2022-2023学年北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理 周末综合作业题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》周末综合作业题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．直角三角形的边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　）
A．5 B．7 C．25 D．49
2．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2、BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）
A．8 B．16 C．20 D．25
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，则正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c为三边，则下列关系不正确的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a+b＞c C．c﹣a＞b D．c﹣b＜a
6．△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（　　）
A．66 B．126 C．54或44 D．126或66
7．如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（　　）
A．17 B．10 C．6 D．7
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S 的代数式表示（a+b）2正确的是（　　）
A．S1 B．S2 C．2S1﹣S2 D．2S2﹣S1
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝　 　．
10．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为　 　．
11．如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为 　 　．
12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若点D为AB边上任意一点，则线段CD的取值范围是 　 　．
13．△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，则AB＝　 　，∠C＝　 　°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝　 　．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　．
16．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则a+b的值为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．
18．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝16，CD＝21，AD＝29，点E是AD的中点，求CE的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，沿着三角形的三边，先运动到点C，再运动到点B，最后运动回到点A，Vp＝2cm/s，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，点P恰好在AB的垂直平分线上？
（2）当t为何值时，点P在BC上，且恰好在∠BAC的角平分线上？
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
22．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝　 　，AB＝　 　；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵∠C＝90°，a2＝9，b2＝16，
∴c2＝a2+b2＝9+16＝25．
故选：C．
2．解：由勾股定理得：＝5（cm），
∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）；
故选：B．
3．解：由勾股定理得，
AC2＝AB2+BC2＝4+16＝20，
∴正方形ADEC的面积为20，
故选：C．
4．解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，
∴AB2﹣BC2＝AC2＝25，
∴正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为AB2﹣BC2＝25．
故选：D．
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c为三边，
∴a2+b2＝c2，a+b＞c，c﹣a＜b，c﹣b＜a，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
6．解：如图1，∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝20，AD＝12，
∴BD＝16，
又∵AC＝13，
∴CD＝5，
∴BC＝BD+CD＝21，
∴△ABC的面积＝×21×12＝126；
如图2，BC＝BD﹣CD＝11，
∴△ABC的面积＝×11×12＝66；
综上所述，△ABC的面积为126或66，
故选：D．
7．解：∵正方形ABCD的面积为15，
∴BC2＝15，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝7，
故选：D．
8．解：∵大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，
∴a2+b2＝S1，（b﹣a）2＝S2，
∴4个直角三角形的面积＝4×ab＝2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．
故答案是：200．
10．解：由图形可知，BC＝5，BC边上的高为3，
∴△ABC的面积＝×5×3＝，
由勾股定理得，AC＝5，
则×5×BD＝，
解得，BD＝3，
故答案为：3．
11．解：设AC＝m，BC＝n，
则S1＝m2，S2＝n2，S1+S2＝m2+n2＝60，
因为AB＝10，即m+n＝10，
所以（m+n）2＝100，
m2+n2+2mn＝100，
2mn＝100﹣60＝40，
mn＝20，
所以S△BCD＝mn＝＝10．
故图中阴影部分的面积为10．
故答案为：10．
12．解：过点C作CD′⊥AB于D′，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最短，即点D在点D′的位置时，CD最短，
由勾股定理得：AC＝8，
∵S△ABC＝AB×CD′＝AC，
∴CD′＝＝4.8，
∴4.8≤CD≤8，
故答案为：4.8≤CD≤8．
13．解：∵S△ABE＝60，
∴AB DE＝60，即×AB×12＝60，
解得：AB＝10，
∵AC2+BC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
故答案为：10，90．
14．解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝CD，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝4，
设AD＝x，则CD＝BD＝4﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴AD＝，
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，
∴BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，
在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，
∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，
∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
故答案为：34．
16．解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，
∴a2+b2＝34，（b﹣a）2＝4，
∴4×ab＝34﹣4＝30，
∴2ab＝30，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：∵AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，
∴∠CAH＝∠HBD＝90°，
∵A，B，H是直线上的三个点，
∴AH+BH＝AB＝5，
∴BH＝5﹣AH，
在Rt△ACH中，AC2+AH2＝CH2，
即4+AH2＝CH2，
在Rt△BHD中，BH2+BD2＝DH2，
即（5﹣AH）2+9＝DH2，
∵HC＝HD，
∴4+AH2＝（5﹣AH）2+9，
∴AH＝3，
故AH的长为3．
18．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AC＝20，
∵CD＝21，AD＝29，
∵AC2+CD2＝202+212＝841，
AD2＝841，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE＝＝×29＝．
19．解：（1）当点P在AC上时，连接PB，
由勾股定理得AC＝8，
∵点P恰好在AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB＝2t，
∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
解得t＝，
当P在AB上时，PA＝PB＝5，
∴点P运动的路程为8+6+5＝19，
∴t＝，
∴t＝或时，点P恰好在AB的垂直平分线上；
（2）过点P作PF⊥AB于F，则PF＝PC＝2t﹣8，
在Rt△BPF中，由勾股定理得，
（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得t＝，
∴t＝时，点P在BC上，且恰好在∠BAC的角平分线上．
20．解：（1）∵∠C＝90°，
∴AB＝10；
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
（2）由（1）知，AB＝10，
∴△ADB的面积为S△ADB＝AB DE＝×10×3＝15．
21．（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
22．解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D，
∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝2∠A，
∵∠BCA＝∠D+∠CBD，
∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴DC＝BC＝8，
∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，
∴AE＝AD＝9，
∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，
由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，
解得，AB＝12，
故答案是：9；12；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是边AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D．
∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC＝c，
由题意得，DE＝AE＝，
∴EC＝AE﹣AC＝﹣b＝，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，
在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，
∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2，
整理得，b＝．