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21.2.2 解一元二次方程-公式法
【知识梳理】
一元二次方程 根的判别式：
1、方程有两个不相等的实根:（）
2、方程有两个相等的实根
3、方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
把a、b、c的值代入，判断一元二次方程根的情况
如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：，最后求出x1，x2
【基础训练】
1．用公式法解方程所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（ ）
A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D．
3.公式法解方程，对应，，的值分别是（ ）
A．1，3，4 B．0，， C．1，3， D．1，，
4.用公式法解方程，正确的是( )
A． B． C． D．
5.关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+，x2＝1﹣ D．x1＝1+，x2＝1﹣
7.若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
8.方程x2﹣x﹣3＝0的较小的根为x1，下面对x1的估值正确的是（ ）
A．﹣1＜x1＜0 B．2＜x1＜3 C．﹣3＜x1＜﹣2 D．﹣2＜x1＜﹣1
9.若代数式的值等于代数式的值，则_______．
10.若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.
11.方程3x2+x﹣1＝0的解是_____．
12.解方程：x2﹣4x﹣＝0．
【能力提升】
1.关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k
2.定义新运算“a*b”：对于任意实数a ( http: / / www.21cnjy.com )，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）21世纪教育网版权所有
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
3.将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的两根分别是，，那么______.
5.关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ．21cnjy.com
6.已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，
（1）求a2﹣4a+2013的值；
（2）化简求值：．
7.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
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21.2.2 解一元二次方程-公式法
【知识梳理】
一元二次方程 根的判别式：
1、方程有两个不相等的实根:（）
2、方程有两个相等的实根
3、方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
把a、b、c的值代入，判断一元二次方程根的情况
如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：，最后求出x1，x2
【基础训练】
1．用公式法解方程所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x== ，
故选：D．
2．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（ ）
A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D．
【答案】C
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，，
又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴=
∴ac=-1．
故选C．
3.公式法解方程，对应，，的值分别是（ ）
A．1，3，4 B．0，， C．1，3， D．1，，
【答案】D
【详解】
解：在用公式法解一元二次方程时，式中的a、b、c分别代表一元二次方程一般形式中二次项系数、一次项系数和常数项，21·cn·jy·com
所以根据原方程的形式，可以得到对应 a ， b ， c 的值分别是1、-3、-4，
故选D．
4.用公式法解方程，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
5.关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）
＝k2﹣4k+4+16﹣4k
＝k2﹣8k+20
＝k2﹣8k+16+4
＝（k﹣4）2+4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+，x2＝1﹣ D．x1＝1+，x2＝1﹣
【答案】C
【详解】
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝＝1±，
即x1＝1+，x2＝1﹣，
故选：C．
7.若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【答案】D
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴m，
解得：b2m，
故选：D．
8.方程x2﹣x﹣3＝0的较小的根为x1，下面对x1的估值正确的是（ ）
A．﹣1＜x1＜0 B．2＜x1＜3 C．﹣3＜x1＜﹣2 D．﹣2＜x1＜﹣1
【答案】D
【详解】
解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝，
由3＜＜4得﹣＜＜﹣1，
∴﹣2＜x1＜﹣1，
故选：D．
9.若代数式的值等于代数式的值，则_______．
【答案】或
【详解】
解：由题意得，，
整理得，，
解得：x＝或，
故答案为：或．
10.若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.
【答案】15
【详解】
，
解得：，，
当等腰三角形的三边分别为3，3，6时，3+3=6，不满足三边关系，故该等腰三角形不存在；
当等腰三角形的三边分别为6，6，3时，满足三边关系，该等腰三角形的周长为：6+6+3=15．
故答案为：15．
11.方程3x2+x﹣1＝0的解是_____．
【答案】x＝
【详解】
解：∵3x2+x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝1+12＝13，
∴x＝
故答案为：x＝．
12.解方程：x2﹣4x﹣＝0．
【答案】x1＝，x2＝．
【详解】
解：x2﹣4x﹣=0
整理得x2﹣3x﹣＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣）＝10＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【能力提升】
1.关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k
【答案】D
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k，
故选：D．
2.定义新运算“a*b”：对于任意 ( http: / / www.21cnjy.com )实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）21教育网
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，
∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，
整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
3.将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
4．关于的一元二次方程的两根分别是，，那么______.
【答案】1
【详解】
关于的一元二次方程的求根公式是：，故a=1，b=-4，c=3．
故答案为：1．
5.关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ．21世纪教育网版权所有
【答案】1．
【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c，
∴原方程可表示为：x2+bx0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm（m+2）2+b（m+2），
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）mm2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
6.已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，
（1）求a2﹣4a+2013的值；
（2）化简求值：．
【解答】解：（1）将x＝a代入方程得：a2﹣4a＝﹣2，
则原式＝﹣2+2013＝2011；
（2）方程解得：a2，
∴a﹣1＜0，
则原式（a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣a2．
7.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，
∴x．
∴x1＝m﹣2，x2＝2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m﹣2＜1．
∴m＜3．
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