　　　　　　　　　　（2）-3与-2
Ｃ类题
计算：（１）３÷×（－）
（２）
（３）÷３（－）
课题：3.3二次根式的加减
教学目标:
(1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式的方法；.
(2)正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算
教学重点：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算
教学难点：同类二次根式的概念
教学过程：
一、情境创设
下列３组二次根式，各有什么共同特征？
（1）
（2）
（3）
二、探索新知：
1.同类二次根式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
2.(1)说出三个与是同类二次根式的;
(2)试举出一组同类二次根式.
3.如何计算？　
4.合并同类二次根式：
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变。不是同类二次根式不能合并。
（如与不能合并）
5.二次根式的加减法则：　　　　　　　　　　　　　　　　。
三、例题精讲：
1．例１、下列各式中，哪些是同类二次根式？
、、、、、、
2. 例２、计算
（1）　 （2）
（3） （4）
3.例3 课本
四、小结
1.同类二次根式的定义;
2.二次根式加减运算的步骤;
3.如何合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似;
4.二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的,含相同二次根式的项要合并.
5.运算律同样适用于二次根式的运算.
6.计算结果要最简.
五、分层练习
A类题
1.在二次根式：①②③；④是同类二次根式的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
2.计算：＝　　　　　　
3.计算：＝　　　　　
4.如果最简二次根式和是可以合并的，那么＝　　　
下列二次根式中，能与合并的二次根式是（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
6.下列计算：①；②；③；④ ；⑤.其中正确的是（　　　）
（A）①和③　（B）②和③　　（C）③和④　　（D）③和⑤
7.计算：
（1）　　　　　　（2）
B类练习
1、计算：
(1） （2）
（3） （4）
2、计算：

3. 已知最简二次根式和的被开方数相同，你能求出使有意义的的取值范围吗？
C类题
下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数。
课 题：3.3二次根式的混合运算
学习目标：巩固二次根式的定义及加.减.乘.除的混合运算;掌握最简二次根式.同类二次根式.分母有理化。
过程与方法:总结出二次根式的混合运算法则，运用法则对二次根式进行化简及运算。
教学重点：二次根式的混合运算及简便运算。
教学难点：二次根式的混合运算及简便运算。
教学过程：
一、情境创设：
1．二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？
2．什么叫同类二次根式？举例说明。
3．回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。
二、探索活动：
1.怎样计算：？
小组讨论，全班交流。
类比：怎样计算（a-b）（a+2b）？
2.怎样计算：？
回顾：（a-b）（a+b）＝________
3.呢？
小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。
　　　
三、例题精讲：
1. 例1．计算：
（１） （２）
2. 例2. 计算：
（１） （２）
　　　　　　　　　　　
(3) (). ()
(4)

3.小结:多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法

四、分层练习：
A类题
１.课本第72页练习1.
2. 课本第72页练习2.
3. 课本第72页练习3.
Ｂ类题 计算与化简：
(1) (2-3+4) (2) (7 +2)(2)
(3) 2 (4)(4-2)-(4-)

(5)
(6) 0 +(-1 -
Ｃ类题
（１）对于题目：化简并求值：,其中a = 。甲、乙两人的解答不同，
甲的解答是：＝
乙的解答是：　＝；
　　　谁的解答是错误的？为什么？
（２）先化简，后求值：，其中a=2。
（３）已知a=,b=,求a+5ab+b2-3a-3b的值。
课题：二次根式的复习课《小结与思考》
学习目标：1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.
2、能过比较熟练进行二次根式的运算.
3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.
学习重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用.
学习过程：师生活动
知识结构
二、知识点复习
1.形如 的代数式叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式）
强调：二次根式被开方数不小于0
2.二次根式的性质：双重非负性
（a≥0），
=
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b＞0）
3.二次根式的运算：
二 次根式乘法法则：（a≥0，b≥0）
二次根式除法法则： （a≥0，b＞0）
二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如）仍然适用.
精典例题（以提问的形式展开）
1．化简 的结果是 ( )
A．3 B．－3 C．±3 D．9
2．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a<1的是 ( )
A． B． C． D．
3．代数式中，x的取值范围是 ( )
A．x≥－4 B．x>2 C．x≥－4且x≠2 D．x>－4且x≠2
4．已知x、y为实数，y＝＋4，则yx的值等于（ ）
A．8 B．4 C．6 D．16
5．满足－＜x＜的非正整数x是( )
A．－1 B．0 C．－2，－1，0 D．1，－1，0
6．等式成立的条件是（ ）
A、x≠5 B、x≥3 C、x≥3且x=5 D、 x>5
7．若a<0，则化简得（ ）
A、 B、 C、 D、
8．若, 则（ ）
A、a、b互为相反数 B、a、b互为倒数 C、ab=5 D、a=b
9．如图，在线段长x、y、z、w、p中，是无理数的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
10．当x<8时，＝______。
三、分层练习
A类题
11．计算：＝_______。
12．计算：(＝_______。
13．当x＝2＋时，x2－4x＋2005＝_________。
14．观察下列各式：……将你猜想到的规律用一个式子来表示：_____________________________________________。
14若实数a、b、c在数轴上的位置如图则化简
15．化简：
(1)、 (2)、
16．计算：
(1) 3 (2) 
(3) （4）
(5) （6）
B类题
17、（1） （2）（a>0,b>0）
（3） （4）
18、已知的整数部分为m，小数部分为n,求3m+2n的值
19、如图，在矩形ABCD中放两张面积分别为4和2的两张正方形纸片，问矩形ABCD至少有多大面积没有被盖住?
C类题
20．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，现有一长度为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗?
课题：二次根式复习试卷
一、选择题
1、在、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
2、设的小数部分为，则的值是（ ）
A、1 B、是一个无理数 C、3 D、无法确定
3、若，则的值是（ ）
A、 B、 C、2 D、
4、如果1≤≤，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、1
5、式子成立的条件是（ ）
A、≥3 B、≤1 C、1≤≤3 D、1＜≤3
6、下列等式不成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、式子（＞0）化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、下列运算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的范围是（ ）
A、x≤10 B、x≥10 C、x<10 D、x>10
10、若实数x、y满足x2+y2－4x－2y+5=0,则的值是（ ）
A、1 B、+ C、3+2 D、3－2
二、填空题
11、当 时，无意义；有意义的条件是 。
12、最简二次根式与是同类二次根式，则＝ ，＝ 。
13、如果，则、应满足 。
14、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝ ；＝ 。
15、若，则＝
16、若＜0，化简：＝ 。
17、比较大小： ； 。
18、4、若y=++，则(x+y)2003= 。
19、已知xy＝3，那么的值_________．
20、已知=2,=3,=4,…请你用含n的式子将其中蕴涵
的规律表示出来： .
三、计算题
21、 （a>0，b>0 ） 22、 (2+4－3)
23、 ·（-4）÷ (x>0，y>0) 24、
25、） 26、
27、 28、

四、解答题
29、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.
30、已知 求值：
，
31、已知化简
32、已知。