2022-2023学年人教版（2012）八年级上册22.3实际问题与二次函数同步课时训练(word版含答案)

22.3 实际问题与二次函数 同步课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）
A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m
2．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量増加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点距O点水平距离为7米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为
5．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2
C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2
6．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
7．在2021年山西省羽毛球锦标赛暨第十六届省运会羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看成是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，点B的坐标为，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①，②，③，④当时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度时，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
10．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为____．
12．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为____米．
13．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．
14．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是________米．
15．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
评卷人得分
三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．如图，设花园的一边AB=xm，花园的面积为．
(1)求与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？如果能，求出此时的的值；若不能，请说明理由．
17．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，求的面积；
(3)拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
18．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/，每日销售量（）与销售单价（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/．设公司销售板栗的日获利为（元）．
（元/） 7 8 9
（） 4300 4200 4100
(1)请求出日销售量y与销售单价之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
19．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（元/件） 13 14 15 16
（件） 1100 1000 900 800
(1)求与的函数关系式；
(2)当线下售价为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
(3)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润（单位：元）与线下售价（单位：元/件，）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．
2．C【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上减少了，每件产品利润在8的基础上增加，据此可求出总利润关系，求出最值即可．
【详解】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．
3．C【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
4．C【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D．
【详解】解：联立两函数解析式，得
，解得：或，
则小球落地点距O点水平距离为7米，
故A选项不符合题意；
∵，
则抛物线的对称轴为x=4，
∵<0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，
故B选项不符合题意；
当y=7.5时，7.5=4x-x2，
整理得x2-8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；
如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，
∴B(x,)，
∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+，
∵<0，
∴当x=时，AB有最大值，最大值=，
即小球距斜坡的最大铅直高度为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．C【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．
【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
6．C【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
7．A【分析】根据已知得出B点的坐标为(0,1)，A点的坐标为(4,0)，代入解析式即可求出b，c的值，即可得出答案．
【详解】解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为(0,1)，A点的坐标为(4,0)，
将A、B两点的坐标分别代入解析式得：
解得：，
∴这条抛物线的解析式是：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B，A两点的坐标是解决问题的关键．
8．D【分析】由抛物线的图像开口向上，与y轴交于点C在y的负半轴上，可判断、，对称轴在y轴右侧，可判断，故，结论①正确；由点B的坐标为，可知，即，故结论②正确；根据题意确定点A（-2c，0），结合点B（-1，0），可知和是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系即可计算，故结论③正确；由可得，即，从而判断结论④正确．
【详解】解：∵抛物线的图像开口向上，与y轴交于点C在y的负半轴上，
∴，，
∵其对称轴在y轴右侧，故，
∴，
∴，故结论①正确；
∵点B的坐标为，
∴，
∴，故结论②正确；
∵根据题意，抛物线与y轴交点为C（0，c），且，
∴点A（-2c，0），
又∵点B（-1，0），
∴和是方程的两个根，
∴，
∴，故结论③正确；
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，故结论④正确．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像与x轴交点以及二次函数图形问题等知识，解题关键是掌握二次函数图像的性质以及二次函数与方程的关系．
9．D【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
10．B【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【详解】由y＝2x2﹣8x+6可知，令y＝0，即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），
由图象知当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，
即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝8m﹣15＝0，解得m=，
②当y＝﹣x+m'过点B时，
即0＝﹣3+m'，解得m'＝3，
综上，当时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选B．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
11．8【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：当点C横坐标为 3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键．
12．【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令y＝1求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．
【详解】解：如右图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y＝ax2+3，
∵函数图像过点A（﹣，0），
∴0＝a（﹣）2+3，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3，
当y＝1时，1＝﹣x2+3，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴水面的宽度是：米．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值．
13． 8 128平方米##128m2【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x) 米，根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，然后求出面积的最大值，即可求解．
【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32 - 2x)米，设矩形的面积为S，则S 关于x的函数关系式为：
S= (32 - 2x)x
=-2x2+ 32x
=-2(x-8)2+ 128，
当x = 8时，S有最大值，最大面积为128；
（当垂直于墙的一边长为8米，则平行于墙的一边长为32-2x=16米，符合题意）
∴当垂直于墙的一边的长为8米时，S有最大值128平方米．
故答案为：8；128．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出二次函数，利用二次函数的性质求解．
14．8【分析】水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-2x2+8x的顶点纵坐标，将y=-2x2+8x写成顶点式即可得出顶点坐标，从而求得答案．
【详解】解：由题意可知，水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-2x2+8x的顶点纵坐标，
∵y=-2x2+8x
=-2（x2-4x）
=-2（x-2）2+8，
∴顶点坐标为（2，8），
∴水喷出的最大高度是8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将实际问题与数学模型联系起来是解题的关键．
15．121【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
16．(1)，自变量的取值范围是；
(2)此花园的面积不能达到200m2，理由见解析
【分析】（1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围；
（2）求当时的值，根据自变量的取值范围回答问题．
（1）
解：根据题意得：，
，
墙长，
，
，
，
，
自变量的取值范围是；
（2）
解：当时，即，
，
解得：，
，
此花园的面积不能达到．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．(1)
(2)2
(3)存在，或
【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合运用待定系数法求解即可；
（2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答；
（3）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可．
（1）
解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处
∴
把A，E两点坐标代入得，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）
解：∵抛物线与y轴交于点B
∴令时，
∴
设直线AB的解析式为
把A，B两点坐标代入得解得
∴直线AB的解析式为；
∴点C在直线AB上轴于点
当时
∴
∴
∴，，
∴
∴的面积是2．
（3）
解：存在，理由如下：
∵，
∴
在中
∴是等腰直角三角形
∵点P在抛物线上
∴设点P的坐标为
①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M
在中∵∴
即解得（舍去）
当时
∴
②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N
在中
∴
∴
∴解得（舍去）
当时
∴
综上，符合条件的P点坐标是或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．
18．(1)；
(2)销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
(3)当时，日获利w不低于42000元
【分析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：，解得：，∴y＝﹣100x+5000；
（2）解：由题意得：w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）＝﹣100x2+5600x﹣30000＝﹣100（x﹣28）2+48400， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．∵6≤x≤30，∴当x＝28时，w有最大值为48400元∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）解：当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，∴x1＝20，x2＝36， ∵a＝﹣100＜0，∴当20≤x≤36时，w≥42000，又∵6≤x≤30，∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
19．(1)
(2)当时，
(3)①；②二次函数，（、、为常数，且）
【分析】(1)设函数表达式为：，代入表中的两组数据列方程组，解方程组，即可求得；
(2)根据一次函数的性质，即可求得；
(3)①根据题意即可求得线上、线下的利润，据此即可求得；②根据①中的解析式，即可解答．
（1）解：设函数表达式为：，将和代入解析式，得 解得，所以函数表达式为：；
（2）解：在函数中，，随的增大而减小，当时，；
（3）解：①， 故；②由①知：是二次函数，二次函数的一般形式为：（、、为常数，且）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及性质，二次函数的应用，熟练掌握和运用求函数解析式的方法是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页