2022-2023学年度(上)淮滨县高效课堂同步课时练
九年级数学
21.1一元二次方程
21.1.1一元二次方程
【分点练四基】
知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋x－2＝0 D．3x－2xy－5y2＝0
2．将一元二次方程x(x－2)＝5化为二次项系数为1的一般形式是 ，其中一次项是 ，常数项是 ．
3．若关于x的方程(m＋2)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则m满足的条件为 ．
4．(教材P4习题T1变式)将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2x2＋5＝4x. (2)3x2＝8. (3)6x2＋4＝(x－2)2.
知识点2 一元二次方程的根
5．(教材P4习题T3变式)下列各数：－2，－1，0，1，2中，是方程x2－x－2＝0的根的是( )
A．－2 B．2 C．－1，2 D．1，2
6．若一元二次方程x2－2kx＋1＝0的一根为x＝－1，则k的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式】 若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b的值等于 ．
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
7．已知两个连续正整数的积为182，设较小的正整数为x，则可列方程为 ，将其化成一般形式为 ．
8．(教材P2问题1变式)如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为( )
A．10×6－4×6x＝32 B．(10－2x)(6－2x)＝32 C．(10－x)(6－x)＝32 D．10×6－4x2＝32
易错点 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错
9．若方程(m－4)x|m－2|＋3x＋5＝0是一元二次方程，则m的值等于 ．
【综合提四能】
10．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0的一个根为0，则k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
11．《九章算术》中有这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿长与门对角线长恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为( )
A．x2＝(x－4)2＋(x－2)2 B．2x2＝(x－4)2＋(x－2)2 C．x2＝42＋(x－2)2 D．x2＝(x－4)2＋22
12．已知a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则代数式a3＋2a2＋2021的值是 ．
13．(教材P4习题T2变式)根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)小明用一根30 cm长的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
(2)为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场)，计划安排28场比赛，求参赛的足球队个数．
14．已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【拓展培素养】
15．若x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax0＋1)2，N＝1－ac.
(1)求a2x＋2ax0＋ac的值．
(2)求M－N的值．2022-2023学年度(上)淮滨县高效课堂同步课时练
九年级数学
21.1一元二次方程
21.1.1一元二次方程
(2022年09月01日)
【分点练四基】
知识点1 一元二次方程的定义及一般形式
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是( C )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋x－2＝0 D．3x－2xy－5y2＝0
2．将一元二次方程x(x－2)＝5化为二次项系数为1的一般形式是x －2x－15＝0，其中一次项是－2x，常数项是－15．
3．若关于x的方程(m＋2)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则m满足的条件为m≠－2．
4．(教材P4习题T1变式)将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2x2＋5＝4x.
解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0.
(2)3x2＝8.
解：移项，得一元二次方程的一般形式：3x2－8＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为－8.
(3)6x2＋4＝(x－2)2.
解：去括号，得6x2＋4＝x2－4x＋4.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：5x2＋4x＝0.
其中二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0.
知识点2 一元二次方程的根
5．(教材P4习题T3变式)下列各数：－2，－1，0，1，2中，是方程x2－x－2＝0的根的是( C )
A．－2 B．2 C．－1，2 D．1，2
6．若一元二次方程x2－2kx＋1＝0的一根为x＝－1，则k的值为( A )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式】 若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b的值等于－2．
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
7．已知两个连续正整数的积为182，设较小的正整数为x，则可列方程为x(x＋1)＝182，将其化成一般形式为x ＋x－182＝0．
8．(教材P2问题1变式)如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为( B )
A．10×6－4×6x＝32 B．(10－2x)(6－2x)＝32 C．(10－x)(6－x)＝32 D．10×6－4x2＝32
易错点 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错
9．若方程(m－4)x|m－2|＋3x＋5＝0是一元二次方程，则m的值等于0．
【综合提四能】
10．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0的一个根为0，则k的值为( C )
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
11．《九章算术》中有这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿长与门对角线长恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为( A )
A．x2＝(x－4)2＋(x－2)2 B．2x2＝(x－4)2＋(x－2)2 C．x2＝42＋(x－2)2 D．x2＝(x－4)2＋22
12．已知a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则代数式a3＋2a2＋2021的值是2022．
13．(教材P4习题T2变式)根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)小明用一根30 cm长的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
(2)为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场)，计划安排28场比赛，求参赛的足球队个数．
解：(1)设该直角三角形的一直角边长为x cm，则另一直角边长为(17－x)cm，根据题意，得x2＋(17－x)2＝132.整理化简，得x2－17x＋60＝0.
(2)设参赛的足球队有x个，根据题意，得＝28.整理化简，得x2－x－56＝0.
14．已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
解：(1)由题意，得(m＋3)(m－3)＝0且m＋3≠0时，方程是一元一次方程，所以m－3＝0，即m＝3.
(2)由题意，得(m＋3)(m－3)≠0时，方程是一元二次方程，所以m≠±3.即m≠3且m≠－3
【拓展培素养】
15．若x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax0＋1)2，N＝1－ac.
(1)求a2x＋2ax0＋ac的值．
(2)求M－N的值．
解：(1)∵x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，∴ax＋2x0＋c＝0.
(2)∵x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，∴ax＋2x0＋c＝0，即ax＋2x0＝－c.则M－N＝(ax0＋1)2－(1－ac)＝a2x＋2ax0＋1－1＋ac＝a(ax＋2x0)＋ac＝－ac＋ac＝0.
