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21.3 实际问题与一元二次方程
【知识梳理】
列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似:
“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系;
“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;
“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。
“解”就是求出说列方程的解;
“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。
【基础训练】
1.2018年7月,郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站,2020年全省已累计建成5G基站万个,规划到2022年5G基站数量将达到万个.设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为,可列方程为( ).21教育网
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】解:设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为,
由题意得:.故选:D.
2.某种植物的主干长出若干数目的支干, ( http: / / www.21cnjy.com )每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是31,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中符合题意的是( )
A.1+x2=31 B.1+x+x2=31 C.x+x2=31 D.(1+x)2=31
【答案】B
【详解】解:设每个支干长出x根小分支,根据题意可得:1+x+x2=31故选:B.
3.原定于2020年10月在 ( http: / / www.21cnjy.com )昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会,因疫情推迟到2021年5月举办,为喜迎“COP15”,某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览,为美化画面,要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图),若设彩纸的宽度为xcm,根据题意可列方程( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
依题意得:,
即;
故选:A.
4.某药品经过两次提价,每瓶零售价由81元提为100元.已知两次提价的百分率都为,那么满足的方程是 ( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
解:设两次提价的百分率均是x,由题意得:
x满足方程为81(1+x)2=100.
故选:A.
5.电影《我和我的祖国》一上映,第一 ( http: / / www.21cnjy.com )天票房约3亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达10亿元,若增长率记作x,方程可以列为( )
A.3(1+x)=10 B.3 (1+x)2=10
C.3+3(1+x)2=10 D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10
【答案】D
【详解】
解:设平均每天票房的增长率为x,
根据题意得:3+3(1+x)+3(1+x)2=10.
故选:D.
6.2020年,新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心.某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播,规则为:将倡议书发表在自己的朋友圈,再邀请个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书,又邀请个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有931人参与了传播活动,则方程列为( )www.21-cn-jy.com
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
由题意,设邀请了n个好友转发倡议书,第一轮传播了n个人,第二轮传播了n2个人,
根据两轮传播后,共有931人参与列出方程,
得n2+n+1=931,
故选: C.
7.一个两位数的两个数字的和 ( http: / / www.21cnjy.com )为9,把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数,它与原两位数的积为1458,设原两位数的个位数字为x,则可列方程( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
解:由题意得:原两位数的十位数字为9-x,则有,
;
故选C.
8.如图所示,在一边靠墙( ( http: / / www.21cnjy.com )墙足够长)的空地上,修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库,仓库一边靠墙,另三边用总长为55米的栅栏围成,若设栅栏AB的长为x米,则下列各方程中,符合题意的是( )21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A.x(55﹣x)=375 B.x(55﹣2x)=375
C.x(55﹣2x)=375 D.x(55﹣x)=375
【答案】A
【详解】
解:设栅栏AB的长为x米,则AD=BC=米,
根据题意可得,x(55﹣x)=375,
故选:A.
9.为防止疫情扩散,佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一,某工厂为了能给市场提供充足的口罩,第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋,设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为,则可列方程为( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
解:依题意得67500(1+x)2=90000,
故选:B.
10.如图,在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为整个矩形面积的,设道路的宽为x米,则可列方程为_____.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】(18﹣x)(24﹣x)=×18×24
【详解】
解:设道路的宽为x,根据题意得:(18﹣x)(24﹣x)=×18×24.
故答案是:(18﹣x)(24﹣x)=×18×24.
11.一种药品经过2次降价,药价从每盒80元下调至51.2元,设平均每次降价的百分率为,则可列方程为______.www-2-1-cnjy-com
【答案】
【详解】
解:依题意得:80(1-x)2=51.2,
故答案为:80(1-x)2=51.2.
12.收官之年,为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果,夯实增收基石,壮大产业“龙头”.某火龙果果园去年栽种果树600株,现计划扩大栽种面积,使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数,这样,三年(包括去年)的总栽种量为2503,求这个相同的百分数.若设这个相同的百分数为,则根据题意,可列方程为________.2-1-c-n-j-y
【答案】
【详解】解:根据题意,得今年的栽种量为,明年的栽种量为,
∴三年的总栽种量为:.
∴.
故答案为:.
13.2020年12月25日, ( http: / / www.21cnjy.com )太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营,历时四年9个月的建设后,太原人终于能乘坐自己的地铁了.在2号线轨道铺设作业中,为了提前完成铺轨任务,采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机,使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米,原计划300天的铺轨任务,仅用了120天就全部完成. 21*cnjy*com
(1)求原计划每天铺设轨道多少米?
(2)图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图,整幅图是在两张风景区图片的基础上,四周镶以宽度相等的木质框架而成.若两张风景区图片的长都为3米,宽都为2米,镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的.求镶上的木质框架的宽为多少米?【来源:21cnj*y.co*m】
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图1 图2
【答案】(1)80米;(2)0.2米
【详解】解:(1)设原计划每天铺设轨道x米.
根据题意,得300x=120(x+120). 解得x=80.
答:原计划每天铺设轨道80米;
(2)设镶上的木质框架的宽为y米.
根据题意,得.
解得y1=-3.2(不合题意,舍去),y2=0.2.
答:镶上的木质框架的宽度为0.2米.
【能力提升】
1.如图,在中,,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为,点Q的速度为,点Q移动到C点后停止,点P也随之停止运动,当的面积为时,则点P运动的时间是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B.或 C. D.
【答案】A
【详解】
解:设动点P,Q运动t秒,能使的面积为,
则BP为(8-t)cm,BQ为2tcm,由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15,
解得t1=3,t2=5(当t2=5,BQ=10,不合题意,舍去)
∴动点P,Q运动3秒,能使的面积为.
故选A.
2.某产品成本价为100万元,由于改进技术,成本连续降低,每次降低%,连续两次降低后成本为64万元,则的值为( )【出处:21教育名师】
A.10 B.15 C.18 D.20
【答案】D
【详解】
解:设平均每次降低成本的百分率为x%,根据题意得100(1-x%)(1-x%)=64,
解得x=20或180(不合题意,舍去)
故选:D.
3.十进制数2378,记作,其实,二进制数.有一个(为整数)进制数,把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍,则( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】D
【详解】解:由题意得:3(k2+6k+5)=5k2+6k+1,解得:k=7或k=-1(舍去).
故选:D.
4.一个小球以速度开始向前滚动,并且均匀减速,后小球停止滚动.小球滚动约用了________秒(结果保留小数点后一位)【版权所有:21教育】
【答案】1.2.
【详解】
由题意得:小球的平均滚动速度是,
设小球滚动5时约用了,
由题意得:,
整理得:,
解得:,
∵,
∴,
故小球滚动用了1.2秒.
5.某企业年初受疫情影响, ( http: / / www.21cnjy.com )第一季度的销售额为400万元,由于我国控制疫情措施得力,该企业第二、三季度销售额连续增长,第三季度销售额达到了900万元,则二、三季度的平均增长率为__________.2·1·c·n·j·y
【答案】
【详解】
设平均增长率为x,根据题意可列出方程为:400(1+x) 2=900.
解得:(1+x) 2=
所以1+x= ±1.5.
所以x1=0.5,x2=-2.5(舍去)
故x=0.5=50%.
即:则二、三季度的平均增长率为50%,
故答案为:50%.
6.已知个连续整数的和为,它们的平方和是,且.则____.
【答案】15或18
【详解】
解:设这3个连续整数为x,x+1,x+2,由题意得:
,,
∴,,
∵,
∴,化简得:,
解得:,
故答案为15或18.
7.已知:如图所示,在中,,,,点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动.当P、Q两点中有一点到达终点,则同时停止运动.【来源:21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,的面积等于?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于?
(3)的面积能否等于?请说明理由.
【答案】(1)1秒;(2)3秒;(3)不能,理由见解析
【详解】
解:(1)设经过x秒以后,面积为,
此时,,,
由得,
整理得:,
解得:或舍,
答:1秒后的面积等于 ;
(2)设经过t秒后,PQ的长度等于
由,
即,
解得:t=3或-1(舍),
∴3秒后,PQ的长度为;
(3)假设经过t秒后,的面积等于,
即,,
整理得:,
由于,
则原方程没有实数根,
∴的面积不能等于.
8.(发现问题)
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系:.
( http: / / www.21cnjy.com )
(提出问题)对于任意一个矩形,是否一定存在矩形,使得成立?
(解决问题)(1)对于图2所示的矩形乙,是否存在矩形丙(可设两条邻边长分别为和),使得成立.若存在,求出矩形丙的两条邻边长;若不存在,请说明理由;
(2)矩形两条邻边长分别为和1,若一定存在矩形,使得成立,求的取值范围;
(3)请你回答小聪提出来的问题.若一定存在,请说明理由;若不一定存在,请直接写出矩形两条邻边长满足什么条件时一定存在矩形.21世纪教育网版权所有
【答案】(1)不存在,理由见解析;(2);(3)不一定存在,a、b满足
【详解】解:(1)要使成立则,
,
,,方程无解不存在;
(2)设矩形B的两边长分别为则有
消去得,得
解得:的取值范围为:;
(3)设矩形B的两边长分别为,则消去得
令即
不一定存在,当满足时存在矩形B.
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21.3 实际问题与一元二次方程
【知识梳理】
列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似:
“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系;
“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;
“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。
“解”就是求出说列方程的解;
“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。
【基础训练】
1.2018年7月,郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站,2020年全省已累计建成5G基站万个,规划到2022年5G基站数量将达到万个.设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为,可列方程为( ).21cnjy.com
A. B.
C. D.
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每 ( http: / / www.21cnjy.com )个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是31,设每个支干长出x个小分支,则下列方程中符合题意的是( )
A.1+x2=31 B.1+x+x2=31 C.x+x2=31 D.(1+x)2=31
3.原定于2020年10月在昆 ( http: / / www.21cnjy.com )明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会,因疫情推迟到2021年5月举办,为喜迎“COP15”,某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览,为美化画面,要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图),若设彩纸的宽度为xcm,根据题意可列方程( )
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A. B.
C. D.
4.某药品经过两次提价,每瓶零售价由81元提为100元.已知两次提价的百分率都为,那么满足的方程是 ( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
5.电影《我和我的祖国》 ( http: / / www.21cnjy.com )一上映,第一天票房约3亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达10亿元,若增长率记作x,方程可以列为( )
A.3(1+x)=10 B.3 (1+x)2=10
C.3+3(1+x)2=10 D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10
6.2020年,新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心.某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播,规则为:将倡议书发表在自己的朋友圈,再邀请个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书,又邀请个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有931人参与了传播活动,则方程列为( )【来源:21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
7.一个两位数的两个数字的 ( http: / / www.21cnjy.com )和为9,把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数,它与原两位数的积为1458,设原两位数的个位数字为x,则可列方程( )
A. B.
C. D.
8.如图所示,在一边靠墙(墙足够长) ( http: / / www.21cnjy.com )的空地上,修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库,仓库一边靠墙,另三边用总长为55米的栅栏围成,若设栅栏AB的长为x米,则下列各方程中,符合题意的是( )21·世纪*教育网
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A.x(55﹣x)=375 B.x(55﹣2x)=375
C.x(55﹣2x)=375 D.x(55﹣x)=375
9.为防止疫情扩散,佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一,某工厂为了能给市场提供充足的口罩,第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋,设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为,则可列方程为( )2-1-c-n-j-y
A. B.
C. D.
10.如图,在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为整个矩形面积的,设道路的宽为x米,则可列方程为_____.
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11.一种药品经过2次降价,药价从每盒80元下调至51.2元,设平均每次降价的百分率为,则可列方程为______.21教育网
12.收官之年,为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果,夯实增收基石,壮大产业“龙头”.某火龙果果园去年栽种果树600株,现计划扩大栽种面积,使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数,这样,三年(包括去年)的总栽种量为2503,求这个相同的百分数.若设这个相同的百分数为,则根据题意,可列方程为________.21*cnjy*com
13.2020年12月25日,太原 ( http: / / www.21cnjy.com )市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营,历时四年9个月的建设后,太原人终于能乘坐自己的地铁了.在2号线轨道铺设作业中,为了提前完成铺轨任务,采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机,使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米,原计划300天的铺轨任务,仅用了120天就全部完成. 【来源:21cnj*y.co*m】
(1)求原计划每天铺设轨道多少米?
(2)图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图,整幅图是在两张风景区图片的基础上,四周镶以宽度相等的木质框架而成.若两张风景区图片的长都为3米,宽都为2米,镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的.求镶上的木质框架的宽为多少米?【出处:21教育名师】
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图1 图2
【能力提升】
1.如图,在中,,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为,点Q的速度为,点Q移动到C点后停止,点P也随之停止运动,当的面积为时,则点P运动的时间是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B.或 C. D.
2.某产品成本价为100万元,由于改进技术,成本连续降低,每次降低%,连续两次降低后成本为64万元,则的值为( )www.21-cn-jy.com
A.10 B.15 C.18 D.20
3.十进制数2378,记作,其实,二进制数.有一个(为整数)进制数,把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍,则( )
A.10 B.9 C.8 D.7
4.一个小球以速度开始向前滚动,并且均匀减速,后小球停止滚动.小球滚动约用了________秒(结果保留小数点后一位)21世纪教育网版权所有
5.某企业年初受疫情影响,第一 ( http: / / www.21cnjy.com )季度的销售额为400万元,由于我国控制疫情措施得力,该企业第二、三季度销售额连续增长,第三季度销售额达到了900万元,则二、三季度的平均增长率为__________.2·1·c·n·j·y
6.已知个连续整数的和为,它们的平方和是,且.则____.
7.已知:如图所示,在中,,,,点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动.当P、Q两点中有一点到达终点,则同时停止运动.【版权所有:21教育】
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(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,的面积等于?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于?
(3)的面积能否等于?请说明理由.
8.(发现问题)
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系:.
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(提出问题)对于任意一个矩形,是否一定存在矩形,使得成立?
(解决问题)(1)对于图2所示的矩形乙,是否存在矩形丙(可设两条邻边长分别为和),使得成立.若存在,求出矩形丙的两条邻边长;若不存在,请说明理由;
(2)矩形两条邻边长分别为和1,若一定存在矩形,使得成立,求的取值范围;
(3)请你回答小聪提出来的问题.若一定存在,请说明理由;若不一定存在,请直接写出矩形两条邻边长满足什么条件时一定存在矩形.www-2-1-cnjy-com
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