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21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
【知识梳理】
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
【基础训练】
1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
3．一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．4 C．5 D．
4.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
5.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
6.已知关于的方程的根为，，则的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
7.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
8.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝ ．
9.已知，是方程的两个实数根，则_____．
10.已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________．
11.已知x=2是方程的一个根，求：
（1）m的值；
（2）的值．
【能力提升】
1.定义运算：．若是方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与有关
2.已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（ ）
A．-5 B．-3 C．-7 D．7
3.已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
4.方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为_____．
5.写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为3、﹣2．所写的一元二次方程为_____．21教育网
如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝ ．21cnjy.com
7.已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为 ．
8.已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
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21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
【知识梳理】
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
【基础训练】
1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
则()t＝ 1，，解得t＝，
即方程的另一个根为:．
故选B．
2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
3．一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【详解】
∵一元二次方程的两根分别为和，
∴，
故选：A．
4.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】
解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2 4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9 12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
5.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：A、x-1=0是一次方程，方程有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个实数根，故选项不合题意；
B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；
C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．
故选：C．21世纪教育网版权所有
6.已知关于的方程的根为，，则的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【答案】C
【详解】
解：∵关于的方程的根为，，
∴
∴，即b=-2，c=-12
∴．
故选：C．
7.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【答案】A
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
8.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝ ．
【答案】A
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4
9.已知，是方程的两个实数根，则_____．
【答案】7
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
＝32－2
＝7
故答案为：7
10.已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________．
【答案】
【详解】
解：设方程的另一个根为m，
根据题意得-2m=1，解得m=，即方程的另一个根是．
故答案为：．
11.已知x=2是方程的一个根，求：
（1）m的值；
（2）的值．
【答案】（1）2；（2）
【详解】
解：（1）把x=2代入，得
，
解得m=2
（2）将m=2代入，得
，
∴，
∴．
【能力提升】
1.定义运算：．若是方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与有关
【答案】A
【详解】
解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=1，，
∴=b（1-b）-a（1-a）=b-b2-a+a2=（a-b）（a+b-1）=0，
故选：A．
2.已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（ ）
A．-5 B．-3 C．-7 D．7
【答案】B
【详解】
根据原方程和一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
即．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟知韦达定理公式是解答本题的关键．
3.已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（ ）21教育网
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
【答案】C
【详解】
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6，ab=﹣n+1，
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
4.方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为_____．
【答案】1
【详解】
解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
5.写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为3、﹣2．所写的一元二次方程为_____．21cnjy.com
【答案】x2﹣x﹣6＝0
【详解】
解：∵二次项系数为1，
∴设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵两根分别为3和﹣2．
∴p＝﹣（3﹣2）＝﹣1，q＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴这个方程为：x2﹣x﹣6＝0．
故答案为：x2﹣x﹣6＝0．
如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝ ．21·cn·jy·com
【答案】2032．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
7.已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为 ．
【答案】10.
【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴β＝3，1，1，
∴原式＝13β＝1+3（β）＝1+3×3＝10，
故答案为10．
8.已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
【答案】（1）3；（2）．
【详解】
解：（1）∵1是关于的一元二次方程的一个根，
∴设α是关于的一元二次方程的另一个根，
∴1+α=4，
∴α=3，
∴关于的一元二次方程的另一个根是3；
（2）∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
又∵=3
而且，
∴=，
∴＜3，
∴的值是．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x22m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．
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