2022-2023学年苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法 自主达标测试（Word版含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》自主达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
2．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解
3．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为m，记Δ＝b2﹣4ac，下列说法正确的是（　　）
A．Δ＝（am+b）2 B．Δ＝（am﹣b）2 C．Δ＝（2am+b）2 D．Δ＝（2am﹣b）2
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．关于x的方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1
6．若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两相等的实数根
C．有两不相等的实数根 D．无法确定
7．已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2＝0的解为整数，则整数k取值的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．写一个你喜欢的实数m的值 　 　，使关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．
10．若x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣1成立，则a的值为 　 　．
11．已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝　 　．
12．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2＝0没有实数根，则k的取值范围是 　 　．
13．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2+3＝0的两根，则△ABC的周长为 　 　．
14．一个直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是 　 　．
15．已知关于x的方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（x+1）2+5（x+1）＝6的解是 　 　．
16．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则该菱形的面积为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
18．解方程：
（1）x2﹣2x＝4；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
19．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足（x+a）（x+b）＝x2+17x+60，且a2+b2＝c2，求△ABC的周长；
（2）若a，b，c满足a2﹣4ab+5b2﹣6b+9＝0，且△ABC的周长是偶数，求c的值．
20．已知关于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
21．在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式﹣x2+2x+2的最大值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+3≤3．
当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值为3．
∴﹣x2+2x+2的最大值是3．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣y2﹣6y+2的最大值．
（2）求代数式﹣2a2+8a﹣3的最大值．
（3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值．
22．仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
2．解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
3．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为m，
∴am2+bm+c＝0，
∴am2+bm＝﹣c，
∴Δ＝b2+4a（am2+bm）＝b2+4a2m2+4abm＝（2am+b）2．
故选：C．
4．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，，
解得：a＝﹣1．
∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，
∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．
故选：B．
5．解：当k＝0时，﹣4x+4＝0，
解得：x＝1；
当k≠0时，
∵关于x的方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，
∴（﹣4）2﹣4×4k≥0，
解得：k≤1且k≠0；
综上所述，k的取值范围是k≤1．
故选：D．
6．解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b＞c＞0．
在方程中，
Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4×c2＝（a+b）2﹣c2＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．解：∵kx2+（2k+1）x+2＝0，
∴（kx+1）（x+2）＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣2，
∵关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2＝0的解为整数，
∴k＝±1，
故选：C．
8．解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4×2m＞0，
解得m＜，
可取m＝0，
故答案为：0．
10．解：∵（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+4﹣1＝x2﹣4x+3，
∴a＝3，
故答案为：3．
11．解：∵方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，
∴2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2），
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
12．解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4×k×2＜0，
解得k＞，
即k的取值范围为k＞．
故答案为：k＞．
13．解：由题意知方程kx2+3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×k×3＝0，
解得：k＝3，
∴原方程为：，
解得：x＝2，
则三角形的三边长度为2、2、3，
则△ABC的周长为7，
故答案为：7．
14．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故答案为：6或．
15．解：∵（x+1）2+5（x+1）＝6，
∴（x+1）2+5（x+1）﹣6＝0，
∵关于x的方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，
∴方程（x+1）2+5（x+1）﹣6＝0化为x+1＝1或x+1＝﹣6，
解得x1＝0，x2＝﹣7．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣7．
16．解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣5）（x﹣3）＝0，
x﹣5＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
因为菱形的一条对角线长为8，则菱形的一条对角线长的一半为4，
所以菱形的边长为5，
所以菱形的另一条对角线长为2＝6，
所以菱形的面积＝×6×8＝24．
故答案为：24．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）3x2﹣2x＝0，
x（3x﹣2）＝0，
则x＝0或3x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）x2﹣x﹣1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）
＝1+4
＝5＞0，
则此方程有两个不相等的实数根，
x＝，
故x1＝，x2＝．
18．解：（1）移项得，x2﹣2x﹣4＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴，
∴，．
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0
∴x1＝3，x2＝1．
19．解：（1）∵（x+a）（x+b）＝x2+17x+60，
∴a+b＝17，ab＝60，
∵a，b，c是正整数，
∴a＝12，b＝5，或a＝5，b＝12，
∵a2+b2＝c2，
∴c＝13，
∴△ABC的周长为5+12+13＝30；
（2）∵a2﹣4ab+5b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣2b）2+（b﹣3）2＝0，
解得b＝3，a＝2b＝6，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b＝9是奇数，
∴c是奇数，
∴c＝5或7．
20．（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝
＝m2﹣2m+10
＝（m﹣1）2+9，
∵（m﹣1）2≥0，
∴（m﹣1）2+9＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将m＝1代入方程﹣mx+m﹣5＝0中，得（x﹣1）2＝9，
解得：x＝4或﹣2．
∴当m＝1时，x的值为4或﹣2．
21．解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11，
∵﹣（y+3）2≤0，
∴﹣（y+3）2+11≤11．
∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11．
（2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5，
∵﹣2（a﹣2）2≤0，
∴﹣2（a﹣2）2+5≤5．
∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5．
（3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+11≤11．
∴y﹣x的最大值是11．
22．解：（1）∵x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，
∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+y＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣3，y＝3；
（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，
∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64＝0，
∴（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c＝＝＝10，