中小学教育资源及组卷应用平台
绝密★启用前
专题36 弧长公式
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3π B．4π C．6π D．12π
2．（2022·江苏·九年级专题练习）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·一模）如图，在⊙O中，AO＝3，∠C＝60°，则劣弧的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6π B．9π C．2π D．3π
4．（2022·吉林市第五中学九年级期末）在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）2·1·c·n·j·y
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm
5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．20π B．15π C．10π D．5π
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级开学考试）扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
7．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点的纵坐标为( )【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．0 C． D．1
9．（2022·河南南阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·二模）分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
10．（2022·上海静安·二模）如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·山东威海·九年级期末）如图，扇形纸扇完全打开后，扇面（即扇形ABC）的面积为cm2，竹条AB，AC的长均为18 cm，D，E分别为AB，AC的中点，则 的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．cm B．cm C．cm D．cm
12．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
13．（2022·全国·九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．cm B．cm C．cm D．cm
14．（2022·全国·九年级专题练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．2
15．（2022·云南·昆明八中模拟预测）如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2022·广东·珠海容闳学校一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm
17．（2022·浙江·九年级专题练习）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
18．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）cm．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B． C．20 D．
19．（2022·浙江温州·三模）如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．9 B．18 C．36 D．72
20．（2022·广西贺州·二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
21．（2022·黑龙江牡丹江·一模）如图，将圆锥沿一条母线剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥母线的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．6 C．4 D．3
22．（2022·山东德州·九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．30 C．45 D．30π
23．（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．6
24．（2022·全国·九年级专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
26．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，ABC内接于⊙，于点D，若CD＝BD，⊙的半径为4，则劣弧的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
27．（2022·山东山东·三模）如图，在中，，，，为的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，若于点，于点．则图中阴影部分的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
28．（2022·辽宁·沈阳市第七中学模拟预测）如图，内接于，，，则劣弧AB的长度是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
29．（2022·陕西铜川·一模）如图，面积为32的正方形内接于，则劣弧的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
30．（2022·山东聊城·三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．1
31．（2022·山东滨州·一模）如图，∠MON=40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
32．（2022·广东深圳·二模）如图，，都经过A、B两点，且点O在上，连接并延长，交于点C，连接交于点D，连接，，若，则的长为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，，以AC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线交BC于点E，若DE＝2cm，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
34．（2022·河南漯河·九年级期末）如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（点P与点A，B，C，D不重合），过点P作于点M，于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过90°时，点Q走过的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
35．（2022·江苏·九年级专题练习）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
36．（2022·浙江温州·二模）若圆的半径为3cm，圆心角为60°，则这个圆心角所对的弧长为 ________cm．
37．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是____________（结果保留）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
38．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）如图，扇形OAB中，，以AO为直径作半圆．若，则阴影部分图形的周长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
39．（2022·吉林长春·中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留）
( http: / / www.21cnjy.com / )
40．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
41．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
42．（2022·江苏·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝3，求的长．
43．（2022·浙江丽水·一模）如图，左图是右图推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若米．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当E与B重合时，则_________
（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为_________米．（结果保留，参考数据：若，则取）
44．（2022·广西钦州·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO的三个顶点坐标分别为，，．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)画出ABO关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的，并求点B旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
45．（2022·江苏泰州·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：21·世纪*教育网
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请在上述3条信息中选 ( http: / / www.21cnjy.com )择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
46．（2022·江苏盐 ( http: / / www.21cnjy.com )城·一模）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
(2)①求证：CF=AB；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
47．（2022·河南周口·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，M是半圆弧的中点，点C是上的动点（不与端点M，B重合），点D在弦AC上，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：；
(2)填空：若，则点D移动的路径长等于________．
48．（2022·江苏淮安·九年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AC平分∠BAD交⊙O于点C，过点C作AD的垂线交AD的廷长线于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：CE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2．且cos∠DAC＝，求弧BC的长．
49．（2022·江苏·九年级）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求α；
(2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
绝密★启用前
专题36 弧长公式
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3π B．4π C．6π D．12π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弧长的公式l进行解答即可．
【详解】
解：根据弧长的公式l，
得到：l4π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题，属于容易题．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：，所以
的长
．
因此，管道的展直长度约为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础．
3．（2022·广东广州·一模）如图，在⊙O中，AO＝3，∠C＝60°，则劣弧的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6π B．9π C．2π D．3π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求出劣弧所对的圆心角，进而根据弧长公式，即可求出劣弧的长度．【版权所有：21教育】
【详解】
解：
故选：C
【点睛】
本题考查了圆的弧长公式，涉及到求圆心角，利用“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，熟练掌握圆的弧长公式是解决本题的关键．21教育名师原创作品
4．（2022·吉林市第五中学九年级期末）在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm
【答案】C
【解析】
【分析】
直接运用弧长公式计算即可．
【详解】
解：弧长为：cm ．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解答本题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．20π B．15π C．10π D．5π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧长公式求出答案即可．
【详解】
解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式 （其中 分别为圆心角，半径）是解题的关键．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级开学考试）扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝即，
解得n＝90．
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S＝是解题的关键．
7．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=100°-∠DOB=40°；然后由弧长公式弧长的公式 来求的长即可．
【详解】
解：如图，连接OD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据折叠的性质知，OB=DB．
又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°．
∵∠AOB=100°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=40°，
∴的长为 =2π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问 ( http: / / www.21cnjy.com )题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．
8．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点的纵坐标为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理求出，根据弧长公式求出的长，再由路程、速度、时间之间的关系求出移动的路程，再得出2022次后，点所在的位置，进而求出的长，得出答案．
【详解】
解︰如图，过点作，垂足为，
由题意可知，弧对应圆心角为，弧所在的圆为圆，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴的长为，
∴
∴点的坐标为．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查垂径定理，三角函数，等腰三角形的三线合一性质，弧长公式等知识．理解和掌握垂径定理和三角函数并能正确运用是解题的关键．
9．（2022·河南南阳·二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勒洛三角形的周长为三个圆心角为60°，半径为4的扇形的弧长之和即可．
【详解】
解：由题意可知：勒洛三角形的周长=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是熟知弧长的计算公式．
10．（2022·上海静安·二模）如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质即判断①，由旋转的性质可得，进而可得，，即可判断②，根据相似三角形的性质可以判断③，根据弧长公式计算即可判断④．
【详解】
解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
由旋转的性质可得，故①正确；
如图，连接，
，，点是重心，
，
，
由旋转的性质可得，
，
，，
与相似；
故②正确；
，
故③正确，
④点所经过的路程长是，故④错误，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了旋转的的性质，重心的性质，相似三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
11．（2022·山东威海·九年级期末）如图，扇形纸扇完全打开后，扇面（即扇形ABC）的面积为cm2，竹条AB，AC的长均为18 cm，D，E分别为AB，AC的中点，则 的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意利用扇形面积公式求出的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】
，D，E分别为AB，AC的中点，
，
扇面（即扇形ABC）的面积为cm2，
，
解得，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式（）和弧长公式（），熟练掌握知识点是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．
【详解】
解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运算三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
13．（2022·全国·九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CD，根据∠ACB=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】
解：连接CD，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的长为：＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
15．（2022·云南·昆明八中模拟预测）如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用扇形的面积求出扇形的半径，再求出扇形的弧长，由扇形正好是一个圆锥的侧面展开图可以得出圆锥底面圆周长为扇形的弧长，由此可解．
【详解】
解：设，
∵，且扇形的面积为，
∴，
∴，
∴扇形的弧长为：，
∵扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，
∴该圆锥底面圆周长为扇形的弧长，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
则，
解得．
故选A．
【点睛】
本题考查扇形的面积计算、弧长计算，圆锥的侧面展开图等知识点，熟练掌握“圆锥侧面展开所得扇形的弧长为底面圆的周长”是解题的关键．
16．（2022·广东·珠海容闳学校一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弧长公式可求得．弧长公式为l=．
【详解】
解：l===π（cm）．
故选：B．
【点睛】
主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为l=，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为6°．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】
如图，连接，，交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
【点睛】
本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
18．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B． C．20 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
19．（2022·浙江温州·三模）如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．9 B．18 C．36 D．72
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OB，根据切线的性质可求∠AOB=130°，根据弧长公式可求半径．
【详解】
解：连接OA、OB，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
又∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°，
∵，
∴r=36．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质和弧长公式，掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
20．（2022·广西贺州·二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得圆的半径，然后根据弧公式即可求解．
【详解】
解：连接AD，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵D是BC边上的中点，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，BC=AB=4，
∴AD=AB sin60°=4×=2，
∴的长为=．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了弧长公式、三角函数、等边三角形的性质；由三角函数求出AD是解决问题的关键．
21．（2022·黑龙江牡丹江·一模）如图，将圆锥沿一条母线剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥母线的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式得到，最后解关于的方程即可．
【详解】
根据题意得
解得，，
即该圆锥的母线的长为6．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了关于圆锥的计算，掌握“圆锥的侧面 ( http: / / www.21cnjy.com )展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长”是解决这个问题的关键．
22．（2022·山东德州· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．30 C．45 D．30π
【答案】A
【解析】
【分析】
作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出的长度，的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，
，
解得，
所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键．
23．（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求即可．
【详解】
连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达位置，
点P所经过的路径长为，
连接，∵D为OB中点，为AB中点，
∴∥OA，
∴=，BD=OA=3，
∴，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形的性质、中位线的性质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．（2022·全国·九年级专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
【详解】
解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．
【详解】
解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
26．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，ABC内接于⊙，于点D，若CD＝BD，⊙的半径为4，则劣弧的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OA，OC，根据圆周角定理可得，再根据弧长公式计算可得答案．
【详解】
解：连接OA，OC，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD＝BD，且
∴，
∴
又OC=4，
∴劣弧的长为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及求弧长，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．
27．（2022·山东山东·三模）如图，在中，，，，为的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，若于点，于点．则图中阴影部分的周长为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠BAC=90°，AB=6，AC=8，得又D为BC的中点，有AD= BC=5，根据DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC=90°，知四边形AEDF是矩形，从而可得DE=AC=4，DF=AB=3，即得阴影部分的周长．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴
∵D为BC的中点，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴ ∠MDN=90°，
是的中位线，
∴DE=AC=4，DF=AB=3，而
∴阴影部分的周长为
故选：C．
【点睛】
本题考查阴影面积，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握弧长公式，证明四边形AEDF是矩形．
28．（2022·辽宁·沈阳市第七中学模拟预测）如图，内接于，，，则劣弧AB的长度是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，得出∠O=2∠C，列二元一次方程组，解方程得出，然后利用锐角三角函数求出OA，最后利用扇形弧长公式求解即可．
【详解】
解：∵∠C是所对的圆周角，∠O是所对的圆心角，
∴∠O=2∠C，
∴,
∴
∵OA=OB，
∴OA=ABsin45°=，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解二元一次方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，弧长公式，掌握圆周角定理，解二元一次方程组，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，弧长公式是解题关键．21cnjy.com
29．（2022·陕西铜川·一模）如图，面积为32的正方形内接于，则劣弧的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，OB，根据正方形的性质得出OC⊥OB，OC=OB，BC=，利用弧长公式求解即可．
【详解】
解：连接OC，OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD为正方形，面积为32，
∴OC⊥OB，OC=OB，BC=，
∴∠BOC=90，，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质及解直角三角形，弧长公式求解，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
30．（2022·山东聊城·三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据翻折及E为AB中点，得到，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．结合题意， G点运动的路径为的长．当F与D点重合时，由三角函数定义计算得，从而得到，再计算的长．
【详解】
解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，
∴，
∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．
当F与D点重合时，如图，
则G点运动的路径为．
∵AB＝2，点E为AB中点，
∴，
∵矩形ABCD，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵将沿EF折叠，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了与圆相关的动点轨迹问题，运用翻折的性质结合三角函数的基础知识求得轨迹对应的圆心角度数是解题的关键．
31．（2022·山东滨州·一模）如图，∠MON=40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用作图可知OA=OB=OD=4，∠BOD=∠DOA=20°，即可求出的长度，作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，根据∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，得到∠BOF=60°，得到△OBF是等边三角形，则有BE+DE=BE+EF的最小值为BF=4（B、E、F三点在同一直线上），则问题得解．
【详解】
作D点关于OM的对称点F，连接EF、OF、BF，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题条件可知，∠BOD=∠DOA=20°，
∴，
∵D、F关于OM对称，
∴∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，
∴∠BOF=60°，
∴△OBF是等边三角形，BF=OB=4，
∵DE=EF，
∴BE+DE=BE+EF，
∵的长度为定值，
∴要想求阴影部分的周长最小即求BE+DE的最小值，
又∵BE+DE=BE+EF，
∴要求BE+EF的最小值，
由图可知当B、E、F三点在同一直线上时，BE+EF=BF，此时有最小值，
∵△OBF是等边三角形，BF=OB=4，
∴BE+EF=BF=4此时最小，
∴阴影部分的周长最小值为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：求出EB+ED的最小值为解答问题的关键，可考查了轴对称的性质和最短路线问题．
32．（2022·广东深圳·二模）如图，，都经过A、B两点，且点O在上，连接并延长，交于点C，连接交于点D，连接，，若，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过O1作O1E⊥AB，垂足为E，连接O1B，易证AC、AD分别是，的直径，根据垂径定理可得AB=AO，进而易证△ABO是等边三角形，在Rt△BAD中，利用正切求出AD，进而即可求解．21·cn·jy·com
【详解】
如图，过O1作O1E⊥AB，垂足为E，连接O1B，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC是的直径，
∴∠ABC=90°，
∴AD是的直径，
∵，
∴AB=AO，
∴∠ABO=∠AOB，
∵，
∴AO=3，BO=3，
∴AO=AB=BO=3，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∵∠BAD=∠DAO，
∴∠BAD=30°，
∴∠BO1D=60°，
在Rt△BAD中，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD．www.21-cn-jy.com
33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，，以AC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线交BC于点E，若DE＝2cm，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OD，OE．由题意结合三角形内角和定理可求出，再根据圆周角定理可求出．由等边对等角可得出．根据切线的性质可得出，即可求出，即证明为等边三角形，得出．又由“HL”易证，即得出，从而可求出．由含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理可求出，最后由弧长公式计算即可．
【详解】
如图，连接OD，OE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，
∴．
∵OA=OD，
∴．
∵DE为圆O切线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，等边三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，切线的性质以及弧长公式．正确的作出辅助线是解题关键．
34．（2022·河南漯河·九年级期末）如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（点P与点A，B，C，D不重合），过点P作于点M，于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过90°时，点Q走过的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再代入弧长公式计算即可．
【详解】
解：连接PQ，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，
∴四边形ONPM是矩形，
∴OP=MN，
又∵点Q为MN的中点，
∴点Q为OP的中点，
∴O、P、Q三点共线
则
点Q走过的路径长
故选B．
【点睛】
本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹是以为半径的90°弧．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
35．（2022·江苏·九年级专题练习）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为________．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，列式计算即可．
【详解】
解：生日帽的底面圆半径为，高为，
∴圆锥的母线长为，
∵底面圆半径为，
∴底面周长为，
∴该扇形纸片的面积为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，利用 ( http: / / www.21cnjy.com )了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【来源：21cnj*y.co*m】
36．（2022·浙江温州·二模）若圆的半径为3cm，圆心角为60°，则这个圆心角所对的弧长为 ________cm．
【答案】
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可求解．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长计算公式．
37．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是____________（结果保留）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】##
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质求解再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，
∴
∴的长
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．
38．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）如图，扇形OAB中，，以AO为直径作半圆．若，则阴影部分图形的周长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
根据弧长的计算公式即可得到结论．
【详解】
解：有阴影部分的周长为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．
39．（2022·吉林长春·中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】##
【解析】
【分析】
直接根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．
40．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
【详解】
连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
41．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件可证为直角三角形，得到，之后利用弧长公式即可得到答案．
【详解】
解：由题知，，
，
，
劣弧．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键．
三、解答题
42．（2022·江苏·九年级）如图，AB为 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝3，求的长．
【答案】(1)54°
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图，利用切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB ，利用∠B=∠OCB即可求出∠B；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长．
(1)
连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
(2)
连接OE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1．5，
∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，
∴．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE和掌握弧长公式是解题的关键．
43．（2022·浙江丽水·一模）如图，左图是右图推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若米．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当E与B重合时，则_________
（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为_________米．（结果保留，参考数据：若，则取）
【答案】
【解析】
【分析】
对于（1），过点A作AD⊥EF，交EF于点D，再根据，求出∠EAD的度数，进而得出答案；
对于（2），点E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径是以点A为圆心，1米为半径，圆心角是28°的弧，再根据弧长公式求出答案即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）如图，当点E与点B重合时，过点A作AD⊥BF于点M.则∠AMF=90°.
∵AF=AE=1（米），EF=（米），
∴（米）．
在Rt△AFM中，（米），
∴∠FAD=14°，
∴∠AFE=90°-14°=76°；
（2）∵∠FAD=14°，AF=AB，AD⊥BF，
∴∠BAF=28°．
点E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径是以点A为圆心，1米为半径，圆心角是28°的弧，即路径长为（米）．
故答案为：（1）76°；（2）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数和弧长公式，确定点F的运动路径是解题的关键．
44．（2022·广西钦州·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO的三个顶点坐标分别为，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)画出ABO关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的，并求点B旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用轴对称图形的定义以及坐标系内关于x轴对称的点的坐标特征确定关键点的位置后顺次连接即可．
（2）按照旋转的性质确定对应点的位置后顺次连接即可，再利用弧长公式进行求解．
(1)
画出ABO关于x轴对称的，如图所示，
观察图形可得，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
如图所示，
∵点B旋转到点所经过的路径为圆弧，
又∵，
∴点B旋转到点所经过的路径长为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了轴对称变换作图和旋转作图以及求弧长，解题关键是理解并掌握相关概念和性质，同时牢记弧长公式．
45．（2022·江苏泰州·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请在上述3条信息中选择其中两 ( http: / / www.21cnjy.com )条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
【答案】(1)①②，③ 证明见解析
(2)的长度为．
【解析】
【分析】
（1）选择①②为条件，③为结论；连接OC，即可求得∠D=30°，根据OD=2OC=2OB即可证明；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得⊙O的半径，利用弧长公式即可求解．
(1)
解：选择①②为条件，③为结论；
证明：连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COB=60°，
∵DC是切线，
∴OC⊥DC，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=2OB，
∴BD=OB；
故答案为：①②，③；
(2)
解：由（1）知△OCD是直角三角形，∠D=30°，OD=2OC，
又CD=3，
∴OD2=OC2+CD2，即(2OC)2=OC2+(3)2，
∴OC=3，
∵∠COB=60°，
∴的长度．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．已知切线时，连接圆心与切点，构造直角三角形是解答此题的关键．
46．（2022·江苏盐城·一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
(2)①求证：CF=AB；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【答案】(1)DE是⊙O的切线，理由见解析
(2)①见解析；②阴影部分的周长为1212+．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形OABC的的性质以及CD⊥AB证明∠OCD=90°即可；
（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；②求出EC、OE、EF的长，再利用弧长公式即可求得阴影部分的周长．
(1)
解：结论：DE是⊙O的切线．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
又∵CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴DE是⊙O的切线；
(2)
①证明：连接OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形OABC是平行四边形，
又∵OA=OC，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴△ABO，△BCO都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，
∵OC=OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC=AB；
②解：在Rt△OCE中，OC=OF=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=12，
∴EF=OF=12，
∴=，
∴阴影部分的周长为1212+．
【点睛】
本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，解题的关键是证明三角形是△OCF是等边三角形．2·1·c·n·j·y
47．（2022·河南周口·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，M是半圆弧的中点，点C是上的动点（不与端点M，B重合），点D在弦AC上，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：；
(2)填空：若，则点D移动的路径长等于________．
【答案】(1)见解析
(2)π
【解析】
【分析】
（1）连接MA、MB，证明△AMD≌△BMC（SAS），即可解决问题；
（2）由∠MDC=45°，推出∠ADM=1 ( http: / / www.21cnjy.com )80°-45°=135°，推出点D的运动轨迹是弧ADM，设圆心为T，连接AT，MT，则∠T=90°，利用弧长公式求解即可．
(1)
证明：连接MA，MB
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵M是半圆弧的中点，
∴，，
∴∠MAB=∠MBA=45°，
∴．
∵，
∴△DCM是等腰直角三角形．
∴．
∵，，
∴．
∴△AMD≌△BMC（SAS）．
∴．
(2)
∵∠MDC=45°，
∴∠ADM=180°-45°=135°，
∴点D的运动轨迹是弧ADM，设圆心为T，连接AT，MT，则∠T=90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=4，
∴AM=，
∴AT=TM=2，
∴的长=．
【点睛】
本题考查动点的轨迹，弧长公式，圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．www-2-1-cnjy-com
48．（2022·江苏淮安·九年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AC平分∠BAD交⊙O于点C，过点C作AD的垂线交AD的廷长线于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：CE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2．且cos∠DAC＝，求弧BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，即可解答；
（2）根据已知可得∠DAC=30°，然后利用圆周角定理求出∠COB=2∠OAC=60°，最后利用弧长公式进行计算即可解答．21*cnjy*com
(1)
证明：连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CE⊥AE，
∴∠CEA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴，
∴∠OCE+∠CEA=180°，
∴∠OCE=180°-∠CEA=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
(2)
解：∵cos∠DAC=，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠OAC=30°，
∴∠COB=2∠OAC=60°，
∴弧BC的长
∴弧BC的长为：．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，角平分线的性质，熟练掌握切线的判定与性质以及圆周角定理是解题的关键．
49．（2022·江苏·九年级）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求α；
(2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到然后解方程即可；
（2）过C点作CD⊥BO于D ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算．
(1)
解：设∠AOB＝n°，
根据题意得，
解得n＝120，
α为120°；
(2)
过C点作CD⊥BO于D，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BOC＝120°，
∴∠COD＝60°，
∴ODOC＝2，
∴CDOD，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC
．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为 ( http: / / www.21cnjy.com )一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
