2022-2023学年人教版（2012）八年级上册22.1二次函数的图像与性质同步课时训练(word版含答案)

22.1 二次函数的图像与性质 同步课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
3．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2
4．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．现有下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝x2＋ax＋4的图象以y轴为对称轴．若点P（m，n）在该二次函数的图像上，则m－n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．－ D．－
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为____．
12．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是____．
13．抛物线 向上平移 个单位长度，得到抛物线____；再向____平移____个单位长度得到抛物线 ．
14．抛物线的图象上有两点，则b的值为____________．
15．已知二次函数的图像如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是______．
评卷人得分
三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．如图，已知抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．
17．次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；
(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
18．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；
(3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<319．已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①；当时，，即可判断②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
∵，
∴，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当时，，
，故错误．
③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
当时，，
，故正确；
④抛物线与轴有2个交点，
△，故正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
2．D【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分a＜0和a＞0两种情况讨论，分别根据图像上点的坐标特征得到关于m的不等式，然后解不等式即可解答．
【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，
∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；
当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．
3．B【分析】先根据抛物线解析式判断出抛物线在当－1≤x≤1的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝－3（x－2）2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，a=-3＜0 ，即抛物线开口向下
∴当-1≤x≤1，y随着x的增大而增大
∵-1＜1，
∴当x=1时，y有最大值2，当x=-1时，y有最小值-22．
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，正确判断出抛物线的增减性是解题的关键．
4．A【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，根据各点到对称轴距离的大小求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，离对称轴越近函数值越小，
∵
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
5．D【分析】先求出抛物线的对称轴，抛物线y=3x2-2的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．
【详解】解：∵当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，
而抛物线y=3x2-2的对称轴为直线x=0，开口向上，
∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
6．B【分析】利用抛物线开口向下，可得a<0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，又因为抛物线的对称轴是直线，即-，所以b=-2a>0，即可判定①；由图可知，当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，把n=-2a代入即可判定②；利用x=-1时，a-b+c＜0；x=1时，a+b+c＞0得到（a-b+c）（a+b+c）＜0，则判定③；利用x=1时，y有最大值得到am2+bm+c≤a+b+c，然后利用a＜0可对判定④．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，所以a<0，
抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0，
又因为抛物线的对称轴是直线，即-，所以b=-2a>0，
∴abc<0，故①正确；
由图可知，当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，
∵b=-2a，
∴3a+c<0，故②错误；
∵x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a-b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2-b2＜0，所以③正确；
∵x=1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥m(am+b)，所以④错误．
综上，正确的有①③共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线对称轴为直线x=-，抛物线的最值，当x=-时，当a>0，y有最小值，当a<0时，y有最大值．
7．C【分析】把分别代入每个选项，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】解：当时，则
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了判断点是否在函数图像上，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
8．C【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m-n的最大值．
【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，
∴a=0，
∴n=m2+4，
∴当时，m-n取得最大值，此时
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．B【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数以及x＝ 1，x＝2时对应的y值的正负判断即可．
【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且，则b＝－2a，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝ 4ac＞0，即＞4ac，②错误；
∵原点O关于x=1的对应点为（2，0），
∴x＝2时，y＜0，即4a＋2b＋c＜0，③错误；
∵x＝ 1时，y＞0，
∴a b＋c＞0，
把b＝ 2a代入得：3a＋c＞0，④正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．D【分析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为和
∴抛物线的对称轴为：，
∵点，在抛物线上，且，
∴点比点到直线的距离要大，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上的点的坐标满足其解析式．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．8【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：当点C横坐标为 3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键．
12．【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为，根据，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【详解】当时，，∴，
∴，
∴，，
∴，，
将，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
13． 下 5##五【分析】根据二次函数的平移规则，即可得到答案．
【详解】解：抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，
再向下平移5个单位长度得到抛物线 ．
故答案为：；下；5．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规则，解题的关键是掌握平移的规则．
14．【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可．
【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等，
点A和B关于对称轴对称，
，
解得．
故答案为-6．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
15．【分析】根据函数图像，直接写出函数值y的取值范围
【详解】解：如图，当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查了写出二次函数函数值的范围，数形结合是解题的关键．
16．(1)
(2)(0＜m＜3)，当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为
【分析】(1)应用待定系数法将A(-1，0)，B(3，0)代入中，可得，解方程组即可得出答案；
(2)过点P作PFy轴，交BC于点F，如图，当x=0时代入二次函数解析式=6，即可算出点C的坐标．设直线BC的解析式为y=kx+c，把B(3,0)，C(0,6)代入y=kx+c中，求出k，b的值即可算出直线BC的解析式，根据点P在抛物线上可设的坐标为(m，)，则点F在直线BC上可设坐标为(m，-2m+6)，即可算出PF=-(-2m+6)，再由==，当m=时，△PBC的面积取得最大值点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，即可算出m的取值范围．
（1）
解：将A(-1,0)，B(3,0)代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：过点P作PFy轴，交BC于点F，如图所示，
由(1)知：当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为(0，6)；
设直线BC的解析式为y=kx+c，
把B(3，0)，C(0，6)代入y=kx+c中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-2x+6．
设点P的坐标为(m,)，
则点F的坐标为(m,-2m+6)，
∴PF=-(-2m+6)=，
∵
∴S=
=
=，
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
故(0＜m＜3)，
∵-3<0，
∴当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
17．(1)
(2)
(3)P（1，－1）或（3，3）
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；
（2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公式计算出答案即可；
（3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案．
（1）
解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，
得： ，
解得： ．
∴二次函数的表达式为．
（2）
解：连接BD，如图所示，
∵，
∴AM=3．
又∵，
∴．
设直线BC的表达式为，
将点C（0，2），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：．
将x=2代入和，
得D(2，3)，N（2，1），
∴．
∴．
（3）
解：∵，
∴．
设P（2t-1，m），
则，．
∵PB=PC，
∴，
∴，
∴．
∵PC⊥PB，
∴，
将代入整理得：，
解得：t=1或t=2．
将t=1或t=2分别代入中，
∴P（1，－1）或（3，3）．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点，利用待定系数法即可得；
（2）将二次函数的解析式化成顶点式为，再利用二次函数的增减性求解即可得；
（3）先联立两个函数的解析式、结合求出的值，再根据建立不等式，解不等式即可得．
（1）
解：将点代入得：，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）
解：将二次函数化成顶点式为，
则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
所以当时，取得最小值，最小值为，
当时，，
当时，，
所以在内，的最大值为4，
所以的最大值与最小值的差为．
（3）
解：联立得：，
解得，
两函数图象的交点的横坐标分别为和，且，
，
，
解得．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）通过待定系数法求解；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（1）
将点和代入得，
，
解得：；
（2）
由（1）得，
∴抛物线的顶点坐标为．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页