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21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
【知识梳理】
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4、求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
【基础训练】
1．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
2.若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，
∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）
＝2（x+3）（x﹣5），
故选：C．
3．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
【答案】B
【详解】
解：∵x2-8x+15=0，
( http: / / www.21cnjy.com )∴（x-3）（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B．21教育网
4．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
【答案】C
【详解】
∵x的一元二次方程有一个根是0，
∴，且k-1≠0，
解得k= -2或k=1，且k≠1，
∴k= -2，
故选C．
5．如果（x﹣y﹣2）（x﹣y＋1）＝0，那么x﹣y＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
【答案】C
【详解】
解：
或
或
故选：
6.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1或4 B．-1或-4 C．-1或4 D．1或-4
【答案】B
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得
故选B．
7.一元二次方程的根是_____.
【答案】x1=1, x2=2.
【详解】
x(x-2)-(x-2)=0，
，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1， x2=2，
故答案为x1=1， x2=2.
8.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
【详解】
解：解方程得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．21cnjy.com
9.若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．
【答案】-2
【详解】
解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
10.用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2
【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，
y+2＝0或2y﹣1＝0，
所以y1＝﹣2，y2；
11.解方程：2(x-3)=3x(x-3)．
【答案】.
【详解】
，
移项得：，
整理得：，
或，
解得：或．
【能力提升】
1.请你判断，的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
解：当x＞0时，，
解得：x1＝1；x2＝2；
当x＜0时，，
解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，
∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C．
2.若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．-2或4 B．4 C．-2 D．2或-4
【答案】B
【详解】
设=a，则原方程化为：，
∴，
（a-4）（a+2）=0，
解得，，
∴=4或-2，
当=-2时，方程无解，故舍去，
∴=4，
故选：B.
3.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可转化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：原方程可以化为，令，则原式可化为
故选：C
4.如图，已知A，B，C是数轴上异于原点 ( http: / / www.21cnjy.com )O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ ．
【答案】6
【解答】解：∵O是原点，且是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵B点表示的数是x，
∴A点表示的数是﹣x．
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），
解得：x1＝0，x2＝6．
∵B异于原点，
∴x≠0，
∴x＝6．
故答案为：6．
5.方程的根是______________________；
【答案】，．
【详解】
解：
或
，．
故答案是：，．
6.已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝_____．
【答案】5
【详解】
解：设t＝x2+y2（t≥0），则t（t﹣1）＝20．
整理，得（t﹣5）（t+4）＝0．
解得t＝5或t＝﹣4（舍去）．
所以x2+y2＝5．
故答案是：5．
7.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ．21世纪教育网版权所有
【答案】﹣3或4．
【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
8.解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1
【详解】
解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝2．
①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解；
∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
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21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
【知识梳理】
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4、求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
【基础训练】
1．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
2.若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
3．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
4．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
5．如果（x﹣y﹣2）（x﹣y＋1）＝0，那么x﹣y＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
6.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1或4 B．-1或-4 C．-1或4 D．1或-4
7.一元二次方程的根是_____.
8.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
9.若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．
10.用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2
11.解方程：2(x-3)=3x(x-3)．
【能力提升】
1.请你判断，的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．-2或4 B．4 C．-2 D．2或-4
3.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可转化为（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，已知A，B，C是数轴上异于 ( http: / / www.21cnjy.com )原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ ．
5.方程的根是______________________；
6.已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝_____．
7.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ．21世纪教育网版权所有
8.解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
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