2022-2023学年北师大版八年级数学上册1.2 一定是直角三角形吗 同步达标测试题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
2．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．10 C．7.5 D．13.5
3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A+∠B＝90°
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
4．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝（　　）
A．20° B．35° C．65° D．75°
7．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
8．如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二．填空题（共6小题，满分30分）
10．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　 　cm2．
11．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，则AB边上的高为 　 　．
12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC＝　 　．
13．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，作BC的垂直平分线DE交AB于点D，则AD＝　 　．
15．如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝　 　．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
17．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．
18．如图，在方格纸上的每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在正方形的顶点上．
（1）△ABC和△ACD都是直角三角形吗？为什么？
（2）由（1）能判定D，C，B三点在一条直线上吗？说明理由；
（3）求∠ADC的度数．
19．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
20．已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．
（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；
（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分45分）
1．解：A、因为32+42≠62，所以不能构成直角三角形；
B、因为62+82＝102，所以能构成直角三角形；
C、因为52+122≠142，所以不能构成直角三角形；
D、因为12+12≠22，所以不能构成直角三角形．
故选：B．
2．解：三角形的边必须符合两边之和大于第三边，所以只能选3cm、4cm、5cm围成一个三角形是三角形，
∵32+42＝52，
∴3cm、4cm、5cm围成的三角形是直角三角形，
面积是：3×4÷2＝6（cm2）；
故选：A．
3．解：∵c2＝a2﹣b2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5
∴最大的∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．解：由图可知：AB2＝5，
BC2＝5，
AC2＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
5．解：∵82+152＝172，92+122＝152，
∴用长度为8，15，17和9，12，15的小木棒能分别摆成两个直角三角形，
故选：C．
6．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝65°，
故选：C．
7．解：A．∵92+122＝152，∴是勾股数，不符合题意；
B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；
C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；
D．∵122+182≠222，∴不是勾股数，符合题意；
故选：D．
8．解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个．
故共有3个点，
故选：C．
9．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
10．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
11．解：在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
设AB边上的高为h，
∵S△ABC＝BC AC，
∴h＝＝，
即AB边上的高为．
故答案为．
12．解：∵AD为△ABC的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵CD＝BD，
∴AC＝AB＝13．
故答案为：13．
13．解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝AB BC+AC CD
＝×4×3+×5×12
＝36，
故答案为：36．
14．解：连接CD，
∵62+82＝102，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AB＝8，
∴AD+CD＝8，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，AD2+AC2＝CD2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴AD＝，
故答案为：．
15．解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°，
则△ABD是直角三角形，
∵AB＝20，
∴BD＝16，
则S△ABC＝ BC AD＝×（16+5）×12＝126，
故答案为：126．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
17．证明：∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝12，
∵52+122＝132，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
18．解：（1）△ABC不是直角三角形，△ACD是直角三角形，
理由：∵AD2＝52+12＝26，AC2+CD2＝32+22+32+22＝26，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵AC2+BC2＝13+12+22＝18，AB2＝42＝16，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）D，C，B三点不在一条直线上，
理由：∵∠ACD＝90°，∠ACB≠90°，
∴∠BCD≠180°，
∴D，C，B三点不在一条直线上；
（3）由（1）知，∠ACD＝90°，
∵AC2＝CD2＝13，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝45°
19．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD＝5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积＝AC BC＝×12×10＝60．
20．解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝DA＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝50°，
∴∠DCA的度数为50°；
（2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小，
∵△ABC的面积＝AB CE＝AC BC，
∴AB CE＝AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8，
∴线段CE的最小值为4.8．