青海省西宁市七校2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题（Word版含答案）

西宁市2021-2022学年度第二学期期末七校联考
高二年级数学文科试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（共12题，每题5分，共60分）
1．已知为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或0
2．点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
4．已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．在研究体重与身高的相关关系中，计算得到相关指数，则（ ）
A．是解释变量 B．只有64%的样本符合得到的相关关系
C．体重解释了64%的身高 D．身高解释了64%的体重
6．在平面内，点到直线的距离公式，通过类比的方法，可求在空间中，点到平面的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
7．给定函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数有两个零点 B．函数在上单调递增
C．函数的最小值是 D．当或时，方程有1个解
8．用反证法证明命题“若，则，中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（ ）
A．，中至少有一个为0 B．，中至多有一个不为0
C．，都不为0 D．，都为0
9．已知函数，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．6
10．若直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．45°
11．下列所给的四个命题中，不是真命题的为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知复数对应的点在第二象限，它的模为3，实部是，则______．
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．观察下列图形中小正方形的个数，则第10个图中小正方形的个数为______．
16．在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的是______．（填序号即可）
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求在区间上的单调减区间．
18．（12分）周末，某游乐园汇聚了八方来客．面对该园区内相邻的两个主题区A和B，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同．某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题区中二选一）进行了问卷调查，调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择主题区A，而选择主题区A的未成年人有20人．
（1）根据题意，请将下面的列联表填写完整：
选择哪个主题区 年龄层的人 选择主题区A 选择主题区B 总计
成年人
未成年人
总计
（2）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题区与年龄有关．
参考公式：，．参考数据：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的极坐标为，求的值．
20．（12分）已知函数（e为自然对数的底数，为常数）的图像在处的切线斜率为．
（1）求的值及函数的极值；
（2）证明：当时，．
21．（12分）共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①；②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：
日期（天） 1 2 3 4 5
用户（人） 13 22 45 55 68
模型①的残差值 0.4
模型②的残差值 0.3 3.8
（1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
（2）求出（1）中所选模型的回归方程．
（参考公式：，，参考数据：，）
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标；
（2）当时，证明：；
（3）若对任意，不等式恒成立，求出的取值范围．
西宁市2021-2022学年度第二学期期末七校联考
高二年级数学文科答案
1．A
因为是纯虚数，所以，解得.
故选：A.
2．B
由题设，且在第四象限，
所以极坐标为.
故选：B
3．C
∵，
∴为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项BD；
∴，由，，存在，，
当时，单调递减，故排除A.
故选：C.
4．C
由题意得，，
故，
故选：C
5．D
是因变量或响应变量，是自变量或解释变量，所以A错误.
表示解释变量对响应变量变化的贡献率，表示身高解释了的体重，所以D正确，B、C错误.
故选：D
6．D
类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点到直线的距离公式为，
所以点到平面的距离为
，
故选：D.
7．A
因为，所以，
由，得，所以在单调递增，
由，得，所以在单调递减，
又因为，恒成立，，，结合单调性可知，大致图象如下：
对于A选项，由图象知，函数只有一个零点，故A错误；
对于B选项，函数的单调递增区间为，而，所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C选项，函数的最小值是，故C正确；
对于D选项，由图象可知，当或时，方程有1个解，故D正确.
故选：A
8．D
用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，应假设a，b都为0．
故选：D
9．A
根据题意，，则，又.
故选：A
10．D
由直线的参数方程知，斜率，为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为45°.
故选：D
11．D
设，，则，
所以，A为真命题；
当时，，充分性成立，
当时，，必要性成立，B为真命题；
，故C为真命题；
不妨设，，满足，但不满足，D为假命题.
故选：D
12．D
解：由函数的图象可知，不妨设，有，
可得，有，
令，
有，
令，可得，
可得函数的增区间为，减区间为，
可得，
故的最大值为.
故选：D.
13．或
依题意，设，于是得，解得，
所以.
故答案为：
14．
由，得，
所以切线的斜率为，
所以所求切线方程为，得，
即，
故答案为：
15．66
由图知：各图对应正方形个数为
所以，
故，则，
所以.
故答案为：66
16．①②③
①②③均可构造函数，，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，所以，即，所以，①正确；
所以，即，所以，②正确；
因为，所以，所以，即，
化简为，③正确.
故答案为：①②③
17．(1)3x＋y＋6=0
(2)
(1)由，得，
则，f（1）=－9，
故切线为y＋9=－3（x－1），即3x＋y＋6=0．
(2)令．得．
当时，，在上单调递减．
18．(1)填表见解析
(2)没有99%的把握认为选择哪个主题区与年龄有关
(1)由题意知成年人中有10人选择主题区，40人选择主题区B，
未成年人中有20人选择主题区，30人选择主题区B，
选择哪个 主题区 年龄层的人 选择主题区 选择主题区A 总计
成年人 10 40 50
未成年人 20 30 50
总计 30 70 100
(2)，
所以没有99%的把握认为选择哪个主题区与年龄有关．
19．(1)，
(2)
(1)根据上下两式相加可得的普通方程为：，又，所以，即曲线的直角坐标方程为：
(2)直角坐标，即在直线上,故可设直线的参数方程为 （t为参数），代入曲线的直角坐标方程得，即，故
20．(1)，极小值，无极大值
(2)证明见解析
(1)由，得.
由题意得，，即，
所以，.
令，得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
所以当时，取得极小值，且极小值为，
无极大值．
(2)证明：令，则.
由(1)知，，
故在上单调递增．
所以当时，，
即.
21．(1)应该选择模型①，理由见解析
(2)
(1)应该选择模型①
模型①的残差值的绝对值之和为，
模型②的残差值的绝对值之和为，
∵，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①．
(2)由题可知：，，，．
∴，
．∴y关于x的回归方程为．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)
(1)当时，.
设，则切线斜率.
由切点性质，得，解得.
所以点的坐标.
(2)当时，，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上单调递增，且，
当变化时，变化情况如下表：
1
0
单调递减 极小值 单调递增
由上表可知，.所以.
(3)实数的取值范围.理由如下：
方法一：（数形结合）
在上恒成立，即.
因而函数的图象在函数的图象上方.
考虑函数图象在函数图象恰好有一个公共点的临界情形（如图所示），
此时它们在交点处有一条公切线，设交点的横坐标为.
又，由切点性质知，
所以即，
由得，所以即
记，则，所以在上是增函数.又因为，所以方程的解是.
因此，当两函数恰好有一个交点时，交点坐标是，此处公切线方程是.
所以当函数的图象在函数的图象上方时，实数的取值范围.
方法二：（同构变形）
显然，在上恒成立，即恒成立即
恒成立，
所以恒成立，
构造函数，易知在上是增函数，
所以恒成立，即，
令，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围.