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绝密★启用前
专题41 列表法求概率
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题练习）9 ( http: / / www.21cnjy.com )张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西阳泉·一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．（2022·浙江绍兴·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）一个不透明的糖果袋子中有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别，具体情况如下表所示，小邵从糖果袋子中随机摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率是（ ）2-1-c-n-j-y
红色糖果 黄色糖果 绿色糖果
3颗 2颗 1颗
A． B． C． D．
4．（2022·北京平谷·一模）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
5．（2022·山东·济宁学院附属中学 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．21*cnjy*com
A． B． C． D．1
7．（2022·全国·九年级单元测试）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
8．（2022·江苏·九年级课时练习）从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2022·安徽·中考真题）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
11．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）如图，在太极八卦图中，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方向的卦为“”，从图中任选一卦，这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
12．（2022·全国·九年级课时练习）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
14．（2022·河南师 ( http: / / www.21cnjy.com )大附中三模）从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是( )
A． B． C． D．
15．（2022·云南西双版纳·一模）下列说法中，正确的是（）
A．“三角形的内角和为180°”是必然事件
B．神舟十三号飞船发射前的零件检查，可以选择抽样调查
C．为了反映近五年云南省财政收入变化趋势，适合采用扇形统计图
D．投掷一枚硬币10次，7次正面朝上，则投掷一枚硬币正面朝上的概率为0.7
16．（2022·全国·九年级单元测试）小明和他的爸爸妈妈共三人站成一排拍照，他的父母不相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·广西贵港·二模）由3，4，5三个数字随机生成点的坐标，若每个点出现的可能性相等，则从中任意取一点，所取的点在函数图象上的概率是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·河北·一模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
19．（2022·全国·九年级专题练习）2 ( http: / / www.21cnjy.com )022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·安徽铜陵·模拟预测）如图所示，正六边形，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
21．（2022·安徽·合肥市第四 ( http: / / www.21cnjy.com )十五中学三模）桌子上有三个不透明的盒子，小慧将一个白球放入其中一个大盒子，大鹏将一个黑球也随机放入一个盒子，则两个球不在同一个盒子里的概率为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
22．（2022·山东烟台·一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，方格纸中是小天设计的跳棋线路图，每个小方格的边长为一个单位长度，有一枚棋子P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
23．（2022·江西·南昌市第二十八中学九年级期末）从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程的系数的值，能使该方程有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·河北廊坊·一模）下列算式：①；②；③；④；⑤．运算结果正确的概率是（ ）．
A． B． C． D．
25．（2022·河南濮阳·九年级期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·江苏·徐州市树人初级中学二模）掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是
A． B． C． D．
27．（2022·全国·九年级课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
28．（2022·全国·一模）将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
29．（2022·浙江杭州· ( http: / / www.21cnjy.com )二模）一个两位数，它的十位数字是1，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的倍数概率等于______．21*cnjy*com
30．（2022·新疆阿克苏·一模） ( http: / / www.21cnjy.com )李明有红色、黑色、白色三件运动短袖上衣和白、黑两条运动短裤，若任意组合穿着，则李明穿“衣裤同色”的概率是______．
31．（2022·天津·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______．21·世纪*教育网
32．（2022·河南南阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·三模）在学校举办的“英语朗读比赛”评选活动中，九年级一班有甲，乙，丙，共3名学生获奖．班主任决定在这3名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，则甲被选中的概率为______．
33．（2022·全国·九年级专题练习）从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
34．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十 ( http: / / www.21cnjy.com )七中学三模）在一个不透明的袋子中装有4个白球，2个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，则摸到白球的概率为_______．
35．（2022·福建泉州·模拟预测）从，，，四个数中随机抽取一个数，则抽中“无理数”的概率是___________．
36．（2022·河南·模拟预 ( http: / / www.21cnjy.com )测）如图，转盘均分为三等份，分别标记数字1，2，3，转动指针两次，则事件“两次指针所在区域的数字之和不小于4”的概率是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
37．（2022·山东聊城·一模）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是______．
38．（2022·河南·息县教育 ( http: / / www.21cnjy.com )体育局基础教育教学研究室模拟预测）某同学购买了6盒同样包装的鲜牛奶，若其中有2盒已经过了保质期，则从6盒牛奶中随机抽取2盒，则至少有1盒是过期牛奶的概率是______．
39．（2022·黑龙江大庆·九年级期中）定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等差数列．如图是一个表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取一个数字（抽后放回），连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
40．（2022·江西·南昌市第二十八中学九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）某校开展“垃圾分类，从我做起”的活动，该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取．
（1）若随机抽取1名，甲被抽中的概率为______；
（2）若随机抽取2名，求甲在其中的概率．
41．（2022·辽宁大连·九年级期末）布袋中装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．在看不到球的前提下，随机从布袋中向外摸球．【出处：21教育名师】
(1)摸出一个球是红球的概率是______．
(2)若摸出两个球，求摸到结果是一个红球和一个白球的概率．
42．（2022·云南·峨山彝族自治县教育科 ( http: / / www.21cnjy.com )学研究所三模）为纪念历史，缅怀先烈，某校社团将电影《长津湖》中的四位历史英雄人物头像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中的历史事迹．规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)小强从中随机抽取一张卡片是“伍千里”的概率是 ．
(2)请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．
43．（2022·辽宁·沈阳市第 ( http: / / www.21cnjy.com )七中学模拟预测）某景区检票口有A，B，C，D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
(1)求甲选择A检票通道的概率；
(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率．
44．（2022·陕西·模拟预测）佳佳和明明玩转盘游戏，如图转盘被等分成4个扇形，每个扇形上分别写有1，2，3，4，转盘被等分成3个扇形，每个扇形上分别写有1，2，3，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的数字即为转出的数字，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动）．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)转动转盘，则转出的数字是2的整数倍的概率为______；
(2)游戏规则为：转动两个转盘一次，若两个转 ( http: / / www.21cnjy.com )盘转出的数字之和为奇数，则佳佳获胜，若转出的数字之和为偶数，则明明获胜，请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏规则对两人是否公平？．2·1·c·n·j·y
45．（2022·云南·双柏县教师进修学校 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）联合国《生物多样性公约》第十五次缔约大会于2021年10月在昆明举行，为选出该会议的宣传大使，某区组织了七年级、八年级的学生参加宣讲比赛，主题为：“生态文明：共建地球生命共同体”．该区某校经过初选，在七年级中选出1男1女两名同学，分别记为A1，B1；在八年级中选出3名同学，其中2名男生分别记为A2，A3，1名女生记为B2，现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加宣讲比赛．
(1)用列表法或树状图法（树状图也称树形图），求出所有可能出现的结果；
(2)现从这5名同学中随机选出两名同学，求选中两名男生且他们来自不同年级的概率．
46．（2022·全国·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级）小源同学决定利用假期在鞍山本地游玩，鞍山著名景点分别有：A．千山风景区；B．玉佛苑景区；C．汤岗子温泉；D．海城白云山景区．由于受到时间限制，只能选择两个不同），小源同学随机抽两次，每次抽一个签（抽到的签不放回），每个签抽到的机会相等．
(1)小源第一次恰好抽到“玉佛苑景区”的概率是______；
(2)请用列表法或画树状图法求出小原同学抽到“汤岗子温泉”和“千山风景区”两个景点中至少一个的概率是多少．
47．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级课时练习）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）21世纪教育网版权所有
(1)居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 ；
(2)请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
48．（2022·湖南长沙 ( http: / / www.21cnjy.com )·模拟预测）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：www-2-1-cnjy-com
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
茎是指中间的一列数，表示得分的 ( http: / / www.21cnjy.com )十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．21cnjy.com
已知某工厂有两条不同生产 ( http: / / www.21cnjy.com )线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当时，产品质量等级为优秀；当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格．
(1)A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为________；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为________；【版权所有：21教育】
(2)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
(3)已知每件产品的成本为 ( http: / / www.21cnjy.com )5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
49．（2022·江苏南京·二模）2022 ( http: / / www.21cnjy.com )年北京冬奥会用全新的方式向世界展示了一个文化自信、底蕴深厚的中国．小明和小颖都比较感兴趣的有：花样滑冰、冰壶、短道速滑、冬季两项，依次记为项目A，B，C，D．他们各自随机观看其中的两个项目．
(1)求小明观看的项目是A，B的概率；
(2)小明和小颖观看的项目完全不相同的概率是______．
50．（2022·辽宁·黑山县 ( http: / / www.21cnjy.com )教师进修学校二模）现有《北京冬奥会――雪上运动》纪念邮票4张．纪念邮票封面设计，分别是A越野滑雪；B高山滑雪；C冬季两项；D自由式滑雪（四张卡片除字母和图案内容外，其余完全相同）．姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．21教育名师原创作品
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(1)姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A越野滑雪的概率为_____；
(2)若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A越野滑雪，弟弟抽到B高山滑雪的概率．
51．（2022·江苏·九年级课时练习）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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绝密★启用前
专题41 列表法求概率
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·全国·九年级专题 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能的结果计算即可．
【详解】
解：从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种，
所以正面的数是偶数的概率P=，
故选 ：C．
【点睛】
本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率．
2．（2022·山西阳泉 ( http: / / www.21cnjy.com )·一模）如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质设计出图案即可．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
余下有6个方格，根据图形可选2个方格完成的图案为轴对称图形，
因此完成的图案为轴对称图案的概率为
故选：B
【点睛】
本题考查的是利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．
3．（2022·浙江绍兴·二模）一个不透明的 ( http: / / www.21cnjy.com )糖果袋子中有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别，具体情况如下表所示，小邵从糖果袋子中随机摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率是（ ）
红色糖果 黄色糖果 绿色糖果
3颗 2颗 1颗
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出所有的等可能的情况，然后从中找出满足条件的情况，根据简单概率公式计算即可．
【详解】
解：袋子中一共有6颗糖果，随机摸出一颗糖果等可能的情况有6种，其中摸到红色的糖果的情况有3种，
随机摸出一颗糖果，摸到红色糖果的概率是．
故选：A．
【点睛】
本题考查列举法求概率，掌握概率公式是解题关键．
4．（2022·北京平谷·一模）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意用列举法求概率即可．
【详解】
解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，
它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，
所有可能的结果共3种，
并且出现的可能性相等，
甲与乙恰好被选中的概率：．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键．
5．（2022·山东·济宁学院附属中学九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．
【详解】
解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的为棱长为3的正方体顶点处的8个小正方体；
故取得的小正方体恰有三个面被涂色．的概率为．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面被涂色．小立方体的个数是解题关键．
6．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【详解】
解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是．
故选：A．
【点睛】
此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．（2022·全国·九年级单元测试）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【详解】
随机抽取两个数相乘，共有3种情况：，其中积为正数的只有1×2，
故概率为．
故选：B．
8．（2022·江苏·九年级课时练习）从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
解：这里的无理数有，，共2个，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法．
9．（2022·全国·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级专题练习）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（ ）21教育网
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（正，正）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（正，正）的情况有1种，
∴P（正，正）=．
故选∶D．
【点睛】
此题考查了列举法求概率，解题的关键是知道概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（2022·安徽·中考真题）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．
【详解】
解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：B
【点睛】
本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．
11．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）如图，在太极八卦图中，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方向的卦为“”，从图中任选一卦，这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以八卦中任取一卦，利用列举法求出这一卦的三根线中恰有1根“”和2根“”包含的基本事件有3个，由此能求出从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根“”和2根“”的概率．
【详解】
解：从八卦中任取一卦，共有8种等可能结果，从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的有3种结果，
∴从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率为；
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图 ( http: / / www.21cnjy.com )法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
12．（2022·全国·九年级课时练习）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况，
分别是3，4，5三种情况.
所以和为偶数的概率为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式.
13．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴正面都朝上的概率是： .
故选B．
【点睛】
本题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（2022·河南师大附中 ( http: / / www.21cnjy.com )三模）从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先列举出所有等可能的六种情况，确定满足条件的占一种，得到概率．
【详解】
解：这个实验一共有甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁六种等可能结果，其中满足条件的有一种乙和丁，
故恰好抽到乙、丁两位同学的概率为，
故选择B．
【点睛】
本题考查利用列举法求概率，解决问题的关键是列举出所有等可能的结果以及满足题意的等可能结果．
15．（2022·云南西双版纳·一模）下列说法中，正确的是（）
A．“三角形的内角和为180°”是必然事件
B．神舟十三号飞船发射前的零件检查，可以选择抽样调查
C．为了反映近五年云南省财政收入变化趋势，适合采用扇形统计图
D．投掷一枚硬币10次，7次正面朝上，则投掷一枚硬币正面朝上的概率为0.7
【答案】A
【解析】
【分析】
A.必然事件是一定会发生的事件；B.神舟 ( http: / / www.21cnjy.com )十三号飞船的零件检查量不是很大，为了保障飞行的安全性，发射前应该普查；C.折线统计图能反映一组数据的变化趋势，而扇形统计图不能；D.投掷一枚硬币正反面朝上的机会均等，正面朝上的机会占一半．
【详解】
A. “三角形的内角和为180°”是必然事件，正确，
因为三角形的内角和一定为180°；
B.神舟十三号飞船发射前的零件检查，可以选择抽样调查，不正确，
因为应该普查；
C.为了反映近五年云南省财政收入变化趋势，适合采用扇形统计图，不正确，
因为应该采用折线统计图；
D.投掷一枚硬币10次，7次正面朝上，则投掷一枚硬币正面朝上的概率为0.7，不正确，
因为正反面朝上的机会均等，正面朝上的概率占0.5．
故选:A．
【点睛】
本题考查了必然事件、普查、折线统计图、概率， ( http: / / www.21cnjy.com )解决问题的关键是熟练掌握必然事件的定义，普查的使用范围，折线统计图的优点，列举法求事件发生的概率．
16．（2022·全国·九年级单元测试）小明和他的爸爸妈妈共三人站成一排拍照，他的父母不相邻的概率是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意写出所有的等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
【详解】
解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的可能性有（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA）6种情况，
爸爸妈妈不相邻的有2种情况，
∴他的父母不相邻的概率是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了列举法求概率，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
17．（2022·广西贵港·二模）由3，4，5三个数字随机生成点的坐标，若每个点出现的可能性相等，则从中任意取一点，所取的点在函数图象上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先列出所有的点的情况，再求出符合题意的点的情况，最后代入概率公式即可求解．
【详解】
解：由3,4,5三个数字随机生成点的坐标的 ( http: / / www.21cnjy.com )情况有（3，3）（4，4）（5，5）（3，4）（4，3）（3，5）（5，3）（4，5）（5，4）共9种情况，
其中（3，4）（4，5）两个点在该函数图象上，
∴概率为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列举法求简单随机事件的概率，解题关键是牢记概率公式．
18．（2022·河北· ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
这是一个两步概率问题，根据列表得出全部等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：根据题意，列表如下：
蓝球1 蓝球2 红球
红1 （红1，蓝球1） （红1，蓝球2） （红1，红球）
红2 （红2，蓝球1） （红2，蓝球2） （红2，红球）
蓝 （蓝，蓝球1） （蓝，蓝球2） （蓝，红球）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列 ( http: / / www.21cnjy.com )表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．（2022·全国·九年级专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【详解】
记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com ):通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．（2022·安徽铜陵·模拟预测）如图所示，正六边形，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
列举出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】
任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所 ( http: / / www.21cnjy.com )得到的三角形分别是：△ABC、△ABD、△ABE、△ABF、△ACD、△ACE、△ACF、△ADE、△ADF、△AEF、△BCD、BCE、△BCF、△BDE、△BDF、△BEF、△CDE、△CDF、△CEF、△DEF，共计20个三角形，其中能构成等腰三角形的是：△ABC、△ABF、△ACE、△AEF、△BCD、△BDF、△CDE、△DEF，共计8个，www.21-cn-jy.com
∴所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是：，
故选：D
【点睛】
此题考查了用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（2022·安徽·合肥 ( http: / / www.21cnjy.com )市第四十五中学三模）桌子上有三个不透明的盒子，小慧将一个白球放入其中一个大盒子，大鹏将一个黑球也随机放入一个盒子，则两个球不在同一个盒子里的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法表示所有可能出现的结果，进而得出两个球不在同一个盒子里结果数，从而求出相应的概率．
【详解】
解：假设三个不透明的盒子分别为A，B，C，
当小慧把白球放入盒子A中，大鹏则可能把黑球放入A，B，C中；
当小慧把白球放入盒子B中，大鹏则可能把黑球放入A，B，C中；
当小慧把白球放入盒子C中，大鹏则可能把黑球放入A，B，C中；
根据概率定义可得所有等可能出现的结果数为9，其中两个球在同一盒子的事件数为3，分别为AA，BB，CC；
所以，两个球不在同一盒子的结果数为9-3=6，
所以，两个球不在同一个盒子里的概率为．
故选：D
【点睛】
本题考查列举法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
22．（2022·山东烟台·一模）如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，方格纸中是小天设计的跳棋线路图，每个小方格的边长为一个单位长度，有一枚棋子P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
按前两步分别为右右、右下、下右、下下，共 ( http: / / www.21cnjy.com )4种情况，每种情况有2种等可能结果，共8种等可能结果，其中右1种可能结果是沿着小天设计的路线到达点B，可计算出概率
【详解】
解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），
（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，
所以棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为P＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了用列举法计算概率，解题的关键是熟练掌握概率的定义，用适当方法列举所有等可能结果，注意不重不漏
23．（2022·江西·南昌市第二十八中学九年级期末）从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程的系数的值，能使该方程有实数根的概率是（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=32+4a≥0且，解得a≥且，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：当△=32+4a≥0且时，一元二次方程有实数根，
所以a≥且，
从－3，0，1，2这4个数中任取一个数，满足条件的结果数有，
所以所得的一元二次方程中有实数根的概率是．
故选：．
【点睛】
正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（2022·河北廊坊·一模）下列算式：①；②；③；④；⑤．运算结果正确的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式加法的性质，对各个选项分别计算，再结合简单概率计算的性质分析，即可得到答案．
【详解】
，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
∵
∴不符合二次根式的定义，故④错误；
，故⑤错误；
∴五个算式中，正确的共有一个
∴运算结果正确的概率是：
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根、负整数指数幂、分 ( http: / / www.21cnjy.com )式、二次根式、整式运算、概率的知识；解题的关键是熟练掌握了算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式运算、概率的性质，从而完成求解．
25．（2022·河南濮阳·九年级期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】
解：：①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
②；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形；
③；是本身具有的性质，无法判定是菱形；
④，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
⑤．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形
∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种
∴能判定是菱形的概率为
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．
26．（2022·江苏·徐州市树人初级中学二模）掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意用列举法，即可求得掷一 ( http: / / www.21cnjy.com )枚均匀的硬币两次，所有等可能的结果，又由两次均为反面朝上的只有1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵掷一枚均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
又∵两次均为反面朝上的只有1种情况，
∴两次均为反面朝上的概率是：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率．注意不重不漏的表示出所有等可能的结果是解此题的关键，注意：概率所求情况数与总情况数之比．
27．（2022·全国·九年级课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．
【详解】
设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．
28．（2022·全国·一模）将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题是一个等可能事件的概率，试验 ( http: / / www.21cnjy.com )发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．
【详解】
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果
当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果
当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果，
∴所求的概率是，
故选D．
【点睛】
本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．
第II卷（非选择题）
二、填空题
29．（2022·浙江杭州·二模）一个两位数 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的十位数字是1，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是4的倍数概率等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出所有2位数，从中找到两位数是4的倍数的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：根据题意，得到的两位数有11、12、13、14、15、16这6种等可能结果，其中两位数是4的倍数有12、16这2种结果，21世纪教育网版权所有
∴得到的两位数是4的倍数的概率等于；
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
30．（2022·新疆阿克苏·一模）李明有红 ( http: / / www.21cnjy.com )色、黑色、白色三件运动短袖上衣和白、黑两条运动短裤，若任意组合穿着，则李明穿“衣裤同色”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列表法即可求解
【详解】
将所有的结果列表如下：
编号 1 2 3 4 5 6 总计
组合结果 红上衣白裤 红上衣黑裤 黑上衣白裤 黑上衣黑裤 白上衣白裤 白上衣黑裤 6种结果
由上表可知，总的组合结果有6种，衣裤同色的组合有2种，
则衣裤同色的概率为：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了用列举法求解概率的知识，掌握列举法的基本原理是解答本题的关键．
31．（2022·天津·九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【解析】
【分析】
用列举法列出全部的等可能结果，共有3种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：随机地抽取一张卡片有，，共有种等可能的结果，抽取的卡片数字是负数的的结果有种，
抽取的卡片数字是负数的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率，列出所有可能的结果，并且根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解是解决本题的关键．
32．（2022·河南南阳· ( http: / / www.21cnjy.com )三模）在学校举办的“英语朗读比赛”评选活动中，九年级一班有甲，乙，丙，共3名学生获奖．班主任决定在这3名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，则甲被选中的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先用列举法展示所有3种等可能的结果数，再找出甲被选中进行主题演讲的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：从甲乙丙三人中随机选出两人的所有等可能结果为：（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙），共3种，
满足条件的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）共2种，
甲被选中的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列举法求概率：通过列举出所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件的概率．
33．（2022·全国·九年级专题练习）从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
解：∵从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6个点；在第三象限的点有（，），（，），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再由概率公式进行计算，即可得到答案．
34．（2022·黑龙江· ( http: / / www.21cnjy.com )哈尔滨市第四十七中学三模）在一个不透明的袋子中装有4个白球，2个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，则摸到白球的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：总的球数为：4+2=6个，其中白球数有4个
∴从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
35．（2022·福建泉州·模拟预测）从，，，四个数中随机抽取一个数，则抽中“无理数”的概率是___________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
先判定给出的数中的无理数个数，然后根据抽中“无理数”个数计算即可．
【详解】
解：，都是有理数，，都是无理数，
∴随机抽取一个数共有4种情况，其中抽中“无理数”共有2种情况，
∴抽中“无理数”的概率是．
故答案为．
【点睛】
本题考查特殊三角函数值，无理数的识别，概率，掌握特殊三角函数值，无理数的识别，概率是解题关键．
36．（2022·河南·模拟预测）如图，转 ( http: / / www.21cnjy.com )盘均分为三等份，分别标记数字1，2，3，转动指针两次，则事件“两次指针所在区域的数字之和不小于4”的概率是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
先算出两次指针指向区域的所有情况，再算出其中两次之和不小于4的情况，即可求出概率；
【详解】
由题意可知，两次指针指向的区 ( http: / / www.21cnjy.com )域情况有：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）一共9种情况，两次数字之和不小于4的情况有6种情况，
∴两次指针所在区域的数字之和不小于4的概率==；
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的计算，熟练掌握概率计算的公式并学会列出事件发生的所有情况是解决本题的关键．
37．（2022·山东聊城·一模）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】
解：∵，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了不等式组的整数解，列举法求概率．解决问题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法，概率等于所求情况数与总情况数之比．
38．（2022·河南·息县教育体育局基础 ( http: / / www.21cnjy.com )教育教学研究室模拟预测）某同学购买了6盒同样包装的鲜牛奶，若其中有2盒已经过了保质期，则从6盒牛奶中随机抽取2盒，则至少有1盒是过期牛奶的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
将所有可能情况列出，找出其中过期的种数，即可得到答案．
【详解】
解：设6盒牛奶分别为①、②、③、④、⑤、⑥，其中①、②为过期牛奶，
6盒牛奶中随机抽2盒，所有抽法有15种，分别为①②、①③、①④、①⑤、①⑥、②③、②④、②⑤、②⑥、③④、③⑤、③⑥、④⑤、④⑥、⑤⑥，
其中，1盒过期为①③、①④、①⑤、①⑥、②③、②④、②⑤、②⑥
2盒过期为①②，
一共有9种，
∴至少有1盒是过期牛奶的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的知识点，读懂题意，不遗漏地列出所有情况，是解题的关键．
39．（2022·黑龙江大庆·九年级期中）定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等差数列．如图是一个表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取一个数字（抽后放回），连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
先根据等差数列的概念补全表格，从表格中得出连续抽两次的总结果数和两次都是奇数的结果数，然后利用概率公式计算即可．
【详解】
补全表格如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
先从中抽取1个数，有16种结果，放回再抽一次，也是16种结果，
∴一共有种结果，
∵两次均为奇数的结果有种结果，
∴两次均为奇数的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表法或画树状图将所有的结果列举出来．
三、解答题
40．（2022·江西·南昌市 ( http: / / www.21cnjy.com )第二十八中学九年级期末）某校开展“垃圾分类，从我做起”的活动，该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取．
（1）若随机抽取1名，甲被抽中的概率为______；
（2）若随机抽取2名，求甲在其中的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)利用画树状图可得，抽取2名，共12种等可能的结果，甲在其中的有6种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等.恰好抽取1名恰好是甲(记为事件A)的结果有1种，所以P(A)=．
（2）解：画树状图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种可能的结果：它们是等可能的，记“随机抽取2名，甲在其中”为事件B，
则事件B发生的可能有6种，
∴P(B)=．
【点睛】
本题考查的是列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．
41．（2022·辽宁大连·九年级期末）布袋中装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．在看不到球的前提下，随机从布袋中向外摸球．
(1)摸出一个球是红球的概率是______．
(2)若摸出两个球，求摸到结果是一个红球和一个白球的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
(1)
∵布袋中装有3个红球，1个白球，共有4个球，
∴摸出一个球是红球的概率是；
故答案为：；
(2)
根据题意列表如下：
白 红 红 红
白 白、红 白、红 白、红
红 红、白 红、红 红、红
红 红、白 红、红 红、红
红 红、白 红、红 红、红
分析可得，共12种等可能的情况数，其中摸到结果是一个红球和一个白球的有6种，
则摸到结果是一个红球和一个白球的概率是．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列 ( http: / / www.21cnjy.com )表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
42．（2022·云南·峨山彝 ( http: / / www.21cnjy.com )族自治县教育科学研究所三模）为纪念历史，缅怀先烈，某校社团将电影《长津湖》中的四位历史英雄人物头像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中的历史事迹．规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)小强从中随机抽取一张卡片是“伍千里”的概率是 ．
(2)请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据列举法确定抽一张卡片的所有可能和抽到“伍千里”的可能数即求；
（2）列表找出抽出两张卡片的所以可能和两人抽到两张卡片是同一英雄人物的可能即可求出．
(1)
一共有四张卡片，则抽出一张的所有可能数是4，抽到“伍千里”的可能数是1，
所以抽到“伍千里”的概率是；
(2)
将两人抽两张卡片的各种可能情况列表如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由表可知，共有16种等可能 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果，小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物（记为事件M）有4种，即（A，A），（B，B），（C，C），（D，D）
∴P（M）==
【点睛】
本题考查概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键．
43．（2022·辽宁·沈阳市第七中 ( http: / / www.21cnjy.com )学模拟预测）某景区检票口有A，B，C，D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
(1)求甲选择A检票通道的概率；
(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率．
【答案】(1)
(2)甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率
【解析】
【分析】
（1）由某景区检票口有A，B，C，D共4个检票通道，根据概率公式直接计算可得答案；
（2）先列表，求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
(1)
解： 某景区检票口有A，B，C ，D共4个检票通道，
甲选择A检票通道的概率为：；
(2)
解：列表如下：
A D
A
D
由表格信息可得：一共有16种等可能结果，
甲乙两人选择的检票通道恰好不同的结果数有12种，
所以甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率．
【点睛】
本题考查的是简单随机事件的概率，利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，掌握“列表法求概率”是解本题的关键．21cnjy.com
44．（2022·陕西·模拟预测）佳佳和明明玩转盘游戏，如图转盘被等分成4个扇形，每个扇形上分别写有1，2，3，4，转盘被等分成3个扇形，每个扇形上分别写有1，2，3，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的数字即为转出的数字，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)转动转盘，则转出的数字是2的整数倍的概率为______；
(2)游戏规则为：转动两个转盘一次 ( http: / / www.21cnjy.com )，若两个转盘转出的数字之和为奇数，则佳佳获胜，若转出的数字之和为偶数，则明明获胜，请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏规则对两人是否公平？．
【答案】(1)
(2)公平，图表见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求出答案；
（2）根据题意先列出图表，得出两次指针所指扇形中数字之和的所有可能结果，再根据概率公式即可得出答案．
(1)
解：因为A转盘上只有数字1，2，3，4，故转动A转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指向扇形中的数字总是2的整数倍的有2和4两种情况，故概率为：；
故答案为：
(2)
解：列表如图，
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
共有12种等可能结果，和为奇数的有6种，和为偶数的有6种，佳佳和明明获胜的概率都是，这个游戏规则对两人公平．
【点睛】
本题考查了列举法求概率，解题关键是熟练列表，求出所有等可能结果，再运用概率公式计算．
45．（2022·云南·双柏县 ( http: / / www.21cnjy.com )教师进修学校一模）联合国《生物多样性公约》第十五次缔约大会于2021年10月在昆明举行，为选出该会议的宣传大使，某区组织了七年级、八年级的学生参加宣讲比赛，主题为：“生态文明：共建地球生命共同体”．该区某校经过初选，在七年级中选出1男1女两名同学，分别记为A1，B1；在八年级中选出3名同学，其中2名男生分别记为A2，A3，1名女生记为B2，现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加宣讲比赛．
(1)用列表法或树状图法（树状图也称树形图），求出所有可能出现的结果；
(2)现从这5名同学中随机选出两名同学，求选中两名男生且他们来自不同年级的概率．
【答案】(1)（A1，A2），（A1，A3），（A1，B2），（B1，A2），（B1，A3），（B1，B2）
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据列表法即可得出所有结果；
（2）利用列举法得出所有结果，然后利用概率公式求解即可．
(1)
列表可得：
A2 A3 B2
A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B2）
B1 （B1，A2） （B1，A3） （B1，B2）
由列表可知，共有6种等可能的结果，分别是：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B2），（B1，A2），（B1，A3），（B1，B2）．
(2)
∵从这5名同学中随机选出两名同学，共有10种等可能的结果，分别是：
（A1，A2），（A1，A3 ( http: / / www.21cnjy.com )），（A1，B2），（A1，B1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．21·cn·jy·com
其中两名男生且他们来自不同年级的结果有2种．
∴P（选中两名男生且他们来自不同年级）＝＝．
【点睛】
题目主要考查根据列表法或树状图法及列举法求概率，理解题意，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
46．（2022·全国·九年级）小 ( http: / / www.21cnjy.com )源同学决定利用假期在鞍山本地游玩，鞍山著名景点分别有：A．千山风景区；B．玉佛苑景区；C．汤岗子温泉；D．海城白云山景区．由于受到时间限制，只能选择两个不同），小源同学随机抽两次，每次抽一个签（抽到的签不放回），每个签抽到的机会相等．
(1)小源第一次恰好抽到“玉佛苑景区”的概率是______；
(2)请用列表法或画树状图法求出小原同学抽到“汤岗子温泉”和“千山风景区”两个景点中至少一个的概率是多少．
【答案】(1)
(2)小原同学抽到“汤岗子温泉”和“千山风景区”两个景点中至少一个的概率是
【解析】
【分析】
（1）根据列举法一共有四种情况，找出玉佛苑景区”只有1种情况，利用概率公式计算即可；
（2）根据画树状图或列表，列出所有的等可能情况，从中找出至少有A、C一种情况，然后利用概率公式计算即可
(1)
解：小源同学第一次恰好抽到著名景点有四种等可能情况，其中抽到“玉佛苑景区”的情况只有1种，
∴小源第一次恰好抽到“玉佛苑景区”的概率是；
故答案为：；
(2)
解：根据题意画树状图如图，例举所有等可能情况共有12中，其中含有A，C至少一种的情况有6种，
∴小原同学抽到“汤岗子温泉”和“千山风景区”两个景点中至少一个的概率是．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查列举法，画树状图或列表求概率的方法，掌握画树状图的方法，列举而所有等可能情况，找出符合条件的情况是解题关键．
47．（2022·全国·九年级课时练习）“ ( http: / / www.21cnjy.com )共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）www-2-1-cnjy-com
(1)居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 ；
(2)请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【答案】(1)
(2)居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为
【解析】
【分析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先画出树状图求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算即可．
（1）解：由概率的定义可得：居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是．故答案为：．
（2）画树状图如图： ( http: / / www.21cnjy.com / )
由上表可知：一共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种， ∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝ ．
【点睛】
本题考查的是随机事件的概率，利用列表法或画树状图求解概率，掌握列表的方法与画树状图的方法是解题的关键．
48．（2022·湖南长沙·模拟预 ( http: / / www.21cnjy.com )测）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
茎是指中间的一列数，表示得 ( http: / / www.21cnjy.com )分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生 ( http: / / www.21cnjy.com )产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当时，产品质量等级为优秀；当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格．
(1)A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为________；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为________；
(2)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
(3)已知每件产品的成本 ( http: / / www.21cnjy.com )为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
【答案】(1)；
(2)
(3)不低于10元/件
【解析】
【分析】
（1）根据中位数、众数的意义即可求解．
（2）列表法表示所有可能的结果情况，根据概率公式即可求得结果．
（3）根据利润不低于43万元，求出样本中“合格”、“良好”、“优秀”所占的百分比，设未知数列出不等式即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)
解：A生产线20件产品的鉴定成绩从小到大排列后第10个和第11个都是，则A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为，
B生产线20件产品的鉴定成绩出现次数最多的是，则B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为，
故答案为：；．
(2)
A生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有2件，B生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有3件，共5件，
从2件A中，3件B中随机抽取2件，所有可能情况如图所示：
第1件第2件
（） （） （） （）
（ ） （） （） （）
（ ） （） （） （）
（） （） （） （）
（） （） （） （）
共有20种可能出现的结果情况，其中至少有1件是A生产线的有14种，
所以抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率为．
(3)
设质量等级为优秀的产品定价为元/件，由题意得，
，
解得，
答：质量等级为优秀的产品定价不得低于10元/件．
【点睛】
本题考查了列表法求随机事件发生的概率、中位数、众数及样本评估总体，熟练掌握中位数、众数及用列表法求随机事件发生的概率是解题的关键．21*cnjy*com
49．（2022·江苏南 ( http: / / www.21cnjy.com )京·二模）2022年北京冬奥会用全新的方式向世界展示了一个文化自信、底蕴深厚的中国．小明和小颖都比较感兴趣的有：花样滑冰、冰壶、短道速滑、冬季两项，依次记为项目A，B，C，D．他们各自随机观看其中的两个项目．
(1)求小明观看的项目是A，B的概率；
(2)小明和小颖观看的项目完全不相同的概率是______．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)小明观看的项目共有AB、AC、AD、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC、BD、CD这六种等可能结果，其中小明观看的项目是A，B的只有1种结果，根据概率公式求解即可；21*cnjy*com
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
(1)
解：小明观看的项目共有AB、AC、AD、BC、BD、CD这六种等可能结果，其中小明观看的项目是A，B的只有1种结果，
所以小明观看的项目是A，B的概率为；
(2)
解：列表如下：
AB AC AD BC BD CD
AB (AB,AB) (AC,AB) (AD,AB) (BC,AB) (BD,AB) (CD,AB)
AC (AB,AC) (AC,AC) (AD,AC) (BC,AC) (BD,AC) (CD,AC)
AD (AB,AD) (AC,AD) (AD,AD) (BC,AD) (BD,AD) (CD,AD)
BC (AB,BC) (AC,BC) (AD,BC) (BC,BC) (BD,BC) (CD,BC)
BD (AB,BD) (AC,BD) (AD,BD) (BC,BD) (BD,BD) (CD,BD)
CD (AB,CD) (AC,CD) (AD,CD) (BC,CD) (BD,CD) (CD,CD)
由表知，共有36种等可能结果，其中小明和小颖观看的项目完全不相同的有6种结果，
所以小明和小颖观看的项目完全不相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列 ( http: / / www.21cnjy.com )表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
50．（2022·辽宁·黑山县教师进修 ( http: / / www.21cnjy.com )学校二模）现有《北京冬奥会――雪上运动》纪念邮票4张．纪念邮票封面设计，分别是A越野滑雪；B高山滑雪；C冬季两项；D自由式滑雪（四张卡片除字母和图案内容外，其余完全相同）．姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A越野滑雪的概率为_____；
(2)若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A越野滑雪，弟弟抽到B高山滑雪的概率．
【答案】(1)
(2)恰好姐姐抽到A越野滑雪，弟弟抽到B高山滑雪的概率为
【解析】
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
(1)
解：共有四张卡片，
（A越野滑雪）=，
故答案为：．
(2)
用列表法：
A B C D
A / （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） / （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） / （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） /
由表格可知：共有12种结果，并且它们的可能性相同，其中姐姐抽到A越野滑雪，弟弟抽到B高山滑雪的结果数为1．【版权所有：21教育】
（A越野滑雪B高山滑雪）＝．
【点睛】
此题主要考查了列表法求概率 ( http: / / www.21cnjy.com )，列表法可以不重复不遗漏列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件，正确列出表示解题的关键，注重有放回还是无放回抽取是易错点．
51．（2022·江苏·九年级课时练习）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
(1)
解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，2·1·c·n·j·y
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
(2)
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
【点睛】
本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
