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21.1 一元二次方程
【知识梳理】
一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。21cnjy.com
一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
1）方程两边都是只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）方程两边都是整式方程。
【基础训练】
1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①；②；③；④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：是一元二次方程，是二元二次方程，
是分式方程，是一元二次方程，所以一元二次方程有两个，故选：
2．若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+5m+1=0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2或0
【答案】A
【解析】
由题意得：，
解得：m=0.
故选A.
3．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，-3，10 B．1，7，-10 C．1，-5，12 D．1， 3，2
【答案】A
【详解】
方程整理得：x2 3x+10=0，
则a=1，b= 3，c=10.
故答案选A.
4．已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
【答案】A
【详解】解：一元二次方程3x2=-4+2x化为一般形式可得：3x2-2x+4=0，
∴二次项系数、一次项系数分别为：3，-2．故选：A．
5．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【详解】
试题分析：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得 p=﹣1．
故选C．
6．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【详解】
解：由题意，得
且，
解得，
故选：．
7．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
【答案】-2
【详解】解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，故答案为：-2．
8．把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
【答案】-6
【详解】解：
所以一元二次方程的常数项为： 故答案为：
9．已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？（2）当为何值时是一元二次方程？
【答案】（1）-2或1或0 （2）2
【详解】解：（1）由题意，得当时，，
当且时，；
当时，．
∴当或或时，是一元一次方程．
（2）由题意，得，且，解得，
∴当时，是一元二次方程．
10．检验：
（1），是否为方程的解．
（2）是否为方程和方程的解．
【答案】（1）不是方程的解，是方程的解；（2）是的解，不是方程的解．
【详解】（1）将代入方程的左边得：，
将代入方程的左边得：，
则不是方程的解，是方程的解；
（2）将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边等于右边，
则是方程的解；
将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边不等于右边，
则不是方程的解．
11．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【详解】解：∵有且只有一个公共根
∴ ∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴∴
当时，代入第一个方程可得1-a+1=0解得：
【能力提升】
1．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．2m
【答案】A
【详解】解：由题意得：，
∵a，b是方程的两根，∴把a，b代入方程得：，
∴，即，
∴；故选A．
2．已知关于的方程与（）有一个公共根，求的值（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：∵方程与（）有一个公共根，∴，化简可得：，
∵p≠q，∴x-1=0，即x=1，代入中，则，
∴==-1，故选C．
3．若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵方程是“月亮”方程，∴
∴，
∴故选：D．
4．若是一元二次方程（且）的一个根，则的值为________．
【答案】5
【详解】解：∵x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个解，∴a-b-10=0，∴a-b=10．
∵a≠-b，∴a+b≠0，∴=5，故答案是：5．
5．若方程，满足则方程必有一根为___．
【答案】-3
【详解】当时，代入原方程得：，即：，
∴原方程必有一根为，故答案为：-3．
6．方程的解为__________．
【答案】x=1
【详解】∵，
∴，解得：x=1，故答案是：x=1．
【点睛】本题主要考查二次根式与绝对值的非负性，掌握上述性质，是解题的关键．
7.若关于的方程的解为，则方程的解为___________．
【答案】
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴方程的解为或3，解得：．
8．已知关于的方程，其中是方程的一个根.（1）求的值及方程的另一个根；（2）若△的三条边长都是此方程的根，求△的周长.21世纪教育网版权所有
【答案】（1）a=2，另一根是1；（2）3或7或9
【详解】解：（1）把x＝3代入方程得9（a 1） 4×3 1＋2a＝0，解得a＝2，
∴原方程为x2 4x＋3＝0，（x 1）（x 3）＝0，∴x1＝1，x2＝3，故它的另一个根是1；
（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，∵1＋1＝2＜3，∴三角形的边长只能为3，3，1，那么三角形的周长是7；
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．
9．阅读理（解析）解：
定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．21教育网
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
【答案】（1）；（2）的值是1
【详解】解：（1）由题意知，，，，∴ ，，，
∴方程的“对称方程”是：，故填：；
（2）由移项可得：，
与为对称方程，，解得，
，解得，∴．
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21.1 一元二次方程
【知识梳理】
一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。21cnjy.com
一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
1）方程两边都是只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）方程两边都是整式方程。
【基础训练】
1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①；②；③；④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+5m+1=0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2或0
3．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，-3，10 B．1，7，-10 C．1，-5，12 D．1， 3，2
4．已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
5．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
6．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值
A．1 B．1或2 C．2 D．
7．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
8．把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
9．已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？（2）当为何值时是一元二次方程？
10．检验：
（1），是否为方程的解．
（2）是否为方程和方程的解．
11．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
【能力提升】
1．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．2m
2．已知关于的方程与（）有一个公共根，求的值（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．不能确定
3．若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程（且）的一个根，则的值为________．
5．若方程，满足则方程必有一根为___．
6．方程的解为__________．
7.若关于的方程的解为，则方程的解为___________．
8．已知关于的方程，其中是方程的一个根.（1）求的值及方程的另一个根；（2）若△的三条边长都是此方程的根，求△的周长.21世纪教育网版权所有
9．阅读理（解析）解：
定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．21教育网
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．
（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
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