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22.2 二次函数与一元二次方程
【知识梳理】
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21世纪教育网版权所有
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
【基础训练】
1.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）21教育网
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C．或 D．
4.已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0
5.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
6.如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
7.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___．
8.二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．2·1·c·n·j·y
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9.若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
( http: / / www.21cnjy.com )
11.已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
【能力提升】
1.已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知二次函数y＝ax2+b ( http: / / www.21cnjy.com )x+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q
3.若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）21·世纪*教育网
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
4.将二次函数y＝﹣x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
5.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6.已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
7.已知抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣4
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2＋x﹣2＞0.
解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集，
等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画 ( http: / / www.21cnjy.com )出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞121cnjy.com
∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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22.2 二次函数与一元二次方程
【知识梳理】
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21教育网
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
【基础训练】
1.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）21世纪教育网版权所有
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【详解】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
2．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
【答案】A
【详解】
试题提示：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，【来源：21·世纪·教育·网】
故答案选A．
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C．或 D．
【详解】
解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0），
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5，
故选：C．
4.已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0
【详解】
∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴即解得
故选C．
5.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
【详解】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，
故选：D．
6.如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
【详解】
根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把转化为
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点.
即方程无解.
故选C.
7.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___．
【答案】0或1
【详解】
提示：需要分类讨论：
①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，
根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．
∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点．
8.二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】x< 1或x>5.
【详解】
抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为( 1,0)，
所以不等式 x2+bx+c<0的解集为x< 1或x>5.
故答案为x< 1或x>5.
9.若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
【答案】4．
【详解】
解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．
故答案为4．
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】－1＜x＜3
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
11.已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
【详解】
（1）证明：令y=0,则,
∵△=
=
=
∵≥0,
∴＞0
∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点.
(2).∵对称轴为x=，
∴k=2
∴解析式为
【能力提升】
1.已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
解：如图：
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利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
2.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a ( http: / / www.21cnjy.com )＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（ ）21cnjy.com
A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q
【详解】解：依据题意y＝ax2+bx+c的大致图象如下图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，
则C、D的横坐标为m，n，
故m＜p＜q＜n，
故选：C．
3.若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）21·cn·jy·com
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
【答案】D
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，21·世纪*教育网
∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4，故选：D．
4.将二次函数y＝﹣x2+2x ( http: / / www.21cnjy.com )+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【详解】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x ( http: / / www.21cnjy.com )+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，2-1-c-n-j-y
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b，21*cnjy*com
所以b的值为﹣3或，
故选：A．
5.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）【出处：21教育名师】
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点∴>0∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴，∴
由图象得，当时，，∴∴，故③正确；
④当时，的值最大，∴当时，>，
∴（），∵b＞0，∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，
故选：A
6.已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
【答案】4或-2
【详解】∵二次函数的图像经过点与，
∴ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，
∵方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，
∴方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，
∴关于的方程的两个整数根是4或-2，
故答案为： 4或-2．
7.已知抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣4
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2＋x﹣2＞0.
解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集，
等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐 ( http: / / www.21cnjy.com )去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1【版权所有：21教育】
∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1） ＝(2a)2﹣4×(﹣)×(﹣4)＝4a2﹣8，
①当抛物线和x轴没有交点时，则 ＜0，即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；
②当抛物线和x轴有一个交点时，则 ＝0，即4a2﹣8＝0，解得a＝；
③当抛物线和x轴有两个交点时，则 ＞0，即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；
综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣
（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
①当﹣2则﹣m2＋2m﹣4﹣(﹣10)＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；
②∵对称轴为直线x＝2，∴与横坐标对称点的横坐标为2+4=6，
当2＜m≤6时，y最大＝﹣×22＋2×2﹣4＝﹣2，y最小＝﹣×(﹣2)2＋2×(﹣2)﹣4＝﹣10，
则﹣2﹣(﹣10)＝4m，解得m＝2（舍去）；
③当m＞6时，y最大＝﹣×22＋2×2﹣4＝﹣2，y最小＝﹣m2＋2m﹣4，
则﹣2﹣(﹣m2＋2m﹣4)＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6＋4，
综上，实数m的值为2或6＋4．
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