2022-2023学年高一数学北师大版（2019）必修一 第七章 概率[课时练习]（Word含答案）

第七章概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
以下现象不是随机现象的是( )
A. 抛掷一枚硬币，出现反面 B. 某人买彩票中奖
C. 标准大气压下，水加热到 D. 明天下雨
掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是( )
A. B. C. D.
下列事件中，是必然事件的是( )
A. 对任意实数x，有
B. 某人练习射击，击中10环
C. 从装有1号，2号，3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D. 某人购买彩票中奖
有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有( )
A. 10个 B. 8个 C. 7个 D. 6个
事件A与事件B的关系如图所示，则( )
A. B. C. A与B互斥 D. A与B互为对立事件
下列说法中正确的是( )
A. 若事件A与事件B是互斥事件，则
B. 若事件A与事件B满足条件：，则事件A与事件B是对立事件
C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列两个事件是对立事件的是( )
A. “至少1名男生”与“至少1名女生” B. “恰好1名男生”与“恰好2名女生”
C. “至少1名男生”与“全是男生” D. “至少1名男生”与“全是女生”
甲、乙两个元件构成一串联电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该电路故障的事件为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是( )
A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是
A. 如果，那么，
B. 如果A与B互斥，那么，
C. 如果A与B相互独立，那么，
D. 如果A与B相互独立，那么，
甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是( )
A.
甲不输的概率
B.
乙不输的概率
C.
乙获胜的概率
D.
乙输的概率
若A，B为互斥事件，，分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是( )
A.

B.
C.

D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
甲乙两人独立破译一份密码，若甲破译的成功率为，乙破译的成功率为，则密码破译成功的概率等于__________.
下列说法中：不可能事件发生的概率为随机事件发生的概率为
概率很小的事件不可能发生 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次，其中说法不正确的是__________填写序号
某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2500套座椅中大约有__________套次品.
天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点或2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组．得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是__________；三天中有两天下雨的概率的近似值为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.
求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
求该选手至多进入第二轮考核的概率.
本小题分
某商店欲购进某种商品，且每天购进一次，根据市场调查，该商品每件进价10元，售价15元，如果下午5点前没有售完，则按每件8元价格促销，且每天都能促销完.现对该商品100天下午5点前的销售量进行了统计，相关数据见表：
销售量份 15 16 17 18 19 20
天数 10 15 25 25 15 10
根据该商品100天下午5点前的销售量统计表，求平均每天下午5点前销售多少份？
视样本频率为概率，以一天内该商品所获得的利润平均值为决策依据，此商店一次性购进17份或18份，哪一种得到的利润更大？
本小题分
设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是
试分别求出事件B和事件C发生的概率；
试求A、B、C只有一个发生的概率．
本小题分
某班数学兴趣小组有男生3名，分别记为，，，女生2名，分别记为，，现从中任选2人去参加校数学竞赛.
请写出所有可能的结果;
求参赛学生中恰有1名男生的概率;
求参赛学生中至少有1名男生的概率.
本小题分
甲 乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为和求：
两人都译出的概率；
两人中至少一人译出的概率；
至多有一人译出的概率.
本小题分
已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个.
从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率；
从中一次取2个不同的球，试列出所有基本事件；并求至少有一个是红球概率.
从中取2次，每次取1个球，在放回的条件下求至少有一个是红球概率.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了随机现象的概念，属于基础题.
根据随机现象的概念逐一判断即可得解.
【解答】
解：由随机现象的概念可知A、B、D都是随机现象，C为确定性现象.
故选：

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，属于基础题．
简化模型，只考虑第999次出现的结果，有两种结果，第999次出现正面朝上只有一种结果，即可求出．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，
有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
故所求概率为，
故选：

3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查必然事件的概念与判定，属基础题.
根据必然事件的概念，考察必然发生的事件，即为所选项.
【解答】
解：选项中的事件都不确定发生，因此都不是必然事件；
A选项，当时，总有发生，是必然事件.
故选：

4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查有限样本空间和随机事件个数的确定，属于基础题.
结合题意先列举出有限样本空间，再结合题目要求"首尾相接能构成三角形"在样本空间中确定能构成三角形的样本个数.
【解答】
解：由题知该试验的样本空间为，共包含10个样本点，
其中满足“首尾相接能构成三角形”的样本点有，，，，，，，共7个.
故选

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的韦恩图表示法，正确理解图示阴影部分表示的集合是解答的关键，属于基础题．
由韦恩图可知，，且，判断各选项即可．
【解答】
解：由韦恩图可知，，且，只有C正确，
故选

6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由互斥事件和对立事件的概念可判断结论．
【解答】
解：在A中，若事件A与事件B是互斥事件，则，故A错误；
在B中，若事件A与事件B满足条件：，则事件A与事件B不一定是对立事件，故B错误；
在C中，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”能同时发生，不是对立事件，故C错误；
在D中，把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，
由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，故D正确．
故选：

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，属于基础题．
逐项分析选项中两个事件的关系.
【解答】
解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，
在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；
在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．
故选

8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查电路故障的事件的求法，考查串联电路的性质、事件的并、事件的交等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由串联电路性质得：电路故障为甲或乙两个元件至少一个发生故障．
【解答】
解：甲、乙两个元件构成一串联电路，
设“甲元件故障”，“乙元件故障“，
则串联电路故障为甲元件发生故障或者乙元件发生故障，
表示电路故障的事件为
故选：

9.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，是基础题.
对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.
【解答】
解：A项，甲同学仅随机选一个选项，有A、B、C、D四种情况，
能得3分的有C或D，有2种，所以能得3分的概率是，正确；
B项，乙同学仅随机选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，
能得5分的情况为CD只有1种情况，所以能得5分的概率是，正确；
C项，丙同学随机选择选项，选一个选项，有A、B、C、D共4种情况；
选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；
选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，
选四个选项有ABCD共1种，所以共有种情况，
能得分有C、D、CD共3种情况，所以能得分的概率是，正确；
D项，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；
选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，
所以共有种情况，
能得分有CD共1种情况，所以能得分的概率是，错误.
故选

10.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，属于基础题．
根据互斥事件的概率计算公式以及相互独立事件的概念，结合概率的基本性质，即可逐项判断出结果．
【解答】
解：因为，
选项A：如果，那么，，故A错误；
选项B：如果A与B互斥，说明事件A与B不可能同时发生，那么，，故B正确；
选项C：如果A与B相互独立，说明事件A的发生与否与事件B的发生与否互不影响，
那么，
，故C错误；
选项D：如果A与B相互独立，说明事件A的发生与否与事件B的发生与否互不影响，
那么，，故D正确．
故选

11.【答案】ABCD
【解析】
【分析】
本题主要考查互斥事件，对立事件的概率公式的应用，属于基础题.
根据甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，利用互斥事件概率加法公式，对立事件的概率公式求解.
【解答】
解：因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，
所以甲不输的概率，故A正确；
所以乙不输的概率，故B正确；
所以乙获胜的概率，故C正确；
所以乙输的概率即为甲获胜的概率是，故D正确；
故选：ABCD

12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查了互斥事件的概率关系，属基础题.
根据互斥事件的概念即可求得.
【解答】
解：互斥事件不可能同时发生，且互斥不一定对立，所以BCD正确.
故选：

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立事件的概率乘法公式，属于基础题.
密码破译成功有三类不同情况：甲成功乙失败、甲失败乙成功、甲成功乙成功，且甲乙破译密码是相互独立的，所以根据概率的加法公式和相互独立事件的定义即可求解.
【解答】
解：设事件A表示“甲独立破译密码成功”，设事件B表示“乙独立破译密码成功”，
则
根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得密码破译成功的概率为：
故答案为

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为；概率是频率多个的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现.必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率
根据概率的意义和必然发生的事件的概率、不可能发生事件的概率，对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．
【解答】
解：、不可能事件发生的概率为0，所以选项正确；
、随机事件发生的概率P：，所以选项错误；
、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以选项错误；
、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数可能为500次，所以选项错误．
故答案为、、

15.【答案】50
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用频率估计总体，属于基础题.
设有n套次品，则，进而可得解.
【解答】
解：设有n套次品，则，解得，
所以该厂所生产的2500套座椅中大约有50套次品.
故答案为

16.【答案】

【解析】
【分析】
先找出10组数据中有几组表示3天中有2 天下雨，再利用古典概型的概率公式即可求出结果．
本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．
【解答】
解：每个骰子有6个点数，出现1或2为下雨天，则每天下雨的概率为，
10组数据中，114，251，表示3天中有2 天下雨，
从得到的10组随机数来看，3天中有2天下雨的有2组，则3天中有2天下雨的概率近似值为：，
故答案为：

17.【答案】解：记“该选手正确回答第i轮问题”为事件，则，，
该选手进入第三轮才被淘汰的概率为
该选手至多进入第二轮考核的概率为

【解析】本题考查互斥、对立、独立事件概率的求解，属于基础题．
记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为 ，由题意得 ，，，则该选手进入第三轮才被淘汰的概率为求解即可；
该选手至多进入第二轮考核的可能情况有两种，运用公式即可求解.
18.【答案】解：由表中数据，
计算，
所以平均每天下午5点前销售份；
当购进17份时，若当天5点前销售量为15份，
则利润为元，此时概率为；
若当天5点前销售量为16份，则利润为 元，此时概率为；
若当天5点前销售量为17，18，19，20份时，则利润为 元，此时概率为；
此时利润的平均值为元．
当购进18份时，若当天5点前销售量为15份，
则利润为 元，此时概率为；
若当天5点前销售量为16份，则利润为 元，此时概率为；
若当天5点前销售量为17份，则利润为 元，此时概率为；
若当天5点前销售量为18，19，20份时，则利润为 元，此时概率为；
此时利润的平均值为元．
所以当天应该购进18份平均利润更大．
【解析】由表中数据计算加权平均值即可；
讨论当购进17份时利润的平均值和购进18份时利润的平均值，比较大小即可得出结论．
本题考查了平均数的计算问题，也考查了概率与利润的计算问题，以及数据分析与运算能力，是中档题．
19.【答案】解：设事件B发生的概率为，事件C发生的概率为
则，
解得或，
故事件B、C发生的概率分别为，或，
由知，当，时，
A、B、C只有一个发生的概率
当，时，同理可知，A、B、C只有一个发生的概率
故A、B、C只有一个发生的概率为
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
设事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，可得，解方程组即可求得结果；
根据题意利用A、B、C只有一个发生的概率，即可求得结果.
20.【答案】解：所有可能的结果为，，，，，，，，，，共10种.
用A表示事件“参赛学生中恰有1名男生”，则事件A包含的基本事件有，，，，，，共6个，故
用B表示事件“参赛学生中至少有1名男生”，则事件B包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个，故

【解析】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
任选2名学生去参加校数学竞赛，利用列举法能写出所有可能的结果;
参赛学生中恰有一名男生，包含的基本事件的情况为6种，由此能求出参赛学生中恰有一名男生的概率;
参赛学生中至少有一名男生，包含的基本事件的情况为9种，由此能求出参赛学生中至少有一名男生的概率．
21.【答案】解：甲、乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为和
两人都译出的概率为：
两人中至少一人译出的概率为：
至多有一人译出的概率：

【解析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出两人都译出的概率．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出两人中至少一人译出的概率．
利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出至多有一人译出的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力．
22.【答案】解：从6只球中任取1球得红球有2种取法，得黑球有3种取法，
得红球或黑球的共有种不同取法，任取一球有6种取法，
所以任取1球得红球或黑球的概率为
将红球编号为红1，红2，黑球编号为黑1，黑2，黑3，
则一次任取2个球的所有基本事件为：
红1红2，红1黑1，红1黑2，红1黑3，红1白，红2白，红2黑1，红2黑2，
红2黑3，黑1黑2，黑1黑3，黑1白，黑2黑3，黑2白，黑3白，
从6只球中不放回的取两球一共有15种取法，
其中至少有一个红球的取法共有9种，
所以其中至少有一个红球概率为
从6只球中放回式的取两球一共有种取法，
其中至少有一个红球的取法共有种，
所以其中至少有一个红球概率为
【解析】从6只球中任取1球得红球有2种取法，得黑球有3种取法，得红球或黑球的共有种不同取法，任取一球有6种取法，由此能求出任取1球得红球或黑球的概率．
将红球编号为红1，红2，黑球编号为黑1，黑2，黑3，一次任取2个球，利用列举法能求出其中至少有一个红球概率．
从6只球中放回式的取两球一共有36种取法，其中至少有一个红球的取法共有20种，由此能求出其中至少有一个红球概率．
本题考查概率的求法，古典概型、列举法等基础知识，考查运算能力，是中档题．