第二十一章一元二次方程单元测试卷(含答案)

第二十一章 一元二次方程 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．如图，已知长方形的面积为1，长与宽之差为1，则该长方形的周长为（ ）
A．2 B． C． D．
2．某企业年产值从2019年的2亿元增长到2021年的7亿元，求这两年的年平均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为，由题意可列得方程是（ ）
A． B． C． D．
3．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7人 B．49人 C．121人 D．512人
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
6．对于实数m，n，定义一种运算☆为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．0或
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　　）
A． B．且 C． D．且
8．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，-1 B．5，4 C．5， -4 D．5 ，0
9．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的40元降到28元，若设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据意题可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有方田一叚，圆田一叚，共积二百五十二步，只云方面圆径适等；问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等；问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则所列方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．若关于x的方程为一元二次方程，则m的值为______．
12．若，是一元二次方程的两个根，则______．
13．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 _____．
14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．
15．如图，在一块长为60米，宽为40米的长方形空地内修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的，其余部分种植草坪，若草坪面积为2328平米，设小路宽为x米，依题意可列方程为______．
三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．
17．如图，在 ABCD中，A（﹣10，0），B（﹣2，0），C（O，4）．点P，Q分别是线段OA，CD上的点，OP=2DQ，连接PQ，PC，记DQ=x，
(1)当x为何值时，PQAD．
(2)是否存在x，使点Q到PC的距离是4，若存在，求出的x值；若不存在，请说明理由．
(3)作点Q关于直线PC对称点Q'，当Q'落在坐标轴上时，请求出满足条件的x的值．
18．关于的一元二次方程．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求的值．
19．若x1、x2是关于x的一元二次方程kx-2x+4=0的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1=，求(x1+1)(x2+1)的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】设长方形的宽为x，则长为( x+1 ) ，利用长方形的面积计算公式，即可得出关于x的一元次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入2[ ( x+1 ) +x]中即可求出该长方形的周长．
【详解】解∶设长方形的宽为x，则长为(x+l)，
依题意得x(x+1)=1，
解得∶ ， (不合题意，舍去)，
∴该长方形的周长
故选∶C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．B【分析】设该企业这两年的年平均增长率均为，则2020年的产值是，2021年在2020年的基础上，产值是，根据2021年产值是7亿元，即可列方程求解．
【详解】解：设该企业这两年的年平均增长率均为，
由题意得，2020年的产值为，
2021年的产值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
3．D【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有[x+1+(x+1)x]人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：1+x+x(1+x)=64，
整理得，(x+1)2=64，
解得x=7或x= 9(舍去)，
故每轮传染中平均一个人传染了7人，
则经过三轮传染后患流感的人数为：(人)，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解．
4．D【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
5．B【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵=（-2）2-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．B【分析】由于定义一种运算☆为：，关于x的方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【详解】解：由，
得，
依题意有，
∴，
解得，或a=-1（舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别式，新定义，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．
7．D【分析】根据一元二次方程的定义及判别式得出关于的不等式组，求解即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是根据题意得出关于的方程．
8．C【分析】根据一元二次方程定义直接求解即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般式，
二次项系数为，一次项系数为，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程定义各个描述是解决问题的关键．
9．B【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来40元降到28元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，意题可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
10．D【分析】根据正方形与圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设正方形田的边长为x，则圆的半径等于，则所列方程可以为，
，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
11．3【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程为一元二次方程，
∴，
解得：m＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．
12．1【分析】根据方程的根得到，，再将所求式子变形，整体代入计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
13．-1【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
【详解】解：根据题意得，|m 1|＝2且m 3≠0，
解得：m＝ 1．
故答案为： 1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．
14．且【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，以及根的判别式即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念以及根的判别式是本题的关键．
15．【分析】设小路宽为x米，则凉亭的宽度为4x米，根据面积之间的关系列出方程即可．
【详解】解：设小路宽为x米，则凉亭的宽度为4x米，
根据题意得：60×40-(60-4x)x-=2328，
故答案为：60×40-(60-4x)x-=2328．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．
（1）
∵，
∵，
∴，
∴此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．
17．(1)x=；
(2)存在，；
(3)当Q’落在坐标轴上时，满足条件的x的值为2或2+或2-．
【分析】（1）根据平行四边形的性质及点的坐标得出AB=8，AP =10-2x，由平行四边形的性质求解即可；
（2）过点Q作QE⊥PC于点E，则QE=4，∠CEQ=∠POC=90°，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点Q’在y轴上时；当点Q’在x轴上时；利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
（1）
解：∵A（-10，0），B（-2，0），C（0，4），
∴OA=10，OB=2，OC=4，
∴AB=OA-OB=10-2=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，ABCD，
∵OP=2DQ，DQ=x，
∴OP=2x，
∴AP=AO-OP=10-2x，
∵PQAD，APDQ，
∴四边形APQD为平行四边形，
∴AP=DQ，
∴10-2x=x，
∴x=；
（2）
存在x，使得Q到PC的距离为4，理由如下：
过点Q作QE⊥PC于点E，则QE=4，∠CEQ=∠POC=90°，
∵OC=4，
∴QE=OC，
∵ABCD，
∴∠QCE=∠CPO，
在 QCE与 CPO中，
，
∴ QCE CPO，
∴CQ=PC，
∴，
∵CQ=CD-DQ=8-x，，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
（3）
当点在y轴上时，如图所示：
∵点Q与点关于PC对称，
∴Q⊥PC，CQ=C，
∴PC平分∠DCO，
∴∠PCO=45°，
∵PO⊥CQ，
∴PO=CO，
∴2x=4，
∴x=2；
当点在x轴上时，如图所示：
连接C，C=CQ=8-x，
∵DQ=x，CD=8，OP=2DQ，
∴CQ=CD-DQ=8-x，OP=2x，
∵点Q关于直线PC的对称点为，
∴PC⊥Q，QE=E，C=CQ=8-x，
∵ABCD，
∴∠QCE=∠PE，
在 QCE与 PE中，
，
∴ QCE PE，
∴CQ=P=8-x，
∴O==，
在Rt OC中，
，
即，
解得：x=2+或x=2-，
综上可得：当落在坐标轴上时，满足条件的x的值为2或2+或2-．
【点睛】本题主要考查坐与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
18．(1)m的取值范围是m＜0；
(2)m的值是-2．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值；
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
（1）
解：根据题意得：
Δ= ＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0；
（2）
解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值是-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
19．(1)且
(2)
【分析】（1）方程有两个实数根，结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，结合即可得出k的取值范围；
（2）将x1=代入方程求出k的值，利用根与系数的关系即可得出x1+x2＝，x1x2＝，代入(x1+1)(x2+1)即可求解．
（1）
解：∵关于x的一元二次方程kx-2x+4=0有两个实数根，
∴，
∴，
∵kx-2x+4=0是一元二次方程，
∴，
∴且；
（2）
解：将x1=代入方程kx-2x+4=0得，
解得，
∴，
由根与系数的关系，得：x1+x2＝，x1x2＝，
∴(x1+1)(x2+1) ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个实数根得出；（2）根据根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值．
答案第1页，共2页