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21.3 实际问题与一元二次方程
【知识梳理】
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
【基础训练】
1.2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站万个，规划到2022年5G基站数量将达到万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，可列方程为（ ）．21教育网
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，
由题意得：．故选：D．
2.某种植物的主干长出若干数目的支干， ( http: / / www.21cnjy.com )每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【详解】解：设每个支干长出x根小分支，根据题意可得：1＋x＋x2＝31故选：B．
3．原定于2020年10月在 ( http: / / www.21cnjy.com )昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
依题意得：，
即；
故选：A．
4．某药品经过两次提价，每瓶零售价由81元提为100元．已知两次提价的百分率都为，那么满足的方程是 （ ）21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：设两次提价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为81（1+x）2=100．
故选：A．
5．电影《我和我的祖国》一上映，第一 ( http: / / www.21cnjy.com )天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【答案】D
【详解】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
6．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，
根据两轮传播后，共有931人参与列出方程，
得n2+n+1=931，
故选： C.
7.一个两位数的两个数字的和 ( http: / / www.21cnjy.com )为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，
；
故选C．
8．如图所示，在一边靠墙（ ( http: / / www.21cnjy.com )墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】A
【详解】
解：设栅栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，x（55﹣x）＝375，
故选：A．
9.为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（ ）21cnjy.com
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，
故选：B．
10.如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24
【详解】
解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
11.一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．www-2-1-cnjy-com
【答案】
【详解】
解：依题意得：80（1-x）2=51.2，
故答案为：80（1-x）2=51.2．
12.收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为，则根据题意，可列方程为________．2-1-c-n-j-y
【答案】
【详解】解：根据题意，得今年的栽种量为，明年的栽种量为，
∴三年的总栽种量为：．
∴．
故答案为：．
13.2020年12月25日， ( http: / / www.21cnjy.com )太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． 21*cnjy*com
（1）求原计划每天铺设轨道多少米？
（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
【答案】（1）80米；（2）0.2米
【详解】解：（1）设原计划每天铺设轨道x米．
根据题意，得300x=120（x+120）． 解得x=80．
答：原计划每天铺设轨道80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．
根据题意，得．
解得y1=-3.2（不合题意，舍去），y2=0.2．
答：镶上的木质框架的宽度为0.2米．
【能力提升】
1.如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．或 C． D．
【答案】A
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
2.某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低%，连续两次降低后成本为64万元，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】D
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x%，根据题意得100（1-x%）（1-x%）=64，
解得x=20或180（不合题意，舍去）
故选：D．
3.十进制数2378，记作，其实，二进制数．有一个（为整数）进制数，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【详解】解：由题意得：3（k2+6k+5）=5k2+6k+1，解得：k=7或k=-1（舍去）．
故选：D．
4.一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）【版权所有：21教育】
【答案】1.2．
【详解】
由题意得：小球的平均滚动速度是，
设小球滚动5时约用了，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
故小球滚动用了1.2秒．
5.某企业年初受疫情影响， ( http: / / www.21cnjy.com )第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．2·1·c·n·j·y
【答案】
【详解】
设平均增长率为x，根据题意可列出方程为:400(1+x) 2=900.
解得:(1+x) 2=
所以1+x= ±1.5.
所以x1=0.5，x2=-2.5(舍去)
故x=0.5=50%.
即:则二、三季度的平均增长率为50%，
故答案为：50%.
6.已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____．
【答案】15或18
【详解】
解：设这3个连续整数为x，x+1，x+2，由题意得：
，，
∴，，
∵，
∴，化简得：，
解得：，
故答案为15或18．
7.已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【详解】
解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
8.（发现问题）
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：．
( http: / / www.21cnjy.com )
（提出问题）对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？
（解决问题）（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为和），使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；
（2）矩形两条邻边长分别为和1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围；
（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长满足什么条件时一定存在矩形．21世纪教育网版权所有
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）；（3）不一定存在，a、b满足
【详解】解：（1）要使成立则，
，
，，方程无解不存在；
（2）设矩形B的两边长分别为则有
消去得，得
解得：的取值范围为：；
（3）设矩形B的两边长分别为，则消去得
令即
不一定存在，当满足时存在矩形B．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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21.3 实际问题与一元二次方程
【知识梳理】
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
【基础训练】
1.2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站万个，规划到2022年5G基站数量将达到万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，可列方程为（ ）．21cnjy.com
A． B．
C． D．
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每 ( http: / / www.21cnjy.com )个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
3．原定于2020年10月在昆 ( http: / / www.21cnjy.com )明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
4．某药品经过两次提价，每瓶零售价由81元提为100元．已知两次提价的百分率都为，那么满足的方程是 （ ）21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
5．电影《我和我的祖国》 ( http: / / www.21cnjy.com )一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
6．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
7.一个两位数的两个数字的 ( http: / / www.21cnjy.com )和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长） ( http: / / www.21cnjy.com )的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）21·世纪*教育网
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A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
9.为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
10.如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
11.一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．21教育网
12.收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为，则根据题意，可列方程为________．21*cnjy*com
13.2020年12月25日，太原 ( http: / / www.21cnjy.com )市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求原计划每天铺设轨道多少米？
（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
【能力提升】
1.如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
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A． B．或 C． D．
2.某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低%，连续两次降低后成本为64万元，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．10 B．15 C．18 D．20
3.十进制数2378，记作，其实，二进制数．有一个（为整数）进制数，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
4.一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）21世纪教育网版权所有
5.某企业年初受疫情影响，第一 ( http: / / www.21cnjy.com )季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．2·1·c·n·j·y
6.已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____．
7.已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．【版权所有：21教育】
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（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
8.（发现问题）
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：．
( http: / / www.21cnjy.com )
（提出问题）对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？
（解决问题）（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为和），使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；
（2）矩形两条邻边长分别为和1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围；
（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长满足什么条件时一定存在矩形．www-2-1-cnjy-com
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