2022-2023学年人教版数学九年级上册21.2.2 公式法 同步精练（word、含答案）

21.2.2 公式法 同步精练
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
3．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
6．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．关于的方程有实数根，则的取值范围值是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
9．已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B． C． D．
10．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
11．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
12．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（ ）．
A．1或－4 B．1 C．－4 D．－1或4
二、填空题
13．解方程：，较好的方法是__________法．
14．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．
15．已知关于x的方程无实数根，则k满足的条件是______．
16．一元二次方程有两个相等的实数根，点、是一次函数上的两个点，若，则______（填“＜”或“＞”或“＝”）．
17．若关于x的方程无解，则m的取值范围是______．
三、解答题
18．用适当的方法解下列方程：
(1)4（1﹣3x）2﹣1＝0；
(2)x2+2x﹣399＝0；
(3)3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．
19．提出问题：
我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如：，，…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，．
解决问题：
(1)填空：解方程：．
解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得或_______．
分别解这两个一元一次方程，得_____，______．
(2)解方程．
20．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
21．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
22．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值.
参考答案
1--10BCCCD DACCA 11--12AC
13．直接开平方
14．
15．
16．＞
17．
18（1）解：
原方程可化为
直接开平方，得
∴
（2）
移项，得
即
直接开平方，得
∴；
（3）
整理，得
∵
∴，
∴．
19．（1）解：∵，，又∵，解得，解得故答案为：－5，，．
（2）解：两边同时除以3得：．根据乘方运算，得：或
20．解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
21．解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．
22．（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）
∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．