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专题45由频率估计概率
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
2．（2022·全国·九年级课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表所示，根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
3．（2022·全国·九年级课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（ ）www.21-cn-jy.com
随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000
合格的零件个数 18 46 91 450 900
零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
4．（2022·全国·九年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．太阳从东方升起是必然事件
B．不可能事件发生的概率为0
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
5．（2022·辽宁丹东·一模）为 ( http: / / www.21cnjy.com )了解我市某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
抽查车辆数 200 400 800 1500 2400 4000
能礼让的驾驶员人数 186 376 761 1438 2280 3810
能礼让的频率 0.93 0.94 0.95 0.96 0.95 0.95
A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96
6．（2022·全国·九年级课时 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）21·cn·jy·com
A．6张 B．8张 C．10张 D．4张
7．（2022·江苏徐州·一模）在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2022·云南昆明·一模）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 1000
投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 502
投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 0.50
由此估计这名球员在罚球线上投中篮的概率约是（ ）（精确到0.01）
A．0.50 B．0.51 C．0.49 D．0.52
9．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级课时练习）不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有( )21*cnjy*com
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
11．（2022·河南洛阳·九年级期末）某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P＝，下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于
B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在附近
C．多抛掷一次，P更接近
D．硬币正面朝上的概率是
12．（2022·全国·九年级课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
13．（2022·全国·九年级课时练习）某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一 ( http: / / www.21cnjy.com )只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内
14．（2022·山东潍坊 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）数学兴趣小组在做“用频率估计概率”的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．从一副扑克牌中随机抽取一张，摸出“红桃”的概率
B．从装有1个白球和2个黑球的不透明袋子中随机摸出一球，摸出黑球的概率
C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
D．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现正面的概率
15．（2022·全国·九年级课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
16．（2022·安徽·合肥市第 ( http: / / www.21cnjy.com )四十五中学三模）在一个不透明的口袋中，放置了红球，白球共5个，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了红球出现的频率如下图，现从中无放回的抽取两个球．抽到一红一白的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
17．（2022·江苏宿迁·二模）某学 ( http: / / www.21cnjy.com )习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
18．（2022·山东山东·二模） ( http: / / www.21cnjy.com )在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
19．（2022·辽宁沈阳·二模） ( http: / / www.21cnjy.com )一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球．
A．12 B．8 C．6 D．4
20．（2022·贵州贵阳·一模）如图，小红 ( http: / / www.21cnjy.com )在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
21．（2022·江苏徐州·二模） ( http: / / www.21cnjy.com )一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6 B．14 C．5 D．20
22．（2022·贵州黔南· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
23．（2022·河北邢台·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．牌面数字是2的倍数 B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数 D．牌面数字是5的倍数
24．（2022·浙江宁波·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
25．（2022·辽宁沈阳· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333
摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1
26．（2022·山东烟台·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ）
A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚
27．（2022·河南南阳·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是
28．（2022·广西南宁·九年级期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
29．（2022·福建龙岩·一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·云南红河·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6，那么，掷一次该骰子，“朝上一面为1点”的概率为______．21教育名师原创作品
31．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级课时练习）在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共500个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.1，则盒子中白球有______个．
32．（2022·辽宁大连·九年级期末）从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 95 358 744 893 1804 4505
发芽频率 0.950 0.895 0.930 0.893 0.902 0.901
据此可知，该种子发芽的概率为 _____（精确到0.1）．
33．（2022·吉林通化·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：21*cnjy*com
摸球的次数n 500 1000 2000 2500 3000 5000
摸到红球的次数m 351 722 1486 1870 2262 3760
摸到红球的频率 0.702 0.722 0.743 0.748 0.754 0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为______．（精确到0.01）
34．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级专题练习）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
35．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院模拟预测）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904
合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________．
36．（2022·辽宁大连·九年级期末）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 100 200 500 1000
击中靶心次数m 9 86 168 426 849
击中靶心频率m/n 0.9 0.86 0.84 0.852 0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．
37．（2022·山东德 ( http: / / www.21cnjy.com )州·九年级期末）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为_________．21cnjy.com
38．（2022·甘肃兰 ( http: / / www.21cnjy.com )州·中考真题）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
39．（2022·全国·九年级课时练习）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽实验，有关数据如下：【出处：21教育名师】
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 83 298 652 791 1606 4005
发芽频率 0.830 0.745 0.815 0.791 0.803 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为________（精确到0.1）．
40．（2022·河北唐山·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球可能是_______个．
41．（2022·全国·九年级专题 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
42．（2022·全国·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除颜色外其他均相同，其中有4个红球，每次摸球前先将盒子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是________．
三、解答题
43．（2022·福建省福州 ( http: / / www.21cnjy.com )第八中学九年级期中）福州某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同，根据往年的销售经验，每天需求量与当天最亮气温（单位：℃）有关，为了确定2022年六月份的酸奶订购计划，对2019年、2020年、2021年的六月份（共90天）的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析如下：
a．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温t（单位：℃）
酸奶需求量（单位：瓶/天） 300 400 600
b．2019年6月最高气温数据的频数分布统计表
分组 频数
3
6
14
7
合计 30
c．2020年6月最高气温数据的频数分布直方图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
d．2021年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：
25 26 28 29 29 30 31 31 31 31 32 32 32 32 32 3221教育网
33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36
根据以上信息，回答下列问题．
(1)2021年6月最高气温数据的众数为 ，中位数为 ；
(2)估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为 ；
(3)已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．
①2021年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，求该月这种酸奶的利润；
②根据以上信息，预估2022年6月这种酸奶订购的进货量较为合理的为 ．（填A或B）
A550瓶/天 B380瓶/天
44．（2022·甘肃平凉·二模）一只不透明 ( http: / / www.21cnjy.com )袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常 ( http: / / www.21cnjy.com )数附近摆动，这个常数是__________（精确到0.01），由此估出红球有__________个．【版权所有：21教育】
(2)现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率．
45．（2022·全国·九年级单元测试）对某篮球运动员进行3分球投篮测试的结果如下表：
投篮次数n 10 50 100 150 200
命中次数m 4 25 65 90 120
命中率 0.4 0.5 0.65
(1)将表格补充完整；
(2)这个运动员投篮命中的概率约是______；
(3)估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分．
46．（2022·广东广州·一模）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n 10 10 10 10 10 150 300 500
投中次数m 3 6 5 6 7 78 152 251
(1)在这个记录表中，投篮次数为10次时，投中次数的众数是______，中位数是______；
(2)在这个记录表中，投篮次数为500次时，投中的频率是______；
(3)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少？
47．（2022·甘肃·临泽二中一模）在不透明的口袋中装有个白色、个红色和若干个黄色的乒乓球除颜外其余都相同，小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤，下表是实验的部分数据：
摸球次数 80 1800 6000 1000- 1500
摸到白球次數 21 46 149 251 3712
摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.247
(1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是______ 精确到，黄球有______ 个；
(2)如果从上述口袋中，同时摸出个球，求结果是一红一黄的概率．
48．（2022·河南信阳·九年级期末）一 ( http: / / www.21cnjy.com )只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：【来源：21·世纪·教育·网】
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.600 0.100 0.250 0.340 0.325 0.335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．2-1-c-n-j-y
(2)现从该袋中摸出2球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1白球，1红球的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
49．（2022·四川·广元市利州区万达实 ( http: / / www.21cnjy.com )验学校模拟预测）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
(1)请你估计箱子里白色小球的个数；
(2)从箱子中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球的颜色不同的概率P1；
(3)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱 ( http: / / www.21cnjy.com )子里，摇匀后，再摸出1个小球，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论．
50．（2022·辽宁大连·二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200
摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25
(1)只摸一次，能摸到黑球的概率是多少？
(2)估算口袋中白球的个数；
(3)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．
51．（2022·福建省厦门第六中学二模） ( http: / / www.21cnjy.com )小龙虾是淡水经济虾类，因肉味鲜美广受人们欢迎，近年来在我国已经成为重要经济养殖品种．某养殖户投入50000元，将池塘改造成一个养殖区，又购买了10000元的设备，将养殖区划分了6个养殖箱，计划在每个养殖箱投入250元，在每个养殖箱中投入小龙虾苗30kg进行养殖．经过3个月的养殖，这些小龙虾苗达到了商品虾的规格，可以进入市场售卖．为了解某养殖箱小龙虾的具体生长情况，厦门中学生助手从该养殖箱中随机捕捉200尾，下面是部分信息：
①小龙虾长度频数分布直方图，如图所示；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②当8≤a＜9时测得小龙虾长度的数据如下；
8.67 8.30 8.37 8.54 8.43 8.65 8.05 8.52 8.25 8.94 8.05
8.22 8.33 8.24 8.01 8.10 8.61 8.93 8.18 8.55 8.91 8.68
8.11 8.88 8.14 8.40 8.11 8.21 8.34 8.16 8.74 8.50 8.39
8.56 8.51 8.89 8.44 8.54 8.31 8.02 8.87 8.02 8.14 8.10
③记该养殖池内小龙虾的长度为a，5≤a≤12，经过研究发现，小龙虾的长度、等级与售价（单位：元/kg）之间的关系如下表（0.8≤n≤2）：www-2-1-cnjy-com
长度a（cm） 5≤a＜8 8≤a＜10 10≤a≤12
等级 中级 高级 特级
售价（元/kg） 40－1.25n 44－1.5n2 11.875n＋35.5
④每箱小龙虾的成活率为0.8，每个月的养殖成本为1000元；
⑤每尾商品虾的质量是每尾小龙虾苗质量的10倍；
⑥小龙虾的消费旺季是每年的5~9月份，此时小龙虾的平均售价达到最大值．
根据上面提供的信息，回答问题：
(1)捕捉的200只小龙虾的长度的中位数是_________cm；
(2)从200只小龙虾中随机捕捉一只，该小龙虾的等级是特级的概率是________；
(3)假设养殖户从今年3月 ( http: / / www.21cnjy.com )初开始投入养殖，5月底将养殖的小龙虾全部售出，6月初重新投入虾苗养殖，8月底再全部卖出，…，每个养殖箱小龙虾的利润相同，在不考虑维修成本的前提下，试问该养殖户最快从第几个月开始才能盈利？
52．（2022·广西·南宁二中三模）202 ( http: / / www.21cnjy.com )1年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取100名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．
调查问卷1．近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2．影响你睡眠时间的主要原因是______（单选）．A．学习效率低 B．校外学习任务重C．校内课业负担重 D．其他
( http: / / www.21cnjy.com / )
平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①；②；③；④；⑤．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第_________（填序号）组；
(2)随机调查一名学生，该学生睡眠时间达到9小时的概率是多少？
(3)若全校有1000名学生，请估计该校由于“学习效率低”而睡眠时间不足9小时的人数；
(4)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
53．（2022·福建厦门·模拟预测）某 ( http: / / www.21cnjy.com )水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．销售人员先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中．
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
(1)根据表中的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是______；（结果保留小数点后一位）
(2)在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘 ( http: / / www.21cnjy.com )的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
54．（2022·陕西渭南·一模）4张背面相同的卡片正面上分别写有数字0、1、－2、3，将卡片的背面朝上洗匀．
(1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片20次，其中有6次抽到数字0，求这20次中抽到数字0的频率；
(2)天天设计了如下游戏规 ( http: / / www.21cnjy.com )则：从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来，不放回，再从余—下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来，当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．天天设计的游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由．
55．（2022·福建宁德·二模）为了加 ( http: / / www.21cnjy.com )强疫情防控，某校从4月初开始启动闭环管理，要求所有的学生午餐统一在学校食堂就餐．为了加强对食堂的监控，有效保证饮食质量，学校随机抽取部分学生开展满意度问卷调查，学生根据实际情况给食堂评分．将本次调查结果制成如下统计表：
评分/分 4 5 6 7 8 9 10
人数/人 6 18 36 46 a 28 4
比率 3% 9% 18% 23% 31% b 2%
(1)本次问卷调查，学生所评分数的众数是______分；
(2)根据本次调查结果，若从本校随机抽选一名学生给食堂评分，估计他的评分不低于8分的概率是多少？
(3)学校决定：本次调查综合得分8 ( http: / / www.21cnjy.com )~10分为“满意”，给予食堂通报表扬；6~8分为“比较满意”，提醒食堂进行改善；0~6分为“不满意”，责令食堂限时整改．根据本次调查结果，判断学校可能对食堂采取何种措施，说明理由．（这里的0~6表示大于等于0同时小于6）
56．（2022·吉林长春·模拟预测）某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬币试验，试验数据如下：
抛掷次数 50 100 200 300 500 800 1000 1500
“正面向上”的频数 26 53 94 142 242 395 498 753
“正面向上”的频率 0.520 0.530 0.470 0.473 0.484 0.494 0.498 0.502
(1)根据上表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为_________（保留两位小数）．
(2)小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率．2·1·c·n·j·y
57．（2022·江苏·滨海县第一初级中学三模）圆周率是无限不循环小数，中国古代数学家对圆周率的研究做出了重大贡献．历史上，我国数学家张衡、刘徽、祖冲之都对有过深入研究．有研究发现：随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．21·世纪*教育网
(1)从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为_______；
(2)某校进行数学实验室的环境布置，需 ( http: / / www.21cnjy.com )要两位数学家的画像，现从以上3幅数学家的画像中随机选取2幅，求其中有1幅是祖冲之的概率（用画树状图或列表的方法）．
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绝密★启用前
专题45由频率估计概率
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
【答案】D
【解析】
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计值，从而可得答案．
【详解】
解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近，
故选：D．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
2．（2022·全国·九年级课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表所示，根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【解析】
【分析】
利用频率估计概率即可．
【详解】
解：根据表格可知，经过多次实验后，“射中九环以上”的频率稳定在0.82附近，
故这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是0.82，
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用频率估计事件的概率，正确理解频率与概率的关系是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（ ）
随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000
合格的零件个数 18 46 91 450 900
零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【解析】
【分析】
用“实验频率”的稳定值估计“概率”，从而得到合格零件的概率；
【详解】
解：∵随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9，
∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9．
故选：A．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，掌握“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解本题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．太阳从东方升起是必然事件
B．不可能事件发生的概率为0
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值
D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
【答案】D
【解析】
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件、概率的定义进行判断．
【详解】
解：A．大阳从东方升起是必然事件，选项说法正确，不符合题意；
B．不可能事件发生的概率为0，选项说法正确，不符合题意；
C．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，选项说法正确，不符合题意；
D．某种彩票中奖是随机事件，买100张该种彩票不一定会中奖，选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率可以估计概率．
5．（2022·辽宁丹东·一模） ( http: / / www.21cnjy.com )为了解我市某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率为（ ）
抽查车辆数 200 400 800 1500 2400 4000
能礼让的驾驶员人数 186 376 761 1438 2280 3810
能礼让的频率 0.93 0.94 0.95 0.96 0.95 0.95
A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96
【答案】C
【解析】
【分析】
根据6周调查从200辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.95，从而求得答案．
【详解】
解：∵抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.95，
∴可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.95．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率： ( http: / / www.21cnjy.com )大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（2022·全国·九年级课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．6张 B．8张 C．10张 D．4张
【答案】A
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：一是全部情况的总数，二是符合条件的情况数目，求解即可；
【详解】
解：设木箱中蓝色卡片x个，根据题意可得，
=0.6，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有6张；
故答案为：A．
【点睛】
此题考查了用频率估计概率，解题的关键是准确计算．
7．（2022·江苏徐州·一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）在一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】
解：设盒子中有白球个，
由题意可得：，
解得：，
故选C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
8．（2022·云南昆明·一模）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 1000
投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 502
投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 0.50
由此估计这名球员在罚球线上投中篮的概率约是（ ）（精确到0.01）A．0.50 B．0.51 C．0.49 D．0.52
【答案】A
【解析】
【分析】
根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【详解】
解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.5．
故选：A．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
9．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算即可；
【详解】
解：由摸到白球的频率稳定在0.2，估计摸到白球的概率为0.2，
，
；
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时 ( http: / / www.21cnjy.com )，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
10．（2022·全国·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有( )
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
【答案】D
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】
解：设白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴估计袋子中的白球大约有30个．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
11．（2022·河南洛阳·九年级期末）某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P＝，下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于
B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在附近
C．多抛掷一次，P更接近
D．硬币正面朝上的概率是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据频率估计概率分别进行判断．
【详解】
解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率P＝，），则抛掷次数逐渐增加时，p稳定在左右．
故选B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．（2022·全国·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级课时练习）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【解析】
【分析】
设袋中绿球有x个，根据经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2,估计摸到绿球的频率为0.2，从而确定答案．
【详解】
】解：大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率，
∵经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，
∴摸到绿球的概率约为0.2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率， ( http: / / www.21cnjy.com )大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（2022·全国·九年级课时练习）某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的 ( http: / / www.21cnjy.com )一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ）A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动21教育网
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内
【答案】A
【解析】
【分析】
根据频数和频率的关系进行判断即可
【详解】
A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动，故此选项正确；
B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，不一定是优等品，故此选项错误；
C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有不一定为47只，故此选项错误；
D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率不一定在0.940~0.941的范围内，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的知识是解题的关键．
14．（2022·山东潍坊·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）数学兴趣小组在做“用频率估计概率”的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．从一副扑克牌中随机抽取一张，摸出“红桃”的概率
B．从装有1个白球和2个黑球的不透明袋子中随机摸出一球，摸出黑球的概率
C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
D．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现正面的概率
【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计图可知，实验结果在0.33左右浮动，即其概率P≈0.33，计算四个选项概率，约为0.33者即为正确答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
A、从一副扑克牌中随机抽取一张，摸出“红桃”的概率为，不符合题意；
B、摸出黑球的概率，不符合题意；
C、任意写一个正整数，它能被3整除的概率为，符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现正面的概率为，不符合题意．
故选:C
【点睛】
此题考查了折线统计图与利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com )，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到知识点为频率=所求情况数与总情况数之比，熟练计算概率是解题关键．
15．（2022·全国·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级课时练习）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）21·世纪*教育网
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，得出摸到红球的概率为0.2，然后根据概率公式，列出方程求解即可．
【详解】
解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，
∴摸到红球的概率为0.2，
∴，
解得，a=20，
经检验a=20是原方程的解，
故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，解题的关键是根据红球的频率得到摸到红球的概率．
16．（2022·安徽·合肥市 ( http: / / www.21cnjy.com )第四十五中学三模）在一个不透明的口袋中，放置了红球，白球共5个，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了红球出现的频率如下图，现从中无放回的抽取两个球．抽到一红一白的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据红球出现的频率，求出红球和白球的个数，然后画出树状图，根据概率公式计算即可．
【详解】
解：∵根据红球出现的频率图象可知，从5个小球中摸到红球的概率为，
∴口袋中有红球（个），白球个数为：（个），
根据题意画出树状图，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵共有20种等可能的情况，其中抽到一红一白的情况数有6种情况，
∴抽到一红一白的概率为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率，画树状图或列表格求概率，根据题意求出红球和白球的个数，列出表格或画出树状图，是解题的关键．
17．（2022·江苏宿迁·二模）某学习小 ( http: / / www.21cnjy.com )组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】C
【解析】
【分析】
根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】
解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量 ( http: / / www.21cnjy.com )重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21cnjy.com
18．（2022·山东山东· ( http: / / www.21cnjy.com )二模）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
利用频率估计概率可估计黑球的概率，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】
设袋中红球的个数是个，由题意得：
，
解得，
经检验，是所列方程的解，
所以，袋中红球有6个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率： ( http: / / www.21cnjy.com )大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
19．（2022·辽宁沈阳·二模）一个口袋中 ( http: / / www.21cnjy.com )有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球．
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【详解】
解：估计这个口袋中白球个数约为（个），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查用样本估计总体，从一个总 ( http: / / www.21cnjy.com )体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
20．（2022·贵州贵阳·一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先假设老虎图案的面积为，根据几何概率知识求解老虎图案占长方形面积的大小；再根据实验数据，用频率估计概率，综合以上列方程求解即可．
【详解】
解：设老虎图案的面积为，由已知条件，可知长方形纸张的面积为，
根据几何概率公式，小球落在老虎图案上的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率的估计值，
小球落在老虎图案上的概率大约为0.35，
所以，解得．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了几何概率以及用频率估计概率的知识，解题关键是在于理解题意，能从复杂的数据中找到所需要的信息．
21．（2022·江苏徐州·二模） ( http: / / www.21cnjy.com )一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6 B．14 C．5 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据白球的概率可估计红球的概率，即可求解．
【详解】
解：红球的个数为：（个），
故选：B．
【点睛】
本题考查用频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率稳定在概率附近．
22．（2022·贵州黔南·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；【来源：21cnj*y.co*m】
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】
解：①当抛掷次数是1000时，“ ( http: / / www.21cnjy.com )正面向上”的次数是4979，“正面向上”的频率是0.4979，但“正面向上”的概率不一定是0.4979，故本小题推断不合理；
②当抛掷次数是1200时，“正面向上 ( http: / / www.21cnjy.com )”的次数是6019，“正面向上”的频率是0.5016，但“正面向上”的概率不一定是0.5016，故本小题推断不合理；
③随着试验次数的增加，“正面 ( http: / / www.21cnjy.com )向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005，故本小题推断合理；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率不一定是0.5005，故本小题推断不合理；
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时 ( http: / / www.21cnjy.com )，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（2022·河北邢台·九年级期末）嘉淇 ( http: / / www.21cnjy.com )在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．牌面数字是2的倍数 B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数 D．牌面数字是5的倍数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据统计图可知，试验结果在附近波动,即其概率P≈，计算四个选项的概率约为者即为正确答案．
【详解】
解：A、牌面数字是2的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
B、牌面数字是3的倍数的概率是，故本选项符合题意；
C、牌面数字是4的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
D、牌面数字是5的倍数的概率为0，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟记频率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
24．（2022·浙江宁波·九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】
解：由题意可得，
，
解得，a=15．
经检验，a=15是原方程的解
故选：C．
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
25．（2022·辽宁沈阳·九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333
摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
该学习小组发现，摸到黑球的频 ( http: / / www.21cnjy.com )率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，据此知摸出黑球的概率为0.667，继而得摸出绿球的概率为0.333，求出袋子中球的总个数即可得出答案．
【详解】
解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，
估计摸出黑球的概率为0.667，
则摸出绿球的概率为，
袋子中球的总个数为，
由此估出黑球个数为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率， ( http: / / www.21cnjy.com )解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
26．（2022·山东烟台· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3
根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ）
A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数．
【详解】
解：根据试验提供的数据得出：
黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100＝20%，
所以白棋子比例为：1﹣20%＝80%，
设白棋子有x枚，由题意，
得＝80%，
x＝0.8（x+10），
x＝0.8x+8，
0.2x＝8，
所以x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
即袋中的白棋子数量约40颗．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率以及解分式方程，根据试验次数得出黑棋子的比例，从而得出白棋子个数是解决问题的关键．
27．（2022·河南南阳·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有个红球和个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．21·cn·jy·com
【详解】
解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是 “红色的”的概率是＞0.17，故此选项不符合要求；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝＝0.5＞0.17，故此选项不符合要求；2·1·c·n·j·y
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是≈0.67＞0.17，故此选项不符合要求；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝≈0.17，故此选项符合要求．
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量 ( http: / / www.21cnjy.com )反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
28．（2022·广西南宁·九年级期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【解析】
【分析】
根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解】
解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重 ( http: / / www.21cnjy.com )复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
29．（2022·福建龙岩·一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ( http: / / www.21cnjy.com )，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】
假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查几何概率以及用频率估计概 ( http: / / www.21cnjy.com )率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
第II卷（非选择题）
二、填空题
30．（2022·云南红河·九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6，那么，掷一次该骰子，“朝上一面为1点”的概率为______．
【答案】0.6##
【解析】
【分析】
根据频率估计概率求解即可．
【详解】
解：∵掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6，
∴掷一次该骰子，“朝上一面为1点”的概率为0.6，
故答案为：0.6．
【点睛】
本题考查频率估计概率，理解频率与概率的关系是解答的关键．
31．（2022·全国·九年级课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共500个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.1，则盒子中白球有______个．
【答案】50
【解析】
【分析】
大量重复实验时，事件发生的频率在 ( http: / / www.21cnjy.com )某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】
解：因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.1，
所以摸到白球的概率约为0.1，
所以白球有500×0.1=50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
32．（2022·辽宁大连·九年级期末）从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 95 358 744 893 1804 4505
发芽频率 0.950 0.895 0.930 0.893 0.902 0.901
据此可知，该种子发芽的概率为 _____（精确到0.1）．
【答案】
【解析】
【分析】
仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．
【详解】
解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该小麦种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
33．（2022·吉林通化·九年级期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：
摸球的次数n 500 1000 2000 2500 3000 5000
摸到红球的次数m 351 722 1486 1870 2262 3760
摸到红球的频率 0.702 0.722 0.743 0.748 0.754 0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为______．（精确到0.01）
【答案】0.75
【解析】
【分析】
根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】
解：根据上表知，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率约为0.75，
所以估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为0.75，
故答案为：0.75．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验 ( http: / / www.21cnjy.com )时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
34．（2022·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )九年级专题练习）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】
用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】
解：估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时， ( http: / / www.21cnjy.com )事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
35．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院模拟预测）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904
合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________．
【答案】0.9
【解析】
【分析】
根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．
【详解】
解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9，
∴恰好是合格产品的概率约是0.9．
故答案为：0.9
【点睛】
本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想．
36．（2022·辽宁大连·九年级期末）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 100 200 500 1000
击中靶心次数m 9 86 168 426 849
击中靶心频率m/n 0.9 0.86 0.84 0.852 0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．
【答案】0.85
【解析】
【分析】
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】
解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知随着射击次数的增多,频率都在0.85上下波动，
所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，
故答案为：0.85．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
37．（2022·山东德州·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为_________．
【答案】20
【解析】
【分析】
设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】
解：设红球个数为x个， 根据题意得：，
解得：x=20， 经检验x=20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计 ( http: / / www.21cnjy.com )概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
38．（2022·甘肃兰州 ( http: / / www.21cnjy.com )·中考真题）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】
大量重复试验时，事件发生的频率 ( http: / / www.21cnjy.com )在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】
∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】
本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
39．（2022·全国·九年级课时练习）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽实验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 83 298 652 791 1606 4005
发芽频率 0.830 0.745 0.815 0.791 0.803 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为________（精确到0.1）．
【答案】0.8
【解析】
【分析】
6批次种子粒数从100粒增加到5000粒 ( http: / / www.21cnjy.com )时，种子发芽的频率趋近于0.801，所以估计种子发芽的概率为0.801，再精确到0.1，即可得出答案．2-1-c-n-j-y
【详解】
根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，
故可以估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8，
故答案为：0.8．
【点睛】
本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
40．（2022·河北唐山·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球可能是_______个．
【答案】12
【解析】
【分析】
先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
【详解】
解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，
∴摸到白球的频率为1-15%-55%=30%，
故口袋中白色球的个数可能是40×30%=12个．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
41．（2022·全国·九年级专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
【答案】0.5##
【解析】
【分析】
根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】
解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
42．（2022·全国·九年级）在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不透明的盒子中装有n个球，它们除颜色外其他均相同，其中有4个红球，每次摸球前先将盒子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是________．
【答案】20
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】
解：由题意可得，＝0.2，
解得，n＝20．
故推算出n大约是20．
故答案为：20．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
三、解答题
43．（2022·福建省福州第八中学九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）福州某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同，根据往年的销售经验，每天需求量与当天最亮气温（单位：℃）有关，为了确定2022年六月份的酸奶订购计划，对2019年、2020年、2021年的六月份（共90天）的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析如下：
a．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温t（单位：℃）
酸奶需求量（单位：瓶/天） 300 400 600
b．2019年6月最高气温数据的频数分布统计表
分组 频数
3
6
14
7
合计 30
c．2020年6月最高气温数据的频数分布直方图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
d．2021年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：
25 26 28 29 29 30 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32
33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36
根据以上信息，回答下列问题．
(1)2021年6月最高气温数据的众数为 ，中位数为 ；
(2)估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为 ；
(3)已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．
①2021年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，求该月这种酸奶的利润；
②根据以上信息，预估2022年6月这种酸奶订购的进货量较为合理的为 ．（填A或B）
A550瓶/天 B380瓶/天
【答案】(1)32，32.5；
(2)
(3)①28000，②A
【解析】
【分析】
（1）估计众数和中位数的定义即可得到结论；
（2）从三年数据中，估计六月份最高气温在30≤t<40，即可求解．
（3）根据题意列式计算即可得到结论．
(1)
2021年6月最高气温数据的众数为32，中位数为＝32.5；
故答案为：32，32.5；
(2)
根据题意可知2019年，六月份最高气温在30≤t<40的天数为：天，
2020年，六月份最高气温在30≤t<40的天数为：天，
2021年，六月份最高气温在30≤t<40的天数为：天，
则估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为，
(3)
①400×（6﹣4）×5+（500﹣400）×（2﹣4）×5+500×（6﹣4）×25＝28000；
故答案为：28000
②∵以上三年6月最高气温低于25的天数一共有3+1＝4天，
∴有86天酸奶每天需求量大于400瓶，
故预估2022年6月这种酸奶订购的进货量合理的为A，
故选A．
【点睛】
考查了频数（率）分布表，统计与预测，众数和中位数的求法,频率估计概率，解题关键是正确的理解题意．
44．（2022·甘肃平凉·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常 ( http: / / www.21cnjy.com )数附近摆动，这个常数是__________（精确到0.01），由此估出红球有__________个．
(2)现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率．
【答案】(1)0.33，2；
(2)所有可能得结果见解析，恰好摸到2个红球的概率为；
【解析】
【分析】
（1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可；
（2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可；
(1)
解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，
设红球有个，则，解得，
故答案为0.33，2；
(2)
解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到2个红球的有4种，
所以从该袋中摸2次球，恰好摸到2个红球的概率为．
【点睛】
本题考查了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
45．（2022·全国·九年级单元测试）对某篮球运动员进行3分球投篮测试的结果如下表：
投篮次数n 10 50 100 150 200
命中次数m 4 25 65 90 120
命中率 0.4 0.5 0.65
(1)将表格补充完整；
(2)这个运动员投篮命中的概率约是______；
(3)估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分．
【答案】(1)0.6，0.6；
(2)0.6
(3)27分
【解析】
【分析】
（1）用对应的m除以n即可求解；
（2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率约为0.6；
（3）根据（2） 的估计得到投篮15次命中15×0.6= 9次，然后用9乘以3即可．
(1)
解：投篮150次、200次相应的命中率分别为、，
故答案为：0.6， 0.6；
(2)
解：这个运动员投篮3分球命中率约是0.6；
故答案为：0.6；
(3)
解：这个运动员3分球投篮15次大约命中15×0.6＝9（次），
∴这个运动员3分球投篮15次的得分大约为3×9＝27（分）．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时 ( http: / / www.21cnjy.com )，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式．
46．（2022·广东广州·一模）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n 10 10 10 10 10 150 300 500
投中次数m 3 6 5 6 7 78 152 251
(1)在这个记录表中，投篮次数为10次时，投中次数的众数是______，中位数是______；
(2)在这个记录表中，投篮次数为500次时，投中的频率是______；
(3)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少？
【答案】(1)6，6
(2)0.502
(3)0.5
【解析】
【分析】
（1）投篮次数为10次时，投中次数为3，6，5，6，7，根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）用投篮次数为500次时的投中次数除以投篮的次数即可得出答案；
（3）根据表中数据，可以得出频率稳定在0.5，用频率估计概率即可求解．
(1)
解：投篮次数为10次时，投中次数为3，6，5，6，7，从小到大排列为3，5， 6，6，7，
众数是6，中位数是6，
故答案为：6，6；
(2)
解：，
投中的频率为0.502，
故答案为：0.502；
(3)
解：，
，
，
，
，
，
，
，
由以上数据可知，随着投篮次数的增加，频率稳定在0.5，
这名球员投篮一次，投中的概率约是0.5．
【点睛】
本题主要考查了众数、中位数的定义，频率的计算公式以及用频率估计概率．
47．（2022·甘肃·临泽二中一模）在不透明的口袋中装有个白色、个红色和若干个黄色的乒乓球除颜外其余都相同，小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤，下表是实验的部分数据：
摸球次数 80 1800 6000 1000- 1500
摸到白球次數 21 46 149 251 3712
摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.247
(1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是______ 精确到，黄球有______ 个；
(2)如果从上述口袋中，同时摸出个球，求结果是一红一黄的概率．
【答案】(1)0.25；2
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据即可估计摸出一个球恰好是白球的概率，再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数即可得出答案；
（2）用表格列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
(1)
解：由表中数据可估计摸出一个球恰好是白球的概率为0.25，
∵口袋中乒乓球的总个数为（个），
∴黄球有4-1-1=2（个）；
(2)
解：两个黄球分别表示为黄1，黄2，
列表如下：
白 红 黄1 黄2
白 （白，红） （白，黄1） （白，黄2）
红 （红，白） （红，黄1） （红，黄2）
黄1 （黄1，白） （黄1，红） （黄1，黄2）
黄2 （黄2，白） （黄2，红） （黄2，黄1）
由上表可知，一共有12种等可能性的情况，其中是一红一黄的有4种情况，
∴结果是一红一黄的概率为．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计 ( http: / / www.21cnjy.com )概率、列表法与树状图法求概率，解题的关键是明确在大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.【来源：21·世纪·教育·网】
48．（2022·河南信阳·九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.600 0.100 0.250 0.340 0.325 0.335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．21教育名师原创作品
(2)现从该袋中摸出2球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1白球，1红球的概率．
【答案】(1)0.34；2
(2)P（一红一白）＝
【解析】
【分析】
（1）通过表格中的数据，可以发现摸到白球的频率越稳定在0.34左右即可解答；再利用频率估计概率，最后利用概率的计算公式即可计算红球的个数；
（2）先根据题意画出树状图或列出表格，然后确定所有等可能的结果和摸到一个白球一个红球的结果数，最后利用概率公式求解即可．
(1)
随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.34，因此接近的常数就是0.34；
设红球有x个，由题意得：
，
解得：x≈2，
经检验：x=2是分式方程的解；
故答案为：0.34，2；
(2)
摸球所有可能的结果，列表如下：
白 红1 红2
白 （白，白） （红1，白） （红2，白）
红1 （白，红1） （红1，红1） （红2，红1）
红2 （白，红2） （红1，红2） （红2，红2）
所以共有9种等可能的结果，其中恰好摸到1白球，1红球的有4种．
∴P（一红一白）＝．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率、运用树状图法或列表法求概率以及概率公式的应用．估算出摸到白球的概率是解答本题的关键．
49．（2022·四川·广元 ( http: / / www.21cnjy.com )市利州区万达实验学校模拟预测）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
(1)请你估计箱子里白色小球的个数；
(2)从箱子中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球的颜色不同的概率P1；
(3)从箱子中任取一球，记下 ( http: / / www.21cnjy.com )颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)估计箱子里白色小球的个数为1
(2)取出的两个球的颜色不同的概率
(3)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率，得到摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可；
（2）先画出树状图，得到所有的等可能性的结果数，然后找出符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（3）同（2）原理求出即可得到答案．
(1)
解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为1；
(2)
解：画树状图如下所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图克重一共有12种等可能性的结果数，其中取出的两个球的颜色不同的结果数有6种，
∴取出的两个球的颜色不同的概率；
(3)
解：画树状图如下所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知，从箱子中任取一球，记下颜色 ( http: / / www.21cnjy.com )后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，一共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴取出的两个球的颜色不同的概率，
∴．
【点睛】
本题主要考查了根据频率估计概率，树状图法求解概率，熟练掌握树状图法求解概率是解题的关键．
50．（2022·辽宁大连·二模）在 ( http: / / www.21cnjy.com )课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200
摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25
(1)只摸一次，能摸到黑球的概率是多少？
(2)估算口袋中白球的个数；
(3)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．
【答案】(1)0.25
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用频率作为概率的估计值即可得出；
（2）直接利用表格中数据估算出得到白球的频率，进而得出答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
(1)
解：由表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.25，
利用频率作为概率的估计值，
故只摸一次，能摸到黑球的概率是0.25；
(2)
解：由（1）可得出，摸到黑球的频率稳定在0.25，
故（个，
答：口袋中白球的个数为3个；
(3)
解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
两次都摸到白球的概率为：．
【点睛】
此题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，解题的关键是掌握知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21*cnjy*com
51．（2022·福建省厦 ( http: / / www.21cnjy.com )门第六中学二模）小龙虾是淡水经济虾类，因肉味鲜美广受人们欢迎，近年来在我国已经成为重要经济养殖品种．某养殖户投入50000元，将池塘改造成一个养殖区，又购买了10000元的设备，将养殖区划分了6个养殖箱，计划在每个养殖箱投入250元，在每个养殖箱中投入小龙虾苗30kg进行养殖．经过3个月的养殖，这些小龙虾苗达到了商品虾的规格，可以进入市场售卖．为了解某养殖箱小龙虾的具体生长情况，厦门中学生助手从该养殖箱中随机捕捉200尾，下面是部分信息：
①小龙虾长度频数分布直方图，如图所示；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②当8≤a＜9时测得小龙虾长度的数据如下；
8.67 8.30 8.37 8.54 8.43 8.65 8.05 8.52 8.25 8.94 8.05
8.22 8.33 8.24 8.01 8.10 8.61 8.93 8.18 8.55 8.91 8.68
8.11 8.88 8.14 ( http: / / www.21cnjy.com ) 8.40 8.11 8.21 8.34 8.16 8.74 8.50 8.39
8.56 8.51 8.89 8.44 8.54 8.31 8.02 8.87 8.02 8.14 8.10
③记该养殖池内小龙虾的长度为a，5≤a≤12，经过研究发现，小龙虾的长度、等级与售价（单位：元/kg）之间的关系如下表（0.8≤n≤2）：
长度a（cm） 5≤a＜8 8≤a＜10 10≤a≤12
等级 中级 高级 特级
售价（元/kg） 40－1.25n 44－1.5n2 11.875n＋35.5
④每箱小龙虾的成活率为0.8，每个月的养殖成本为1000元；
⑤每尾商品虾的质量是每尾小龙虾苗质量的10倍；
⑥小龙虾的消费旺季是每年的5~9月份，此时小龙虾的平均售价达到最大值．
根据上面提供的信息，回答问题：
(1)捕捉的200只小龙虾的长度的中位数是_________cm；
(2)从200只小龙虾中随机捕捉一只，该小龙虾的等级是特级的概率是________；
(3)假设养殖户从今年3 ( http: / / www.21cnjy.com )月初开始投入养殖，5月底将养殖的小龙虾全部售出，6月初重新投入虾苗养殖，8月底再全部卖出，…，每个养殖箱小龙虾的利润相同，在不考虑维修成本的前提下，试问该养殖户最快从第几个月开始才能盈利？
【答案】(1)8.885
(2)
(3)第7个月
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的定义，找到第100和101个数，求其平均数即可求解；
（2）根据频率根据概率即可求解；
（3）设小龙虾的平均售价为y元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
(1)
解：
根据当8≤a＜9时测得小龙虾长度的数据，第100和101个数分别为8.88，8.89，
则平均数为
故答案为： 8.885
(2)
200只小龙虾，10≤a≤12出现的频率为：
从200只小龙虾中随机捕捉一只，该小龙虾的等级是特级的概率是
(3)
设小龙虾的平均售价为y元，
y＝(40－1.25n)＋(44－1.5n2)＋(11.875n＋35.5)
＝－n2＋2n＋
＝－(n－)2＋＋
∵－＜0
∴开口向下
∵对称轴为直线n＝，且0.8≤n≤2
∴当n＝时，小龙虾的平均售价最大为＋
第一轮生长周期结束时，养殖户的利润为：
(＋)×30×0.8×10×6－250×6－1000×3×6＝41604＜60000
∴第一轮生长周期结束时，养殖户不能盈利
经过两轮养殖，养殖户的利润为：
41604×2＝83208＞60000
∴该养殖户从第7个月开始才能盈利
【点睛】
本题考查了统计与数据分析，求中位数，用频率估计概率，二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
52．（2022·广西·南宁二中三模）2 ( http: / / www.21cnjy.com )021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取100名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．www.21-cn-jy.com
调查问卷1．近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2．影响你睡眠时间的主要原因是______（单选）．A．学习效率低 B．校外学习任务重C．校内课业负担重 D．其他
( http: / / www.21cnjy.com / )
平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①；②；③；④；⑤．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第_________（填序号）组；
(2)随机调查一名学生，该学生睡眠时间达到9小时的概率是多少？
(3)若全校有1000名学生，请估计该校由于“学习效率低”而睡眠时间不足9小时的人数；
(4)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
【答案】(1)③
(2)
(3)320
(4)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的定义即可得到其所在小组；
（2）根据频率估计概率即可求解；
（3）根据扇形图中的百分比乘以睡眠不足9小时的百分比再乘以1000即可求解．
（4）根据平均每天睡眠时间统计图依次分析即可；根据影响学生睡眠时间的主要原因统计图制定对应的措施即可．
(1)
解：由于共有100人，因此中位数 ( http: / / www.21cnjy.com )应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第50和51个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；
故答案为：③．
(2)
随机调查一名学生，该学生睡眠时间达到9小时的概率是
(3)
全校有1000名学生，请估计该校由于“学习效率低”而睡眠时间不足9小时的人数为：（人）
(4)
该校学生睡眠情况为：该校学生 ( http: / / www.21cnjy.com )极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到 9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时．
建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；
②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）．
【点睛】
本题考查了统计的应用，涉及到了根据频率求概率 ( http: / / www.21cnjy.com )，样本估计总体，中位数的定义、从统计图中获取相关信息、根据图表信息制定合理建议等内容，解决本题的关键是读懂题意，能从统计图中获取对应信息，同时牢记相关定义等，本题属于开放型试题，最后一题答案不统一，但回答应与题干信息相吻合等，本题考查了学生分析问题与解决问题的能力．
53．（2022·福建厦门 ( http: / / www.21cnjy.com )·模拟预测）某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．销售人员先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中．
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
(1)根据表中的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是______；（结果保留小数点后一位）
(2)在（1）的条件下，如果公司 ( http: / / www.21cnjy.com )希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)
(2)每千克至少定价元
【解析】
【分析】
（1）根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘中损坏的频率越来越稳定在左右，由此可估计柑橘的损坏概率为；www-2-1-cnjy-com
（2）根据概率计算出完好柑橘 ( http: / / www.21cnjy.com )的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价＋利润”列不等式解答即可．
(1)
解：根据表中柑橘损坏的频率，当实验次数增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在左右，所以柑橘的损坏概率为，
故答案为：；
(2)
解：根据估计的概率可知，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，
设每千克柑橘的售价为x元，则根据希望这些柑橘的销售利润能超过5000元可得，
解得，
答：出售柑橘时每千克至少定价为2.8元获利润能超过5000元．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概 ( http: / / www.21cnjy.com )率，当实验次数逐渐增大，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率，根据题意列出一元一次不等式求解是解决第二个问题的关键．
54．（2022·陕西渭南·一模）4张背面相同的卡片正面上分别写有数字0、1、－2、3，将卡片的背面朝上洗匀．
(1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片20次，其中有6次抽到数字0，求这20次中抽到数字0的频率；
(2)天天设计了如下游戏规则：从中 ( http: / / www.21cnjy.com )任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来，不放回，再从余—下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来，当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．天天设计的游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由．
【答案】(1)；
(2)公平，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据频率估计概率可得；
（2）画树状图列举所有可能的情况，以及结果为非负数和负数的情况，利用概率公式计算．
(1)
解：这20次中抽到数字0的频率为=；
(2)
画树状图如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知共有12种等可能的情况，其中结果为非负数的情况有6种，结果为负数的情况有6种，
∴P（结果为非负数）=，P（结果为负数）=，
∴游戏规则公平．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表 ( http: / / www.21cnjy.com )法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，频率估计概率．
55．（2022·福建宁德·二模） ( http: / / www.21cnjy.com )为了加强疫情防控，某校从4月初开始启动闭环管理，要求所有的学生午餐统一在学校食堂就餐．为了加强对食堂的监控，有效保证饮食质量，学校随机抽取部分学生开展满意度问卷调查，学生根据实际情况给食堂评分．将本次调查结果制成如下统计表：
评分/分 4 5 6 7 8 9 10
人数/人 6 18 36 46 a 28 4
比率 3% 9% 18% 23% 31% b 2%
(1)本次问卷调查，学生所评分数的众数是______分；
(2)根据本次调查结果，若从本校随机抽选一名学生给食堂评分，估计他的评分不低于8分的概率是多少？
(3)学校决定：本次调查综合得分8~10分 ( http: / / www.21cnjy.com )为“满意”，给予食堂通报表扬；6~8分为“比较满意”，提醒食堂进行改善；0~6分为“不满意”，责令食堂限时整改．根据本次调查结果，判断学校可能对食堂采取何种措施，说明理由．（这里的0~6表示大于等于0同时小于6）
【答案】(1)8
(2)评分不低于8分的概率估计是47%
(3)学校将对食堂采取提醒改善的措施，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据统计表中4分的人数为6人，占3%求得总人数，进而求得的值，进而根据众数的定义求得众数即可求解；
（2）根据8分以及8分的人数的占比估计概率即可；
（3）根据统计表求得平均数即可求解．
(1)
．．
则8分的人数最多，故众数为8分
故答案为：8
(2)
∵由表格知评分不低于8分的频率是，
∴评分不低于8分的概率估计是47%．
(3)
分．
∵6≤7.2≤8，
∴学校将对食堂采取提醒改善的措施．
【点睛】
本题考查了求众数，平均数，频率估计概率，掌握以上知识是解题的关键．
56．（2022·吉林长春·模拟预测）某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬币试验，试验数据如下：21*cnjy*com
抛掷次数 50 100 200 300 500 800 1000 1500
“正面向上”的频数 26 53 94 142 242 395 498 753
“正面向上”的频率 0.520 0.530 0.470 0.473 0.484 0.494 0.498 0.502
(1)根据上表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为_________（保留两位小数）．
(2)小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率．【版权所有：21教育】
【答案】(1)0.50
(2)
【解析】
【分析】
（1）观察表格发现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，用这个常数表示概率即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能出现的情况数和两次抛掷的硬币都“正面向上”的次数，再根据概率公式求解即可．
(1)
观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到0.50附近，
故硬币出现“正面朝上”的概率为0.50，
故答案为：0.50；
(2)
画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有4种等可能的情况，其中两次抛掷的硬币都“正面向上”的有1种情况，
所以，两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率为：．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．同时也考查了运用画树状图法求概率．
57．（2022·江苏·滨海县第一初级中学三模）圆周率是无限不循环小数，中国古代数学家对圆周率的研究做出了重大贡献．历史上，我国数学家张衡、刘徽、祖冲之都对有过深入研究．有研究发现：随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
(1)从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为_______；
(2)某校进行数学实验室的环境布置，需要 ( http: / / www.21cnjy.com )两位数学家的画像，现从以上3幅数学家的画像中随机选取2幅，求其中有1幅是祖冲之的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可得0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，根据频率估计概率可得每个数字的概率相同，即可求解；
（2）根据列表法求概率求解即可．
(1)
解：∵随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴根据频率估计概率可得每个数字的概率相同，都为，
从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为，
故答案为：.
(2)
根据题意列表如下，
张衡 刘徽 祖冲之
张衡 张衡，刘徽 张衡，祖冲之
刘徽 刘徽，张衡 刘徽，祖冲之
祖冲之 祖冲之，张衡 祖冲之，刘徽
故其中有1幅是祖冲之的概率为．
【点睛】
本题考查了频率估计概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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