2022-2023学年人教版（2012）八年级上册24.1圆的有关性质同步课时训练(word版含答案)

24.1 圆的有关性质 同步课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．
2．如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则∠BCD的度数是（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
4．如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，P为优弧ABC上一点，则∠APC＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
5．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝15°，则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，内接于，，D是边BC的中点，连接OD并延长，交于点E，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=70°，若P为一点，∠AOP=75°，则∠POB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．80°
8．如图，是的直径，是上一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若，，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
10．如图，在RtABC中，∠CAB＝36°，斜边AC与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线BF绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与AC交于点E，若ABE是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（ ）
A．72° B．144° C．36°或72° D．72°或144°
评卷人得分
二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．如图，在中，弦半径，则的度数为____________．
12．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）．
13．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C是弦AB上一动点，OC长为整数，则OC的长为______．
14．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF=DE=3cm，则这个球的半径是_____cm．
15．如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝12cm，OC⊥AB，垂足为C，则OC的长为 _____cm．
评卷人得分
三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
(2)如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
17．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点．
(1)若AM＝1，MN＝2，则BN＝ ；
(2)如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
(3)如图3，C，D是线段AB的勾股点(AC18．如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
(1)求直径的长；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
19．如图，点A、B、C在⊙O上， AB＝CB＝9， AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
(1)求线段CD、AC的长；
(2)求⊙O的半径．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE．
【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴，DE=CE，，
∴B，D选项正确；
∵，
∴，
∴∠COE=∠DOE，
∴A选项正确；
只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．
∴C选项不成立；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
2．A【分析】连接，过点，分别作与，于，则四边形是矩形，证明，可得，根据垂径定理可得，根据即可求解．
【详解】连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
则，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．D【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠BCD＝180°即可解答．
【详解】解：∵弧BCD对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD＝100°，
∴∠A＝∠BOD＝50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝130°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，根据圆周角定理求得∠A的度数和得出∠A＋∠BCD＝180°是解答本题的关键．
4．B【分析】连接OC，设DC与OA的交点为E，则OE=，求得∠OCE=30°，∠AOC=60°，根据圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接OC，设DC与OA的交点为E，
根据题意，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，
得OE=，
∴∠OCE=30°，∠AOC=60°，
∴∠APC＝=30°，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．
5．B【分析】根据圆周角定理解答．
【详解】解：∠BOC=2∠BAC=2×15°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．
6．C【分析】连接CE，根据圆内接四边形的性质得到∠BEC＝180°﹣∠A＝140°，根据垂径定理得到OE⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如下图，连接CD，
∵∠A＝40°，
∴∠BEC＝180°﹣∠A＝140°，
∵D是边BC的中点，
∴OE⊥BC，BD＝CD，
∴BE=CE，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质等知识，正确理解题意是解题的关键．
7．B【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=140°，然后根据角的和差求解即可．
【详解】解：∵所对的圆周角∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×70°=140°，
∵∠AOP=75°，
∴∠POB=∠AOB-∠AOP=140°-75°=65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．B【分析】根据直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余计算判断即可．
【详解】∵ 是的直径，
∴
∵ ，
∴=58°，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．A【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”可求出，由图可知∠AOB=，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴∠AOB==85°-60°=25°，
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆心角和圆周角，熟练地掌握“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”是解题的关键．
10．D【分析】如图，点O是AC中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠AOD＝-∠DOC＝2∠DBC，只要求出∠DBC的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，点O是AB中点，连接DO，
点D在量角器上对应的度数=∠AOD＝-∠DOC＝-2∠DBC，
∵ABE是等腰三角形，
当为顶角时，
，
，
∠DOC＝2∠DBC=，
∴点D在量角器上对应的度数=；
当为底角时，
,
，
∠DOC＝2∠DBC=，
点D在量角器上对应的度数=.
故选：D．
【点睛】本题考查圆心角与圆周角的关系，量角器、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解∠COD＝2∠CBD，学会分类讨论的思想．
11．100°##100度【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵，
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
12．【分析】利用两个圆的面积减去一个正方形的面积求解即可．
【详解】解：如图所示
S阴影=-S正方形=-12=．
故答案为：．
【点睛】本题考查阴影面积的求解，利用S阴影=-S正方形进行求解是解决本题的关键．
13．1或2【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH=AB=，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，再求出OC的取值范围，最后可得答案．
【详解】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH=AB=×=，
在Rt△BOH中，OB=2，BH=，
∴OH=，
∵点C是弦AB上一动点，
∴
∵OC长为整数，
∴OC=1或2，
故答案为：1或2
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．15【分析】过作于，交于，连接，设半径为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：过作于，交于，连接，
，
，
设半径为，则，，，
根据勾股定理得，，
解得：或3（舍，
答：这个球的半径为．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
15．8【分析】根据“垂径定理”即可得出AC的长度，连接AO，构建直角三角形，用勾股定理即可求出OC．
【详解】连接AO，
∵OC⊥AB，且AB＝12cm，
∴AC=6cm
∵半径为10cm
∴AO=10cm
在Rt△AOC中，由勾股定理可得：OC=cm
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了“垂径定理”的运用，垂直于直径的弦被直径平分．熟练地掌握垂径定理并能够根据题意构建直角三角形是解题的关键．
16．(1)BD＝6，CD＝6
(2)，BD＝
【分析】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因为AB⊥AC，得到四边形ABCD为矩形，易得结果；
（2）由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，证明△COD为等边三角形，求得CD，BD．
（1）
解：AD是⊙O的直径，
∴∠C=∠B=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABDC是矩形，
∵AB=AC=6，
∴BD=AC=6，CD=AB=6；
（2）
∵∠BAC=90°，∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△BCD中，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
17．(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意分两类进行讨论，并由勾股定理求解即可．
（2）根据DE是△ABC的中位线，可得，并且分别为各边的中点，然后得到分别为中位线，最后根据题意列出关系式，即可得证．
（3）连接PD，由题意可得，根据圆周角定理可知∠CPD＝90°，再由勾股定理，得到以及各角间的关系，从而求出的度数，进而得到结论．
（1）
解：∵点M、N是线段AB的勾股点，
∴或
∴BN的长为；
故答案为：；
（2）
证明：如图2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE，
∴CG＝GM，CH＝HN，
∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，
∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），
∴BN2＝MN2+AM2，
∴BN2＝MN2+AM2，
∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，
∴EH2＝GH2+DG2，
∴G、H是线段DE的勾股点；
（3）
解：如图3，连接PD，
∵AC＝PC，
∴∠A＝∠APC，
∴∠PCD＝2∠A，
∵C，D是线段AB的勾股点，
∴AC2+BD2＝CD2，
∴PC2+BD2＝CD2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴PD＝BD，
∴∠PDC＝2∠B，
∵∠A＝2∠B，
∴∠PDC＝∠A，
在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，
∴2∠A+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠A＝15°．
【点睛】此题主要考查了圆的有关知识、勾股定理以及新定义勾股点的理解和运用，解题关键是对新定义的理解与运用．
18．(1)4
(2)6
【分析】（1）设辅助线，利用直径、角平分线的性质得出的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
（2）由（1）已知，得出的度数，根据圆周角的性质结合得出，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出的值，进而利用直角三角形面积公式求出，由阴影部分面积可知即为所求．
（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，，，．．，，，即．．．
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，．，弦弦，劣弧劣弧．．为的直径，，，．，．．．
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键．
19．(1)CD＝；AC＝6
(2)
【分析】（1）作AE⊥BC于E，易证四边形AECD为矩形，可得EC＝AD＝2，BE＝BC EC＝7，再利用勾股定理求解即可；
（2）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，证明△ABF∽△CDA，利用相似三角形的性质求出AF即可．
（1）解：作AE⊥BC，垂足为E，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，∵CD⊥AD，∴四边形AECD为矩形，∴EC＝AD＝2，∴BE＝9－2＝7，∴在Rt△AEB中，AE2＝AB2－BE2＝32，在Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2＝36，∴AC＝6，在Rt△ACD中，CD＝；
（2）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，∴∠F＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠F＝∠DAC，∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF＝90°，∴∠ADC＝∠ABF＝90°， ∴△ABF∽△CDA，∴，∵四边形AECD为矩形，∴CD＝AE＝，∴，∴AF＝，∴⊙O的半径r＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线构造出直角三角形和相似三角形是解题的关键．
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