21.3实际问题与一元二次方程 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
21.3实际问题与一元二次方程
人教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
重点：能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
难点：将实际问题转化为数学问题.
新知导入
1.解一元二次方程有哪些方法？
2.列方程解应用题的一般步骤？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
①审题 ②设未知数 ③找等量关系 ④列方程 ⑤解方程 ⑥答
新知讲解
探究1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有 个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有 个人患了流感.
x+1
(x+1)2
新知讲解
列方程
(x+1)2=121
解方程，得
x1=10，x2= -12(舍)
答：平均一个人传染了10个人.
新知讲解
轮次 本轮开始时的感染人数 本轮新增加的感染人数 本轮结束时感染的总人数
第一轮 1 x 1+x
第二轮 1+x x（1+x） 1+x+x（1+x）=（1+x）2
第三轮 （1+x）2 x（1+x）2 （1+x）2
+x（1+x）2
=（1+x）3
思考 如果按照这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？
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或者以第二轮传染后的人数121为传染源，再传染一次后患流感的总人数是121(1+x)=121(1+10)=1331.
所以，以1人为传染源，经过三轮传染后患流感的总人数是(1+x)3=(1+10)3=1331.
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量× （1+传播速度）=传播前的量× （1+传播速度）2
1.通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
新知讲解
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探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求该药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5000 ( 1－x )2 = 3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
为什么选择22.5%作为答案？
探究2：两年前生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？
6000 ( 1－y )2 = 3600，
解方程，得
y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得
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不能.
甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200元.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，两种药品的年平均下降率是一样的.
问题 药品年平均下降额（元）大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
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问题 你能总结出增长率和降低率的有关数量关系吗？
这类增长率（降低率）的问题在实际生活中普遍存在，其数量的变化规律：
①若基数是a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1+x），两次增长后的值为a（1+x）2，n次增长后的值为a（1+x） .
②若基数是a，平均下降率为x，则一次下降后的值为a（1-x），两次下降后的值为a（1-x）2，n次下降后的值为a（1-x） .
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探究3：要设计一本书的封面,封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)
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分析：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
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设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x) cm，宽为(21-14x) cm.
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
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列方程
解方程，得
(27-18x)(21-14x)= ×27×21
整理，得
16x2-48x +9=0
答：上、下边衬的宽均为 cm，左、右边衬的宽均为 cm.
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解: 设中央的矩形的长和宽别为9xcm，7xcm.依题意得
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
9x×7x = ×27×21
解得 （舍去）
所以上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
新知讲解
在利用一元二次方程解几何图形面积的问题时，灵活运用“平移变换”，把分离的图形进行“整合”，使问题简化．
课堂练习
1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(　　)
　A．4个　　　　B．5个　　　　C．6个　　　　D．7个
B
2.某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为(　　)
A．8 B．20 C．36 D．18
B
课堂练习
3.在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　　)
A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0
B
课堂练习
4．九(1)班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照照片780张，则九(1)班有 人．
40
5．某种商品，平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每降价1元，则每天可多售5件．若每天要盈利2 400元，则每件应降价 元．
4
课堂练习
6. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
解：设共有x个队参加了比赛.
依题意x(x-1)=90.
解得x1=10, x2=-9(舍去).
答：共有10个队参加了比赛.
课堂练习
7.某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求年平均增长率．
解：设年平均增长率为 x.
根据题意，列方程，得
100( 1+x )2 = 121，
解方程，得
x1=0.1，x2=-2.1.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 10％.
课堂练习
8.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm，依题意得：
5(2x-10)(x-10)=3000； 整理得：x2-15x-250=0；
解方程，得：（x-25）（x+10）=0；
即： x1=25 x2=-10(舍去）；所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
谢谢
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