2022—2023学年北师大版八年级数学上册 1.1探索勾股定理 同步测试 (word版含答案)

北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理 同步测试
一．选择题
1．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则以AB为边长的正方形的面积为（ ）
A．36 B．64 C．40 D．100
2．如图，字母A所代表的正方形的面积是（　　）
A．12 B．13 C．25 D．194
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、6、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．14 B．34 C．58 D．72
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．2．4
6． 如图，在△ABC中，AB⊥AC，BD是AC边上的中线，AB＝5 cm，AD＝6 cm，则BC的长是(　　)
A．13 cm B．12 cm C．169 cm D．61 cm
7．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
8．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
9．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格网中，点A，B都是格点，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝4
二．填空题
11．在Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为 　 　．
12．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 　 　．
13． 在学校的长方形球场上，一学生要从B点走到D点，则他至少要走________．
14． 甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线交于点O．若AD＝7，BC＝9，则AB2+CD2＝　 　．
16．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为　 　．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为 　 　．
18．如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方形E的边长为10，则正方形A，B，C，D的面积之和为 　 　．
三．解答题
19．如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，点A，点B均为网格上的格点．
（1）AB＝　 　；
（2）若格点上存在点C，使∠ACB＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点C．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．求点C到AB的距离．
21． 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°．若AD＝4 cm，AB＝3 cm，DC＝13 cm，求BC的长．
22．如图，在锐角△ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求AB的长．
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．
（1）求线段AE的长；
（2）求△ABC的面积．
24．如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角三角形两条直角边的长分别是a，b，斜边的长为c，请你将它们拼成一个能推导勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图；
（2）推导勾股定理．
25．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理 同步测试答案
一．选择题
1．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则以AB为边长的正方形的面积为（　　）选：D．
A．36 B．64 C．40 D．100
2．如图，字母A所代表的正方形的面积是（　　）选：C．
A．12 B．13 C．25 D．194
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、6、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）选：C．
A．14 B．34 C．58 D．72
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）选：C．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为(　　)选：D．
A．3 B．4 C．5 D．2．4
6． 如图，在△ABC中，AB⊥AC，BD是AC边上的中线，AB＝5 cm，AD＝6 cm，则BC的长是(　　)选：A．
A．13 cm B．12 cm C．169 cm D．61 cm
7．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　）选：B．
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
8．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（）选：D．
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
9．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格网中，点A，B都是格点，则线段AB的长为( )选：A．
A．5 B．6 C．7 D．25
10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝4
解：由题意，
①﹣②可得2xy＝65③，
∴2xy+16＝81，
①+③得x2+2xy+y2＝146，
∴x+y＝，
∴①③④正确，②错误．
故选：B．
二．填空题
11．在Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为 　8　．
12．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 　1　．
13． 在学校的长方形球场上，一学生要从B点走到D点，则他至少要走__100 m__．
14． 甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距__50_海里．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线交于点O．若AD＝7，BC＝9，则AB2+CD2＝　130　．
解：∵BD⊥AC，
∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，
BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，
∴BO2+CO2+OD2+OA2＝81+49，
∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝130；
故答案为：130．
16．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为　4　．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为 　21　．
18．如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方形E的边长为10，则正方形A，B，C，D的面积之和为 　100　．
三．解答题
19．如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，点A，点B均为网格上的格点．
（1）AB＝　5　；
（2）若格点上存在点C，使∠ACB＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点C．
解：（1）AB＝＝5，
故答案为：5．
（2）如图所示，
．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．求点C到AB的距离．
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝15，
又∵S△ABC＝，
∴CD＝＝，
即点C到AB的距离是．
21． 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°．若AD＝4 cm，AB＝3 cm，DC＝13 cm，求BC的长．
解：由勾股定理得AD2＋AB2＝BD2＝DC2－BC2，
所以42＋32＝132－BC2，所以BC＝12 cm
22．如图，在锐角△ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求AB的长．
解：在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝25，
即CD＝5，BD＝BC－CD＝9，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2＝225，
即AB＝15
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．
（1）求线段AE的长；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，
∴DE＝CD＝6，
∴AE＝＝8；
（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即162+x2＝（8+x）2，
解得x＝12，
即BC＝12，
∴S＝96．
24．如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角三角形两条直角边的长分别是a，b，斜边的长为c，请你将它们拼成一个能推导勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图；
（2）推导勾股定理．
解：（1）（答案不唯一）如图；
（2）验证：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，
大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，
∴（a+b）2＝c2+4×ab，
即a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
25．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．