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绝密★启用前
专题43游戏的公平性
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北·武汉二中广雅 ( http: / / www.21cnjy.com )中学一模）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）21教育网
A． B． C． D．
2．（2022·全国·九年级课时练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
3．（2022·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
第II卷（非选择题）
二、填空题
4．（2022·全国·九年级课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取 ( http: / / www.21cnjy.com )走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
5．（2022·北京西城·二模）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；21·cn·jy·com
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．
6．（2022·河北·二模）A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”．
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2022·山西太原 ( http: / / www.21cnjy.com )·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）．www-2-1-cnjy-com
8．（2022·全国·九年级单元测试 ( http: / / www.21cnjy.com )）甲、乙二人玩掷骰子游戏，规定同时掷出两枚骰子，点数和为奇数，甲得1分，点数和为偶数，乙得1分，谁先积满20分为胜，你认为这个游戏_____（填“公平”或“不公平”）．2-1-c-n-j-y
三、解答题
9．（2022·四川乐山·九年级期末）在一不透明的口袋中装有3个球，这3个球分别标有数字1、 2、 3 ，这些球除了数字外都相同．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？
(2)小明和小亮玩摸球游戏， ( http: / / www.21cnjy.com )游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球记下球的数字后放回搅匀后再由小亮随机摸出一个球记下数字．若摸出的球的数字相同为平局，谁摸出的球的数字大谁获胜．请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．【出处：21教育名师】
10．（2022·河南洛阳·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）小明听说小张和小李两位好朋友利用星期天到河岸边清理垃圾，参加保护环境志愿者服务活动，也临时参加，活动结束后，有赞助商赠送两个书包作为奖品，小明提出：用抓阄的方式来确定书包归属，将写有A、B、C三张相同的纸片，标有A、B的有奖品，标有C的无奖品，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，每人抓一个，小李提出异议说：谁先抓对谁有利，认为这个方法不公平．而小张、小明则认为：先抓后抓一个样．你认为抓阄这个方法公平吗？用学过的概率知识进行说明．
11．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲赢，否则就算乙赢．请直接写出甲赢的概率．
(2)转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
12．（2022·贵州·仁怀市教育研究室 ( http: / / www.21cnjy.com )三模）4张相同的卡片上分别写有数字－1，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；将抽出的卡片放回洗匀后再从中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非正数的概率为______；
(2)琪琪设计了如下游戏规 ( http: / / www.21cnjy.com )则：将第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录的数字作为纵坐标，得到相应的点，若得到的点在第二象限，则甲胜，若得到的点在第四象限，则乙胜，琪琪设计的游戏规则对甲乙两人公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）
13．（2022·全国·九年级专题练习）20 ( http: / / www.21cnjy.com )22年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．21教育名师原创作品
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
14．（2022·福建·模拟预测 ( http: / / www.21cnjy.com )）为丰富学生的课外活动，某班组织了一场趣味游戏，规则如下：参与者从起点开始进行50米直线短跑，终点有A，B两个转盘，A转盘被均分成三分并标有数字3，5，7，B转盘被均分成四份并标有数字2，4，6，8（如图所示），先到达终点者可优先选择转动其中的一个转盘，后到达者则只能转动剩下的转盘，转出转盘中的数字大的一方获胜（指针指向分界线时需要重新转动转盘）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若先到达者转动B转盘，且转出的数字是6，求后到达者获胜的概率；
(2)趣味游戏结束后，数学老师在课堂上说： ( http: / / www.21cnjy.com )“此次趣味游戏中，后到达者获胜的概率是否大于先到达者，取决于先到达者转动哪个转盘，请同学们判断该说法是否正确，并说明理由．”请你解答老师的问题．
15．（2022·山东·青岛大学附属 ( http: / / www.21cnjy.com )中学三模）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成3个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各1次，若两次数字之和为奇数，则小亮胜；若两次数字之和为偶数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．（2022·内蒙古北方重工业 ( http: / / www.21cnjy.com )集团有限公司第一中学三模）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A，B分为4等份、3等份，并在每一份内标上数字：（如图所示）并规定游戏规则如下：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指的两个数字之和大于8，则甲获胜：若两个数字之和小于8，则乙获胜：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用列表（或树状图法）求甲、乙两人获胜的概率．
(2)如果甲获胜得1分，乙获胜得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请你修改规则，是游戏对对方公平．www.21-cn-jy.com
17．（2022·福建省南平市教师进修学 ( http: / / www.21cnjy.com )院（南平市教育科学研究院、南平市普通教育教学研究室）模拟预测）某校进行体育中考，分为笔试和实操，其中实操共有800m（女）/1000m（男）、篮球绕杆、跳远、跳绳、斜身引体（女）/引体向上（男）五个项目，若800m（女）/1000m（男）、篮球绕杆为必考项目．
(1)若小明需从跳远、跳绳、斜身引体（女） ( http: / / www.21cnjy.com )/引体向上（男）随机选择两个项目，请用树状图或列表法表示小明所选的所有可能，并求小明选择了跳远的概率．
(2)若笔试由16道选择题构成，每小题 ( http: / / www.21cnjy.com )有四个选项且只有一个选项正确，其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若16道题全答对则额外奖励10分，小丁对其中的14道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更划算？
18．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中 ( http: / / www.21cnjy.com )学模拟预测）某市教育局实施对口帮扶活动中，准备为部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外读物阅读的喜好情况，现对该市农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图（1）与图（2）是整理后绘制的两幅不完整的统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)本次调查抽取的人数是________人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为________度．
(2)本次调查中喜欢“小说”的人数是_ ( http: / / www.21cnjy.com )_______人；若该市农村小学有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有________人．
(3)现在有一种漫画书， ( http: / / www.21cnjy.com )发到最后只剩一本但小丽和小芳都想要，于是她们设计了一种游戏，规则是：现有4张卡片上分别写有7，8，9，10四个整数，先让小丽随机抽取一张后不放回，再由小芳随机抽取一张，若抽取的两张卡片上的数字之和是2的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书．用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？21*cnjy*com
19．（2022·陕西师大 ( http: / / www.21cnjy.com )附中三模）在一个不透明的纸箱里装有标号分别为1，2，3的乒乓球（除标号数字外完全相同），将纸箱内的乒乓球充分摇匀后，从中随机摸出一个乒乓球，记下标号后放回并摇匀，将此过程记为一次随机摸球．
(1)若某人进行20次随 ( http: / / www.21cnjy.com )机摸球，标号为“1”的乒乓球出现了7次，则他这20次随机摸球中摸出标号为“1”的乒乓球的频率为__________；
(2)小米和小蓝用这三个乒乓球做摸球游戏， ( http: / / www.21cnjy.com )小米先进行一次随机摸球，再由小蓝进行一次随机摸球，若两人摸出的乒乓球标号同为奇数或同为偶数，则小米获胜；否则小蓝获胜，请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏是否公平，并说明理由．
20．（2022·山东青 ( http: / / www.21cnjy.com )岛·二模）小明和小亮都想参加“象棋”社团活动，但受到名额限制，只能录取一人，他们用如图所示的两个转盘（每个转盘被平均分成面积相等的扇形）做游戏：同时转动两个转盘，若两次数字之差的绝对值为奇数，则小明胜；若两次数字之差的绝对值为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请你用列表法或树状图说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．（2022·湖北咸宁·九年级阶段 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）甲，乙两人用4个乒乓球做游戏，这4个乒乓球上分别标有数字2，3，6，6（球的形状，大小，颜色，质量都相同），他们将乒乓球放入盒内搅匀后，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)请你用列表或画树形图的方法求出乙摸到标有数字是3的乒乓球的概率；
(2)他俩约定：若甲摸到的 ( http: / / www.21cnjy.com )球面数字不小于乙摸到的球面数字，则甲赢；若甲摸到的球面数字比乙的小，则乙赢．你认为这个游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，设计一个公平的游戏方案．
22．（2022·陕西西安·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）由于疫情爆发，小敏家所在的小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．为增添生活乐趣，小敏制作了4张相同的卡片，在上面分别写上数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 ；
(2)小敏设计了如下游戏规则： ( http: / / www.21cnjy.com )当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，爸爸出小区购买生活必需品；否则，妈妈去．请用画树状图或列表的方法，求这个游戏对双方是否公平．
23．（2022·山东青岛 ( http: / / www.21cnjy.com )·二模）小明和小亮做游戏，规则如下：将正面分别写有数字1，2，3，4的4张卡片背面朝上，洗匀．先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，若抽得的2张卡片上的数字之和为2的倍数则小明胜，若抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
24．（2022·陕西·西安工业大学附中 ( http: / / www.21cnjy.com )三模）甲、乙两人在玩摸球游戏，游戏规则如下，在一个不透明的袋子中放入分别标有数字0、1、2、3的四个除标号外完全相同的小球，先将袋中的小球摇匀，甲先随机摸出一球记下数字并放回，乙再随机摸出一球记下数字，若摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1，则甲胜，否则乙胜．
(1)从袋子中的四个球中随机摸出一球，“摸中标号为3的球”的概率是 ．
(2)用列表法或画树状图法说明游戏是否公平．
25．（2022·山东青岛·二模）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有除标号外完全相同的小球，其中甲口袋中的3个小球上分别标有数字1，2，3，乙口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，先从甲袋中随机摸出一个小球，记录数字为，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录数字为．如果则小刚获胜，否则小明获胜，游戏公平吗？请说明理由．
26．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为，记．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标．
(2)李老师为甲、乙两人设计了一个游戏：当S为偶数时甲获胜，S为奇数时乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
27．（2022·山东青岛·二模）如图，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )自由转动的均匀的两个转盘，被它的半径分成标有数字的扇形区域，扇形圆心角的度数如图所示，小亮和小颖做游戏，规则如下：同时转动这两个转盘，待转盘自动停止后，指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两个转盘的指针均指向扇形的内部为止）．若两个转盘所转得的数字乘积为1，则小亮赢，否则小颖赢．这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
28．（2022·江苏苏州·一模） ( http: / / www.21cnjy.com )北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是_____；
(2)若冬奥会会徽邮票记作 ( http: / / www.21cnjy.com )A邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B邮票，吉祥物雪容融邮票记作C邮票．小明和小亮制定游戏规则：随机从中抽取1张邮票，不放回，再抽出第2张邮票，若抽到A邮票，则小明胜：若摸到两张相同的邮票，则小亮胜：其余情况视为平局，游戏重新进行．请用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
29．（2022·福建·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级专题练习）如图，现有一个可以自由转动的圆形转盘，被分成6个面积相等的扇形区域，指针的位置固定．转盘游戏规则如下：花费5元可以随意转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，就按照这个区域所示的数字相应地顺时针跳几格，然后按照如表格所示的说明确定奖金数额．
例如，当指针指向区域“2”时，就向前跳两格到区域“4”．按奖金说明，区域“4”所示的奖金为5元，就可得奖金5元．
( http: / / www.21cnjy.com / )
区域 1 2 3 4 5 6
奖金 3元 1元 20元 5元 10元 2元
(1)在一次转盘游戏中，求获得2元奖金的概率；
(2)请你用概率知识判断这个转盘游戏是否公平？若不公平，请改变转盘每个区域对应的奖金数额，使其公平．
30．（2022·山东菏泽·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
(1)请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．
(2)你认为这个游戏公平吗？为什么？
31．（2022·云南临沧·一模）小明和小红两人玩摸球游戏，在不透明的布袋A、B中分别放有三个标有数字的小球，这些小球除数字外完全相同，布袋A中的小球上的数字分别是－1、2、3，布袋B中的小球上的数字分别是1、2、－3，小明从A口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为a，小红从布袋B中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为b．若，则小明获胜；若，则小红获胜．2·1·c·n·j·y
(1)用列表或画树状图的方法，表示出（a，b）所有可能出现的结果；
(2)你认为这个游戏对小明，小红两人公平吗？请通过计算说明理由．
32．（2022·陕西师大附 ( http: / / www.21cnjy.com )中九年级阶段练习）爸爸寄回一枚北京奥运会纪念币，小颖和弟弟小明都想要，小颖提议玩“配紫色”游戏，赢的人得到纪念币，规则如下：如图，A、B两个可以自由转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．若配成紫色，则小颖赢，否则小明赢．这个游戏对双方公中吗？请说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
( http: / / www.21cnjy.com / )
33．（2022·全国·九年级专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
( http: / / www.21cnjy.com / )
课程 人数
声乐 30
体锻 a
科创 36
书法 b
(1)表中a＝ ，b＝ ；
(2)扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为 ；
(3)由于学校条件限制，“科创”课程 ( http: / / www.21cnjy.com )仅剩下一个名额，而学生小明和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
34．（2022·辽宁·沈阳市虹 ( http: / / www.21cnjy.com )桥中学溪湖分校一模）小明、小颖和小凡都想周末看电影，但只有一张电影票．三人通过做游戏确定，谁获胜谁去．游戏规则如下：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，若两枚都是正面朝上，则小明获胜：若两枚都是反面朝上，则小颖获胜：若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明你的理由．21·世纪*教育网
35．（2022·四川德阳·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）我区某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“器乐，体锻，科创，书法，美术，课本剧，棋类……”等课程供学生自由选择，半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)表示等级C的扇形的圆心角是______度；
(3)由于学校条件限制，“科创”课程仅剩 ( http: / / www.21cnjy.com )下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
36．（2022·陕西宝鸡 ( http: / / www.21cnjy.com )·一模）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“校”、“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
(1)小明和小军做摸球游戏，若从中任摸一个 ( http: / / www.21cnjy.com )球，球上的汉字刚好是“书”，则小明胜，否则小军胜，这个游戏对双方______（填“公平”或“不公平”）；21*cnjy*com
(2)从中任摸一球，不放回，再从中任摸一球，请用树状图或列表的方法，求摸出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
37．（2022·山东青岛·一模）小颖和 ( http: / / www.21cnjy.com )小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1、2、4的三个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和为奇数，则小颖胜；若两次数字之和为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏对双方是否公平？请用树状图或列表法说明理由．
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北·武汉二中广 ( http: / / www.21cnjy.com )雅中学一模）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案.21*cnjy*com
【详解】
解：根据题意画出树状图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，
∴小明获胜的概率
P==，
故选: B.
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
2．（2022·全国·九年级课时练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】
解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
3．（2022·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
【答案】C
【解析】
【分析】
根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解．
【详解】
解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误．www.21-cn-jy.com
故选C
【点睛】
本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
( http: / / www.21cnjy.com / )
若甲先取走标记2，3的卡片， ( http: / / www.21cnjy.com )乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】
解：若甲先取走标记2，3的 ( http: / / www.21cnjy.com )卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
5．（2022·北京西城·二模）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．
【答案】 乙 e，f．
【解析】
【分析】
（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；
（2）分乙取三个球和乙取二个 ( http: / / www.21cnjy.com )球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，
∴还剩下a，，e，f，g，h，
又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，
∴乙可以取e，f，g或f，g，h，
若乙取e，f，g，只剩下a，，h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
枚答案为：乙；
（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，
①若乙取三个球:
若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；
②若乙取二个球:
若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；
若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，
此时甲取c，d或g，h，则乙胜；
若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，
故答案为：e，f．
【点睛】
本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．
6．（2022·河北·二模）A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】覆盖5点的圆的最小半径（答案不唯一）
【解析】
【分析】
依题意设计出可以确定石子离散程度大小的方案即可．
【详解】
解：如图，分别作圆覆盖5点，所作圆的最小半径即可作为“数”表示这个“散度”：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：覆盖5点的圆的最小半径．
【点睛】
本题考查游戏规则的设定，是开放性题目，故答案不唯一，设定满足题目条件要求即可．
7．（2022·山西太原·一模）在课 ( http: / / www.21cnjy.com )后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）．
【答案】公平
【解析】
【分析】
要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可．
【详解】
解：根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由上图可知，
甲班优先选择场地的概率，
乙班优先选择场地的概率，
故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等，
这种选择场地的方法对两个班级公平．
【点睛】
本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键．
8．（2022·全国·九年级单元测试 ( http: / / www.21cnjy.com )）甲、乙二人玩掷骰子游戏，规定同时掷出两枚骰子，点数和为奇数，甲得1分，点数和为偶数，乙得1分，谁先积满20分为胜，你认为这个游戏_____（填“公平”或“不公平”）．21教育名师原创作品
【答案】公平
【解析】
【分析】
根据题意用列表法找出所有的可能，然后计算甲和乙获胜的概率，比较大小即可知道是否公平.
【详解】
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，点数和为奇数的有18种情况，点数和分偶数的也有18种情况，
∴P（甲胜）=P（乙胜）=
∴这个游戏公平．
故答案为公平．
【点睛】
此题重点考察学生对列表法的理解，会画列表是解题的关键.
三、解答题
9．（2022·四川乐山·九年级期末）在一不透明的口袋中装有3个球，这3个球分别标有数字1、 2、 3 ，这些球除了数字外都相同．21世纪教育网版权所有
(1)如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少？
(2)小明和小亮玩摸球游戏，游戏的规 ( http: / / www.21cnjy.com )则如下:先由小明随机摸出一个球记下球的数字后放回搅匀后再由小亮随机摸出一个球记下数字．若摸出的球的数字相同为平局，谁摸出的球的数字大谁获胜．请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．【出处：21教育名师】
【答案】(1)；
(2)游戏规则对双方公平．
【解析】
【分析】
（1）利用概率公式直接求出即可；
（2）首先利用树状图法求出两人的获胜概率，即可得出答案．
（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是2的球的概率是：；
（2）游戏规则对双方公平． ( http: / / www.21cnjy.com / )由图可知，共有9种等可能的情况，其中小明获胜有3种，小亮获胜有3种则P（小明获胜）=，P（小亮获胜）=，即P（小明获胜）=P（小亮获胜），∴游戏规则对双方公平．
【点睛】
本题考查概率的应用，熟练掌握概率的各种计算方法并灵活运用是解题关键．
10．（2022·河南洛阳·九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）小明听说小张和小李两位好朋友利用星期天到河岸边清理垃圾，参加保护环境志愿者服务活动，也临时参加，活动结束后，有赞助商赠送两个书包作为奖品，小明提出：用抓阄的方式来确定书包归属，将写有A、B、C三张相同的纸片，标有A、B的有奖品，标有C的无奖品，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，每人抓一个，小李提出异议说：谁先抓对谁有利，认为这个方法不公平．而小张、小明则认为：先抓后抓一个样．你认为抓阄这个方法公平吗？用学过的概率知识进行说明．
【答案】抓阄这个方法公平，理由见解析
【解析】
【分析】
根据概率公式计算即可．
【详解】
解：抓阄这个方法公平，理由如下，
根据题意，将写有A、B、C三张相同的纸片，标有A、B的有奖品，标有C的无奖品，
∴先抓后抓的获得奖品的概率都是，
∴抓阄这个方法公平．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性，正确地利用概率公式计算概率是解题的关键．
11．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲赢，否则就算乙赢．请直接写出甲赢的概率．
(2)转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．21·世纪*教育网
【答案】(1)
(2)游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）画出树状图，根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平．
(1)
解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有4个可能的结果，转盘A和转盘B所指的数字之和为4的结果有2个，
∴P（转盘A和转盘B所指的数字之和为4）=；
(2)
游戏不公平，
根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有（1，2，1）、（1， ( http: / / www.21cnjy.com )2，3）、（1，3，1）、（1，3，3）、（2，2，1）、（2，2，3）、（2，3，1）、（2，3，3）8种等可能结果，
其中6种结果含有相同数字，分别是（1，2，1）、（1，3，1）、（1，3，3）、（2，2，1）、（2，2，3）、（2，3，3），
∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=，
故游戏不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公 ( http: / / www.21cnjy.com )平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2022·贵州·仁怀市教育研究室 ( http: / / www.21cnjy.com )三模）4张相同的卡片上分别写有数字－1，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；将抽出的卡片放回洗匀后再从中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非正数的概率为______；
(2)琪琪设计了如下游戏规则 ( http: / / www.21cnjy.com )：将第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录的数字作为纵坐标，得到相应的点，若得到的点在第二象限，则甲胜，若得到的点在第四象限，则乙胜，琪琪设计的游戏规则对甲乙两人公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)公平，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）列出表格，求出两种情况的概率，根据概率判断即可．
(1)
解：一共有四种等可能结果，卡片上数字是非正数的有2种，
第一次抽取的卡片上数字是非正数的概率为，
故答案为：．
(2)
解：公平；
列表如下：
-1 0 1 2
-1 （-1，-1） （-1，0） （-1，1） （-1，2）
0 （0，-1） （0，0） （0，1） （0，2）
1 （1，-1） （1，0） （1，1） （1，2）
2 （2，-1） （2，0） （2，1） （2，2）
一共有16种等可能结果，在第二象限共有2种，概率为；在第四象限共有2种，概率为；
琪琪设计的游戏规则对甲乙两人公平．
【点睛】
本题考查了概率及其应用，解题关键是熟练列表求出相应的概率．
13．（2022·全国·九年级专题 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方都公平
【解析】
【分析】
根据题意列表求得双方的概率即可求解．
【详解】
解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
14．（2022·福建·模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟预测）为丰富学生的课外活动，某班组织了一场趣味游戏，规则如下：参与者从起点开始进行50米直线短跑，终点有A，B两个转盘，A转盘被均分成三分并标有数字3，5，7，B转盘被均分成四份并标有数字2，4，6，8（如图所示），先到达终点者可优先选择转动其中的一个转盘，后到达者则只能转动剩下的转盘，转出转盘中的数字大的一方获胜（指针指向分界线时需要重新转动转盘）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若先到达者转动B转盘，且转出的数字是6，求后到达者获胜的概率；
(2)趣味游戏结束后，数 ( http: / / www.21cnjy.com )学老师在课堂上说：“此次趣味游戏中，后到达者获胜的概率是否大于先到达者，取决于先到达者转动哪个转盘，请同学们判断该说法是否正确，并说明理由．”请你解答老师的问题．
【答案】(1)
(2)该说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据A转盘上的数字3、5、7都有机会转出，转出机会的可能性相等，且3<6，5<6，7>6，推出后到达者获胜的概率为：；
（2）先转动B转盘，后转动A转盘，根据画出树状图，得到共12种等可能结果，其中A转盘上的数字大于B转盘上的数字的结果有6种，推出，得到后到达者获胜的概率与先到达者获胜的概率相等，与先到达者转动哪个转盘无关．
(1)
∵A转盘上的数字3、5、7都有机会转出，转出机会的可能性相等，且3<6，5<6，7>6，
∴后到达者获胜的概率为：；
(2)
该说法不正确，理由：
先转动B转盘，后转动A转盘，画出树状图，共12种等可能结果，其中A转盘上的数字大于B转盘上的数字的结果有6种，
∴，
∴后到达者获胜的概率与先到达者获胜的概率相等，与先到达者转动哪个转盘无关．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了概率的计算，根据概 ( http: / / www.21cnjy.com )率作判断．解决问题的关键是熟练掌握根据概率的定义求概率，画树状图求概率，根据求出的概率值对游戏的公平性作评判．
15．（2022·山东·青岛大学附属中学 ( http: / / www.21cnjy.com )三模）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成3个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各1次，若两次数字之和为奇数，则小亮胜；若两次数字之和为偶数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【解析】
【分析】
先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找 ( http: / / www.21cnjy.com )出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平．
【详解】
解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，
两次数字之和为偶数的结果数为4，
所以小明胜的概率=，小亮胜的概率=， 而，
所以这个游戏对双方不公平．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
16．（2022·内蒙古北方重工业 ( http: / / www.21cnjy.com )集团有限公司第一中学三模）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A，B分为4等份、3等份，并在每一份内标上数字：（如图所示）并规定游戏规则如下：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指的两个数字之和大于8，则甲获胜：若两个数字之和小于8，则乙获胜：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用列表（或树状图法）求甲、乙两人获胜的概率．
(2)如果甲获胜得1分，乙获胜得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请你修改规则，是游戏对对方公平．
【答案】(1)甲获胜的概率是，乙获胜的概率是；
(2)不公平，让甲获胜得1分，乙获胜得2分．
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和指针所指的两个数字之和大于8和小于8的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）游戏是否公平，关键要看是 ( http: / / www.21cnjy.com )否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
(1)
根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和大于8的有6种，两个数字之和小于8的有3种，
则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是；
(2)
不公平，理由如下：
∵×1≠×3，
∴这个游戏不公平，
要想游戏公平，就让甲获胜得1分，乙获胜得2分．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判 ( http: / / www.21cnjy.com )断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（2022·福建省南平 ( http: / / www.21cnjy.com )市教师进修学院（南平市教育科学研究院、南平市普通教育教学研究室）模拟预测）某校进行体育中考，分为笔试和实操，其中实操共有800m（女）/1000m（男）、篮球绕杆、跳远、跳绳、斜身引体（女）/引体向上（男）五个项目，若800m（女）/1000m（男）、篮球绕杆为必考项目．
(1)若小明需从跳远、跳绳、斜身引 ( http: / / www.21cnjy.com )体（女）/引体向上（男）随机选择两个项目，请用树状图或列表法表示小明所选的所有可能，并求小明选择了跳远的概率．
(2)若笔试由16道选择题构成 ( http: / / www.21cnjy.com )，每小题有四个选项且只有一个选项正确，其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若16道题全答对则额外奖励10分，小丁对其中的14道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更划算？
【答案】(1)
(2)预期得分角度分析，小丁两题都采用随机选择的解答方式更合算
【解析】
【分析】
（1）用树状图法分两次选择，第一次从 ( http: / / www.21cnjy.com )3个项目中任选1个，第二次从剩下两个项目中任选1个，列出全部选择可能，从中确认出现跳远的可能数，根据概率公式计算即可；
（2）用列表法列出全部可能结果， ( http: / / www.21cnjy.com )分两题都不答、一题随机答一题不答、两题都随机答三种答题方式，分别计算各种方式下结果的概率，求出得分预期并进行比较，选择得分多的答题方式．
(1)
记跳绳、跳远、斜身引体（女）/引体向上（男）分别为A，B，C，作树状图如下：
由图可知，共有6种可能，其中小明选择了跳远（B）（记为事件D）的结果有4种，
所以．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
用“对，错，错，错”来表示每题四个选项答题结果，可列表：
由表可知，共有16种等可能的结果，
其中两题都答对的结果有1种，概率为；
一题错一题对的结果有6种，概率为；
两题都错的结果有9种，概率为；
若只答一题，答对的概率为，答错的概率为．
小丁有3种可能的解答方式，分别为：
①两题都不答：预期得分为（分）
②一题随机选择，一题不答：预期得分为
③两题都采用随机选择：两题都对可得分4+10=14分，概率；一对一错可得分2-1=1分，概率；两题全错可得分-2分，概率，
则预期得分为，
从预期得分角度分析，小丁两题都采用随机选择的解答方式更合算．
第二题第一题 对 错 错 错
对 （对，对） （对，错） （对，错） （对，错）
错 （错，对） （错，错） （错，错） （错，错）
错 （错，对） （错，错） （错，错） （错，错）
错 （错，对） （错，错） （错，错） （错，错）
【点睛】
本题考查了概率，熟练掌握用树状图法和列表法求概率的方法是解题关键．
18．（2022·湖南·长沙市长郡 ( http: / / www.21cnjy.com )双语实验中学模拟预测）某市教育局实施对口帮扶活动中，准备为部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外读物阅读的喜好情况，现对该市农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图（1）与图（2）是整理后绘制的两幅不完整的统计图．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)本次调查抽取的人数是________人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为________度．
(2)本次调查中喜欢“小说”的人数是____ ( http: / / www.21cnjy.com )____人；若该市农村小学有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有________人．
(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本 ( http: / / www.21cnjy.com )但小丽和小芳都想要，于是她们设计了一种游戏，规则是：现有4张卡片上分别写有7，8，9，10四个整数，先让小丽随机抽取一张后不放回，再由小芳随机抽取一张，若抽取的两张卡片上的数字之和是2的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书．用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？
【答案】(1)300、72
(2)120、7500
(3)公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用“其他”种类人数除以“其他”种 ( http: / / www.21cnjy.com )类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘360°即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数；
（2）先求出“科普常识”人数，再用本次 ( http: / / www.21cnjy.com )调查抽取的人数减去“漫画”“科普常识”“其他”的人数，即可求出本次调查中喜欢“小说”的人数；用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生，估计喜爱“科普常识”的小学生人数；
（3）画出树状图，根据树状图求出所有 ( http: / / www.21cnjy.com )情况，找到符合抽得的数字之和是2的倍数的情况数、是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是2的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，即可判断是否公平．
(1)
解：30÷10％=300（人）
60÷300×360°=72°
故答案为：300，72
(2)
解：300×30%=90（人）
300－90－60－30=120（人）
25000×30%=7500（人）
故答案为：120，7500
(3)
解：树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中，抽得的数字之和是2的倍数的有4种，是3的倍数的有4种；则书给小丽的概率是，给小亮的概率是
答：这种方法是公平的．
【点睛】
本题考查了结合扇形统计图和条形统 ( http: / / www.21cnjy.com )计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．21cnjy.com
19．（2022·陕西师大附中三模）在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不透明的纸箱里装有标号分别为1，2，3的乒乓球（除标号数字外完全相同），将纸箱内的乒乓球充分摇匀后，从中随机摸出一个乒乓球，记下标号后放回并摇匀，将此过程记为一次随机摸球．
(1)若某人进行20次随机摸球，标号为“ ( http: / / www.21cnjy.com )1”的乒乓球出现了7次，则他这20次随机摸球中摸出标号为“1”的乒乓球的频率为__________；
(2)小米和小蓝用这三个乒乓球 ( http: / / www.21cnjy.com )做摸球游戏，小米先进行一次随机摸球，再由小蓝进行一次随机摸球，若两人摸出的乒乓球标号同为奇数或同为偶数，则小米获胜；否则小蓝获胜，请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【答案】(1)
(2)游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据出现的次数除以总次数求频率即可求解；
（2）根据题意列表分别求得小米，小兰获胜的概率，即可求解．
(1)
某人进行20次随机摸球，标号为“1”的乒乓球出现了7次，则他这20次随机摸球中摸出标号为“1”的乒乓球的频率为，
故答案为：；
(2)
根据题意，列表如下，
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
所有等可能的情况数有9种，其中小米获胜的结果有5种、小蓝获胜的结果各有4种，
小米获胜的概率为，小蓝获胜的概率为，
，
故这个游戏不公平
【点睛】
本题考查了求频率，游戏公平性，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2022·山东青岛·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）小明和小亮都想参加“象棋”社团活动，但受到名额限制，只能录取一人，他们用如图所示的两个转盘（每个转盘被平均分成面积相等的扇形）做游戏：同时转动两个转盘，若两次数字之差的绝对值为奇数，则小明胜；若两次数字之差的绝对值为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请你用列表法或树状图说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】这个游戏规则对双方公平．
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有 ( http: / / www.21cnjy.com )等可能的结果与数字之和为奇数和偶数的情况，再利用概率公式求出小明和小亮获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵共有12种等可能的结果，结果为奇数的有6种情况，为偶数有6种情况，
∴P（小明获胜）=；
P（小亮获胜）=；
∴P（小明获胜）P（小亮获胜），
∴这个游戏规则对双方公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．（2022·湖北咸宁·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级阶段练习）甲，乙两人用4个乒乓球做游戏，这4个乒乓球上分别标有数字2，3，6，6（球的形状，大小，颜色，质量都相同），他们将乒乓球放入盒内搅匀后，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸．
(1)请你用列表或画树形图的方法求出乙摸到标有数字是3的乒乓球的概率；
(2)他俩约定：若甲摸到的 ( http: / / www.21cnjy.com )球面数字不小于乙摸到的球面数字，则甲赢；若甲摸到的球面数字比乙的小，则乙赢．你认为这个游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，设计一个公平的游戏方案．
【答案】(1)
(2)不公平；可将规则改为：甲乙两人分别摸球，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸，如果他们摸出的球面数字之和为偶数，则甲赢，否则乙赢【版权所有：21教育】
【解析】
【分析】
（1）先根据题意画出树状图，然后根据概率的公式进行计算即可；
（2）先根据（1）中画出的树状图分别求出甲、乙获胜的概率，说明游戏不公平，然后设计一个使两个人获胜概率相同的游戏规则即可．
(1)
解：由题意画树状图，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵共有12种等可能结果，其中摸到标有数字是3的乒乓球（记事件A）有3种情况：
∴．
(2)
∵甲摸到的球面数字不小于乙摸到的数字的情况有7种，
∴P（甲获胜），P（乙获胜），
∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这个规则不公平，
可将规则改为：甲乙两人分别摸球， ( http: / / www.21cnjy.com )甲先摸，摸出后不放回，乙再摸，如果他们摸出的球面数字之和为偶数，则甲赢，否则乙赢．（修改规则答案不唯一，只要概率相等即可）
【点睛】
本题主要考查了画树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键．
22．（2022·陕西西安·二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）由于疫情爆发，小敏家所在的小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．为增添生活乐趣，小敏制作了4张相同的卡片，在上面分别写上数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 ；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第 ( http: / / www.21cnjy.com )一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，爸爸出小区购买生活必需品；否则，妈妈去．请用画树状图或列表的方法，求这个游戏对双方是否公平．
【答案】(1)
(2)公平
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式直接计算可得；
（2）画树状图列举所有等可能的情况及结果为非负数及负数的情况，再利用概率公式计算．
(1)
解：第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为．
故答案为：；
(2)
（2）画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
∴双方获胜的概率．
∴这个游戏对双方公平．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状 ( http: / / www.21cnjy.com )图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（2022·山东青岛 ( http: / / www.21cnjy.com )·二模）小明和小亮做游戏，规则如下：将正面分别写有数字1，2，3，4的4张卡片背面朝上，洗匀．先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，若抽得的2张卡片上的数字之和为2的倍数则小明胜，若抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】这个游戏对双方公平；理由见解析
【解析】
【分析】
先根据题意画出树状图，然后再根据概率的公式计算出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，最后作出判断即可．
【详解】
解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
根据画出树状图，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵共有12种等可能的情况，其中两张卡片上的数字之和是2的倍数的有4种情况，两张卡片上的数字之和是3的倍数的有3种情况，
∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：，
∴这个游戏对双方公平．
【点睛】
本题主要考查了利用画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．
24．（2022·陕西·西安工业大 ( http: / / www.21cnjy.com )学附中三模）甲、乙两人在玩摸球游戏，游戏规则如下，在一个不透明的袋子中放入分别标有数字0、1、2、3的四个除标号外完全相同的小球，先将袋中的小球摇匀，甲先随机摸出一球记下数字并放回，乙再随机摸出一球记下数字，若摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1，则甲胜，否则乙胜．
(1)从袋子中的四个球中随机摸出一球，“摸中标号为3的球”的概率是 ．
(2)用列表法或画树状图法说明游戏是否公平．
【答案】(1)
(2)不公平
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，找到摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1的结果数，求出甲获胜的概率，继而得出乙获胜的概率，从而做出判断．
(1)
解：从袋子中的四个球中随机摸出一球，“摸中标号为3的球”的概率是，
故答案为：；
(2)
解：列表如下：
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 1 2
2 2 1 0 1
3 3 2 1 0
由表知，共有16种等可能结果，其中摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1的有10种结果，
∴甲获胜的概率为，
则乙获胜的概率为1﹣＝，
由≠，
所以此游戏不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游 ( http: / / www.21cnjy.com )戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（2022·山东青岛·二模）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有除标号外完全相同的小球，其中甲口袋中的3个小球上分别标有数字1，2，3，乙口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，先从甲袋中随机摸出一个小球，记录数字为，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录数字为．如果则小刚获胜，否则小明获胜，游戏公平吗？请说明理由．
【答案】游戏公平，理由见解析
【解析】
【分析】
首先列出表格，可得共有12种等可能的结果，再根据满足的有6种，不满足的有6种，据此即可解答．
【详解】
解：游戏公平；
理由如下：
列表如下：
由表可知共有12种等可能结果，其中满足的有6种，不满足的有6种，
故P(小刚胜)，P(小明胜)，
因为，
所以游戏公平．
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
【点睛】
本题考查了利用列表法求概率，判定游戏的公平性，准确、完整地列出表格是解决本题的关键．
26．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为，记．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标．
(2)李老师为甲、乙两人设计了一个游戏：当S为偶数时甲获胜，S为奇数时乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)公平，见解析
【解析】
【分析】
（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（2）求出游戏双方获胜的概率，然后比较是否相等即可得到答案.
(1)
解：列表分析如下，
1 2 3 4
2
4
6
所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性都相同．
(2)
解：这个游戏公平，理由如下：
∵S可能出现的结果有3、5、7、4、6、8、5、7、9、6、8、10共12种，其中偶数有6个，奇数有6个，
∴P（S为偶数），P（S为奇数）．
∵P（S为偶数）= P（S为奇数），
∴这个游戏是公平的．
【点睛】
此题主要考查了用列表或画树状图的方法求概率、 ( http: / / www.21cnjy.com )游戏公平性的判断.解题的关键是明确列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平.
27．（2022·山东青岛·二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )可以自由转动的均匀的两个转盘，被它的半径分成标有数字的扇形区域，扇形圆心角的度数如图所示，小亮和小颖做游戏，规则如下：同时转动这两个转盘，待转盘自动停止后，指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两个转盘的指针均指向扇形的内部为止）．若两个转盘所转得的数字乘积为1，则小亮赢，否则小颖赢．这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】不公平，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意画树状图，表示出所有等可能的结 ( http: / / www.21cnjy.com )果数，从中找出小亮赢的结果和小颖赢的结果，根据概率公式分别求出小亮和小颖赢率，然后比较，即可得出结论．
【详解】
解：这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵共有9种等可能的结果，小亮赢的结果有5种，小颖赢的结果有4种，
∴小亮赢的概率为，小颖赢的概率为 ，
∵，
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和游戏的公平性，根据题意列表或画出树状图是解题的关键．
28．（2022·江苏苏州·一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是_____；
(2)若冬奥会会徽邮票记作A邮票， ( http: / / www.21cnjy.com )吉祥物冰墩墩邮票记作B邮票，吉祥物雪容融邮票记作C邮票．小明和小亮制定游戏规则：随机从中抽取1张邮票，不放回，再抽出第2张邮票，若抽到A邮票，则小明胜：若摸到两张相同的邮票，则小亮胜：其余情况视为平局，游戏重新进行．请用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)此游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有的可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
(1)
小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是．
(2)
此游戏不公平，理由如下：
列表如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由表可知，共有20种可能结果，其中摸到A邮票的有8种，摸到两种相同邮票的可能有4种，所以小亮获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∵，
∴此游戏不公平．
【点睛】
此题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要计算每个事件的概率，然后比较概率大小，概率相等就公平，否则就不公平．
29．（2022·福建· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级专题练习）如图，现有一个可以自由转动的圆形转盘，被分成6个面积相等的扇形区域，指针的位置固定．转盘游戏规则如下：花费5元可以随意转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，就按照这个区域所示的数字相应地顺时针跳几格，然后按照如表格所示的说明确定奖金数额．
例如，当指针指向区域“2”时，就向前跳两格到区域“4”．按奖金说明，区域“4”所示的奖金为5元，就可得奖金5元．
( http: / / www.21cnjy.com / )
区域 1 2 3 4 5 6
奖金 3元 1元 20元 5元 10元 2元
(1)在一次转盘游戏中，求获得2元奖金的概率；
(2)请你用概率知识判断这个转盘游戏是否公平？若不公平，请改变转盘每个区域对应的奖金数额，使其公平．
【答案】(1)
(2)不公平，修改转盘每个区域对应的奖金数额见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列表，运用概率公式直接求出获得2元奖金的概率即可；
（2）计算出平均收益与5元相比较，即可得出这个转盘游戏是否公平，修改奖金总额为30元即可．
(1)
转盤转到各格的概率相等，其对应的领奖数字与领奖金额如表：
指针区域 领奖数字 金额
1 2 1
2 4 5
3 6 2
4 2 1
5 4 5
6 6 2
所以，获得2元奖金的数字是6，共有2个，
所以，获得2元奖金的概率为；
(2)
∵转一次转盘的平均收益为：（元）（元）
∴这个转盘游戏对游戏者不公平，
更改转盘每个区域对应的奖金数额如下表，
区域 1 2 3 4 5 6
奖金 3元 3元 20元 8元 10元 4元
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．注意尽管指针转到各区域的概率相等，但奖金数额不相等．
30．（2022·山东菏泽·九年级期末）有 ( http: / / www.21cnjy.com )2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
(1)请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．
(2)你认为这个游戏公平吗？为什么？
【答案】(1)
(2)游戏是不公平的，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据列表法计算概率的性质分析，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据概率的性质判断，即可得到答案．
(1)
列表如下：
1 2 3 4
5 5 10 15 20
6 6 12 18 24
7 7 14 21 28
8 8 16 24 32
∴该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，
∴甲获胜的概率为；
(2)
∵甲获胜的概率，
∴乙获胜的概率，
∵，
∴游戏对双方是不公平的．
【点睛】
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握列表法求概率的性质，从而完成求解．
31．（2022·云南临沧·一模）小明和小红两人玩摸球游戏，在不透明的布袋A、B中分别放有三个标有数字的小球，这些小球除数字外完全相同，布袋A中的小球上的数字分别是－1、2、3，布袋B中的小球上的数字分别是1、2、－3，小明从A口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为a，小红从布袋B中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为b．若，则小明获胜；若，则小红获胜．21教育网
(1)用列表或画树状图的方法，表示出（a，b）所有可能出现的结果；
(2)你认为这个游戏对小明，小红两人公平吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用列表法列出所有等可能结果；
（2）分别计算出两人的获胜概率，进行比较即可得出答案．
(1)
解：根据题意列表如下：
1 2 －3
（－1，1） （－1，2） （－1，－3）
（2，1） （2，2） （2，－3）
（3，1） （3，2） （3，－3）
由表格可知，数对（a，b）所有可能出现的结果共有9种，每种结果出现的可能性相同；
(2)
游戏不公平，理由如下：
满足的结果有（－1，－3），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），共5种，
∴，
满足的结果有（－1，1），（－1，2），（2，－3），（3，－3）共4种，
∴，
∴，小明获胜的概率大，游戏不公平．
【点睛】
本题考查了树状图法与列表法求概率，概率=所求情况数与总情况数之比，判断游戏是否公平就是判断每个人获胜的概率是否相同．21·cn·jy·com
32．（2022·陕西师大 ( http: / / www.21cnjy.com )附中九年级阶段练习）爸爸寄回一枚北京奥运会纪念币，小颖和弟弟小明都想要，小颖提议玩“配紫色”游戏，赢的人得到纪念币，规则如下：如图，A、B两个可以自由转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．若配成紫色，则小颖赢，否则小明赢．这个游戏对双方公中吗？请说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】游戏不公平，若两次转出的全是红色，小颖赢；若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配成紫色，两个转盘重新转21*cnjy*com
【解析】
【分析】
根据题意画树状图列出所有等可能 ( http: / / www.21cnjy.com )结果，找出配成紫色的情况数，再根据概率公式求出小颖和小明赢的概率，然后进行比较，得出游戏不公平，从而修改规则，即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
则小颖赢的概率是，小明赢的概率是，
∵＞，
∴游戏不公平，
若两次转出的全是红色，小颖赢；若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配成紫色，两个转盘重新转．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断． ( http: / / www.21cnjy.com )判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
33．（2022·全国·九年级专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）为增强教育服务能力，持续提升市民幸福指数，某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展延时服务，提供了声乐，体锻，科创，书法四种课程．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪类课程”的问卷调查（要求必须选择且只能选择一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
课程 人数
声乐 30
体锻 a
科创 36
书法 b
(1)表中a＝ ，b＝ ；
(2)扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为 ；
(3)由于学校条件限制，“科创”课程仅 ( http: / / www.21cnjy.com )剩下一个名额，而学生小明和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】(1)42，12
(2)
(3)小华的概率，小亮的概率，这个规则对双方不公平
【解析】
【分析】
（1）先利用“声乐”所对的圆心角是，条形统计图中参加“声乐”人数为30人求出所抽查的总人数，再根据“体锻”所占的百分比来求出a，用总人数减去其它三个课程的人数就可以求出b；
（2）用 乘“书法”所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等 ( http: / / www.21cnjy.com )可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
(1)
解：从扇形统计图中可知，“声乐”所对的圆心角是，条形统计图中参加“声乐”人数为30人，
所以总人数为：（人），
在扇形统计图中“体锻”所占的百分比为，
所以人数（人），
所以（人）．
故答案为：42，12；
(2)
解：由（1）可知，参加“书法”是12人，被抽查人数为120人，
所以扇形统计图中“书法”所对的圆心角度数为．
故答案为：．
(3)
解：根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种，
则名额给小华的概率是，名额给小亮的概率是，
∵，
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断 ( http: / / www.21cnjy.com )游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
34．（2022·辽宁· ( http: / / www.21cnjy.com )沈阳市虹桥中学溪湖分校一模）小明、小颖和小凡都想周末看电影，但只有一张电影票．三人通过做游戏确定，谁获胜谁去．游戏规则如下：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，若两枚都是正面朝上，则小明获胜：若两枚都是反面朝上，则小颖获胜：若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明你的理由．
【答案】不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】
利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可．
【详解】
解：不公平，
理由：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )，
所有的可能为；（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
故小明获胜的概率为：，
小颖获胜的概率为：，
小凡获胜的概率为：，
故此游戏小凡获胜概率大，不公平．
【点睛】
本题主要考查了游戏公平性，正确利用树状图法求概率是解题关键．
35．（2022·四川德阳·二模）我区 ( http: / / www.21cnjy.com )某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“器乐，体锻，科创，书法，美术，课本剧，棋类……”等课程供学生自由选择，半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)表示等级C的扇形的圆心角是______度；
(3)由于学校条件限制，“ ( http: / / www.21cnjy.com )科创”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】(1)见解析
(2)60
(3)，，不公平，见解析
【解析】
【分析】
（1）由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去A、C、D等级人数求出B等级人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以等级C所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情 ( http: / / www.21cnjy.com )况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
(1)
调查的总人数是：15÷25%＝60（人），
B等级的人数有：60 15 10 10＝25（人），
补全统计图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
等级C的扇形的圆心角是：360°×
故答案为：60
(3)
画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
一共有16种等可能结果，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种．
故，．
∵
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇 ( http: / / www.21cnjy.com )形统计图信息关联，求扇形统计图圆心角度数，画树状图法求概率，游戏公平性．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
36．（2022·陕西宝鸡·一模）一个 ( http: / / www.21cnjy.com )不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“校”、“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
(1)小明和小军做摸球游戏，若从中任摸一个球 ( http: / / www.21cnjy.com )，球上的汉字刚好是“书”，则小明胜，否则小军胜，这个游戏对双方______（填“公平”或“不公平”）；
(2)从中任摸一球，不放回，再从中任摸一球，请用树状图或列表的方法，求摸出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
【答案】(1)不公平
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用概率公式分别求出小明胜和小军胜的概率，然后比较即可；
（2）先画出树状图确定所有等可能的结果数，再摸出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果数，然后再根据概率公式求解即可．
(1)
解：从中任摸一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为，则小明胜的概率为，小军胜的概率为，
由于＞，则这个游戏双方不公平，
故答案为不公平；
(2)
解：画树状图为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能结果，即 ( http: / / www.21cnjy.com )（书，香）（书，校）（书，园）（香，书）（香，校）（香，园）（校，书）（校，香）（校，园）（园，书）（园，香）（园，校）．
其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果数有2种，即（书，香）（香，书）．
∴．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性、列树状图法求概率等 ( http: / / www.21cnjy.com )知识点，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
37．（2022·山东青岛· ( http: / / www.21cnjy.com )一模）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1、2、4的三个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和为奇数，则小颖胜；若两次数字之和为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏对双方是否公平？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】不公平，理由见解析
【解析】
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出和为奇数与和为偶数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【详解】
解：根据题意可列表如下：
和 1 2 4
1 2 3 5
2 3 4 6
4 5 6 8
由表格可知，共有9种等可能结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果．
∴，，
∴游戏对双方不公平．
【点睛】
此题考查了游戏公平性，列表法或画树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．2-1-c-n-j-y
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