泸州市高2020级高二学年末统一考试
数 学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.
3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第I卷 （选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1． 复数的虚部是
A．1 B． C． D．
命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
3． 已知直线：，：，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 在新冠肺炎疫情期间，各口罩企业都加大了生产力度，如图是2022年第一季度五个企业的生产量情况，则下列叙述正确的是
A．2022年第一季度生产总量的增长率由低到高排位第5的是E企业
B．2022年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个
C．2021年同期C企业的生产总量不超过2000万只
D．与2021年同期相比，各企业2022年第一季度的生产总量都实现了增长
2 4 6 8
3 4 6 7
某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量（吨）与生产能耗（吨）的下列对应数据：根据表中数据，用最小二乘法求得回归直线方程．那么据此回归模型可预测当产量为7吨时生产能耗为
A．4.625吨 B．4.9375吨
C．5吨 D．6.4吨
6．在区间内任取一个实数，使方程（其中m是常数，）表示焦点在y轴上的椭圆的概率是
A． B． C． D．
7． 已知通常被称为“调和级数”，是级数理论中最早被人们研究的级数之一．著名数学家欧拉在1734年就曾给出证明：，其中为欧拉-马
歇罗尼常数，其值约为0.57．根据此式，如图所示的程序框图中，当输入的
n为80时，输出结果S约为（参考数据：）
A．3.87 B．4.40
C．4.97 D．3.30
8． 曲线在处的切线的斜率为
A． B．
C． D．
9． 某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩采用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为
A．60 B．40 C．30 D．15
10． 命题：在二项式的展开式中，各二项式系数之和为．命题：随机变量满足，则，下列命题是假命题的是
A． B． C． D．
11．双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为
A. B. C． D. 3
12． 在给出的① ，② ，③ 三个不等式中，正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷 （非选择题 共90分）
注意事项：
(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
(2)本部分共10个小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上.
13．的展开式中，的系数是 ．
14．圆的圆心到直线的距离是 ．
15．设实数x，y满足约束条件，写出使在点(2,4)取得最大值的一个k的值 ．
16．关于函数有如下四个命题：
① 若是的极大值点，则在上单调递增；
② ，；
③ 若函数存在极值点，则；
④ 函数的图象关于点中心对称．
其中所有真命题的序号是 （填上所有正确命题序号）．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分12分）
为了解大众收看神舟十四号载人飞船发射的方式，某网站随机对200名观众进行了调研.现将数据按年龄分组, ,,,，并绘制了通过电视收看观众的频率分布直方图，如图所示.
（Ⅰ）求通过电视收看观众的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（Ⅱ）把年龄在的观众称为青少年组，年龄在第的观众称为中老年组，若200人中通过电视收看的观众有160人，且通过PC收看的中老年组有10人，完成下面的列联表，
(
通过
PC
收
看
通过电视
收
看
青少年
组
中老年
组
)
并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为收看方式与年龄有关.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：
18．（本小题满分12分）
已知函数（）．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求在区间上的最值；
（Ⅱ）求函数的单调增区间．
19．（本小题满分12分）
为了提高某种病毒的检测效率，某医院采取“混合血样”与“单检血样”有机配合的方法进行病毒检测.若混合血样化验结果呈阳性，则说明有人感染，否则，无人感染.现有5人的待测血样（其中2人感染某种病毒），
（Ⅰ）从这5人的待测血样中任取2人进行“混合血样”检验，求“混合血样”中所含感染者人数的数学期望；
（Ⅱ）现随机将5人中2人的血液进行混合血样，若检测结果呈阳性，则再将这2人依次进行单检；若2人的混合血样检测结果呈阴性，则再对另外3人的血液逐个检验，直至确定出感染者.求在2人混合血样检测结果为一阴一阳的条件下，再做2次检测确定出另一名感染者的概率.
20．（本小题满分12分）
抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求的准线方程；
（Ⅱ）若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，当点到直线的距离最大值时，求点的坐标．
21．（本小题满分12分）
已知函数的导函数为，e为自然对数的底数.
（Ⅰ）若函数在上有零点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，，求的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线与曲线、曲线分别交于两点A，B，点P（4，0），求△PAB的面积.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）若，求x的取值范围；
（Ⅱ）若的最小值为m，且正实数a，b，c，满足，证明：．第2页，共3页泸州市高2020级高二学年末统一考试
数 学（理科）参考答案及评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B D D A C B C C C D
二、填空题：
13．15； 14．； 15．k取[-1,2]上的任意一个值； 16．②③④．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）通过电视收看的观众的平均年龄
3分
； 6分
（Ⅱ）因为通过电视收看的有160人，通过PC收看的有200-160=40人，
由频率分布直方图通过电视收看的中老年有人，
因通过PC收看的中老年有10人，通过PC收看的青少年有人．
可得列联表如图：
通过PC收看 通过电视收看
青少年组 30 96
中老年组 10 64
10分
计算， 11分
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为收看的方式与年龄有关． 12分
18．解: （Ⅰ）因为已知是函数的极值点．
所以是方程的根， 1分
所以，故， 2分
所以，
所以函数在上是减函数，在上是增函数； 3分
因，，， 4分
且，
所以在区间上的最小值为， 5分
最大值为； 6分
（Ⅱ），
所以
，
因为，，
当时，函数的单调增区间为，， 8分
当时，函数的单调增区间为， 10分
当时，函数的单调增区间为，， 12分
19．解：（Ⅰ）从5人待测血样任取2人检验，感染者的人数的可能取值为0，1，2． 1分
，，，
X 0 1 2
P
4分
； 6分
（Ⅱ）解法一：记事件A为“2人混合血样检测结果血样是一阴一阳”，
则， 8分
事件B为“混合血样检测后再检测2次确定一名感染者”，
则P(AB)=， 10分
所以P(B|A)=，
所以在2人混合血样检测结果血样是一阴一阳的条件下，再做2次检测确定出另一
名感染者的概率为. 12分
解法二：在2人混合血样检测结果为一阴一阳的条件下，再做2次检测确定出另一
名感染者的概率，
等价于余下1阳2阴共3人的血样单检，再做2次检测确定出另一名感染者的概率，
8分
等价于3人单检，第一次检出阴性且第二次检出阳性和第一次且第二都检出阴性的
概率， 10分
所以在2人混合血样检测结果血样是一阴一阳的条件下，再做2次检测确定出另一
名感染者的概率为 12分
20．解：（Ⅰ）椭圆的焦点坐标为和， 1分
又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为， 2分
从而准线方程为； 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的方程为，即，则， 4分
设，切点，， 5分
从而切线PM方程为，即， 6分
同理切线PN方程为， 7分
分别代入有，
从而和均满足直线方程，
所以直线的方程为，即， 8分
又因为在直线上，所以， 9分
所以直线的方程为，
从而直线恒过定点， 10分
当到直线的距离达到最大值时，必有， 11分
因为，所以，
所以，从而此时的坐标为. 12分
21．解: （Ⅰ）函数的导函数为， 1分
因为函数在上有零点，
等价于方程在上有解，
或等价于函数在上的值域， 3分
设，则，
故函数在上是减函数，在上是增函数， 4分
故，且x趋近无穷大时，趋近无穷大，
所以a的范围是. 5分
（Ⅱ）解法一：
因为，，所以，即，
当时，不等式成立的a为全体实数，
当时，，设，且， 6分
故，设， 7分
则，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故， 8分
所以在上单调递增，
故，且， 9分
所以当时，，当时，，
所以在 ，上单调递增， 10分
又因为， 11分
故，且所以的最大值为． 12分
解法二：因为，，所以，则， 6分
故“”为“，”的必要条件，
下证当时，，，
即证：，.
注意到. 7分
从而只需证明：，．
证法一：只需证明：，令， 8分
则
令，得；令，得或.
从而在单调递减，在单调递增，在单调递减. 9分
因此在上得最大值为. 10分
从而“”为“，”的充分条件，
因此“”为“，”的充要条件．
综上所述，的最大值为． 12分
证法二：令，，因为，
则，注意到，，
令，，
则.由得；由得，
所以在单调递减，在单调递增， 8分
因为，
从而知在有唯一零点，在有唯一零点，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
因为， 9分
所以，；又，，
所以，. 10分
从而“”为“，”的充分条件.
因此“”为“，”的充要条件.
综上所述，的最大值为. 12分
22．解：（Ⅰ）由消去参数，得， 2分
因为，
所以曲线的直角坐标方程为， 3分
因为，
所以曲线的极坐标方程为 ； 5分
（Ⅱ）由得:， 7分
所以曲线与曲线交于点A，
由得:， 8分
所以曲线与曲线交于点B，
则
. 10分
23．解：（Ⅰ）由知， 2分
，所以或，
的取值范围为； 5分
（Ⅱ）因为， 6分
的最小值为m，所以，
所以， 7分
由柯西不等式 8分
,
当即时，不等式取等号. 10分
