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21.2.1 解一元二次方程-配方法
【知识梳理】
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当 时，方程无解
4）求解：开平方并求解。
【配方法注意】若方程二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方。
【基础训练】
1．方程经过变形后，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
3．把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8
4.用配方法解方程，则方程可变形为（ ）．
A． B．
C． D．
5．将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．﹣1 B．3 C．4 D．5
6.将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．
7.用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方的结果是_____．
8.一元二次方程化为的形式是____．
9.用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．
10.解方程：（配方法）
11.已知y18x﹣1，y2＝6x+2，当x取何值时y1＝y2．
【能力提升】
1.已知方程可以配方成，则（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．4
2.对于任意实数，多项式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
3.已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（ ）
A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7
4.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）21教育网
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
5.将配方成的形式，则__________．
6．根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
7.阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，21世纪教育网版权所有
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ；
所以x2﹣2x+3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
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21.2.1 解一元二次方程-配方法
【知识梳理】
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当 时，方程无解
4）求解：开平方并求解。
【配方法注意】若方程二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方。
【基础训练】
1．方程经过变形后，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：，
移项，两边同时加4得，
配方得，
故选：A．
2.把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则x2﹣3x1，即（x）2，
故选：C．
3．把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8
【答案】A
【详解】
，配方得：
，
∴ ，即．
故选A．
4.用配方法解方程，则方程可变形为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．﹣1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
解：方程x2﹣4x+1＝0，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
则k＝3，
故选：B．
6.将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．
【答案】-4，21
【详解】
解：∵x2-8x-5=0，
∴x2-8x=5，
则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
∴a=-4，b=21，
故答案为：-4，21．
7.用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方的结果是_____．
【答案】（x+1）2＝2．
【详解】
解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，
∴（x+1）2＝2，
故答案为：（x+1）2＝2．
8.一元二次方程化为的形式是____．
【答案】
【详解】
解：，
移项得，，
两边加上一次项系数一半的平方得，，
配方得，
故答案为：．
9.用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．
【答案】9
【详解】
解：用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上32，即9，
故答案为：9．
10.解方程：（配方法）
【答案】
【详解】
方程变形得：
配方得：，即
开方得：
解得：，
11.已知y18x﹣1，y2＝6x+2，当x取何值时y1＝y2．
【解答】解：当y1＝y2时，
∴x2+8x﹣1＝6x+2，
∴x2+6x﹣9＝0，
∴x2+6x+9＝18，
∴（x+3）2＝18，
∴x＝﹣3±2．
即当x＝﹣3±2时，y1＝y2．
【能力提升】
1.已知方程可以配方成，则（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．4
【答案】A
【详解】
解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，
故选：A．
2.对于任意实数，多项式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
【答案】A
【详解】
x2-2x+3，
=x2-2x+1+2,
=（x-1）2+2,
因为一个数的平方大于等于零，
所以原式≥2，
故选A.
3.已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（ ）
A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7
【答案】D
【解答】解：∵方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，
∴x2﹣2px+p2＝7，
∴﹣6＝﹣2p，
解得：p＝3，
即（x﹣3）2＝7，
∴x2﹣6x+9﹣7＝0，
∴q＝2，
即（x+3）2＝7，
即（x+p）2＝7，
故选：D．
4.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）21教育网
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
【答案】C
【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
5.将配方成的形式，则__________．
【答案】
【详解】
解：∵3x2-2x-2=0，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x1＝1，x ( http: / / www.21cnjy.com )2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8， ②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝
∴x－＝±．
∴x1＝1，x2＝8．
7.阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，21cnjy.com
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ；
所以x2﹣2x+3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【解答】解：（1）x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2
＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，
∴x2﹣2x+3＞0，
故答案为：1；2；＞；
（2）x2+6x﹣9
＝x2+6x+9﹣18
＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；
（3）证明：x2+y2﹣4x+2y+6
＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，
∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
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