2022—2023学年北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用 解答专项练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》解答专项练习题（附答案）
1．已知有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要100元，求需要投入多少元经费？
2．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
3．2022年6月16日，某校数学兴趣小组参加社会实践活动，他们途中发现一块四边形草地（如图所示四边形ABCD），借助所带工具测得：AB＝4米，BC＝12米，CD＝13米，DA＝3米，∠A＝90°．请你和他们一起计算出这块草地的面积．
4．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）
5．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，求滑道AC的长．
6．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
7．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，AD＝13cm，求这块草坪的面积．
8．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
9．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）
10．位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
11．如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少米？
12．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝5，BC＝13，BE＝12．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由；
（2）求线段AB的长．
13．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
14．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
15．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．
16．某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD＝100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
17．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？
18．如图，一竖直的木杆在离地面6尺高的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的8尺处．木杆折断之前有多高？
19．如图，四边形草坪ABCD中，∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形草坪ABCD的面积．
20．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度
小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°
小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．
参考答案
1．解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ AD AB+DB BC
＝×4×3+×12×5
＝36，
故36×100＝3600（元），
答：需要投入3600元经费．
2．解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝42+32＝25，
BC2＝25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
∴x2＝（x﹣3）2+42
解这个方程，得x＝，
答：原来的路线AC的长为千米．
3．解：连接BD，
∵∠A＝90°，
∴BD2＝AD2+AB2＝25，
则BD2+BC2＝25+144＝169＝132＝CD2，
因此∠CBD＝90°，
S四边形＝S△ADB+S△CBD＝AD AB+BD BC＝×12×5+×4×3＝36（平方米），
答：这块草地的面积是36平方米．
4．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴AD＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
5．解：设AC的长为x米，
∵AC＝AB，
∴AB＝AC＝x米，
∵EB＝CD＝1米，
∴AE＝（x﹣1）米，
在Rt△ACE中，
AC2＝CE2+AE2，
即：x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，
∴滑道AC的长为5米．
6．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB CD＝BC AC
所以CD＝＝＝240米．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
7．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm则AC＝5cm．
∵（AC）2+（CD）2＝25+144＝169，又（AD）2＝（13）2＝169
∴（AC）2+（CD）2＝（AD）2∴△ACD是直角三角形
∴草坪面积＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（cm2）．
这块草坪的面积为36平方厘米．
8．解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
9．解：设AC＝x米，则AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
13﹣1＝12（米），
答：旗杆的高度为12米．
10．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝15（m），
∵工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣0.7×10＝10（m），
∴BD＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
11．解：在Rt△AOB中，OB＝9m．
设这个距离是xm，则OA'＝（12﹣x）m，OB'＝（9+x）m，
在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12﹣x）2+（9+x）2＝225，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝3．
答：梯子顶端下滑的距离是3米．
12．解：（1）△ABE是直角三角形，理由如下：
∵BE＝12，CE＝5，BC＝13，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，
∴△ABE是直角三角形；
（2）设AE＝x，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝x+5，
在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，
∴x2+122＝（x+5）2，
∴x＝11.9，
∴AB＝x+5＝16.9．
13．解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC×BC÷÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD＝16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
14．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，
梯子距离地面的高度AE＝24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，
∴BD+BE＝DE＝15，
∴DB＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
15．解：连接AC．
由勾股定理可知
AC＝5，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）．
16．解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD＝240km，
则台风中心经过240÷15＝16小时从B移动到D点；
如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE＝BD﹣DE＝240﹣30＝210km，
∴游人在＝14小时内撤离才可脱离危险．
17．解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，
由勾股定理得：x2+32＝（x+1）2．
解得：x＝4．
答：水池的水深有4尺．
18．解：∵木杆离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形，
∵AB＝6尺，AC＝8尺，
∴BC＝10（尺），
∴木杆的高度＝AB+BC＝6+10＝16（尺）．
19．解：（1）∠D是直角，理由如下：
连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，或∠D是直角；
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝ AB BC+ AD DC
＝234（m2）．
20．解：同意小明的说法．
理由：连接BD，
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵BC＝12m，BD＝5m，
∴DC＝13（m），
答：CD的长度为13m．