2022-2023学年人教版（2012）八年级上册24.2点和圆直线和圆的位置关系同步课时训练(word版含答案)

24.2 点和圆 直线和圆的位置关系 同步课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(每小题4分，共10各小题，共计40分)
1．如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（ ）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
2．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（ ）．
A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角
3．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于
4．如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C． D．
5．如图，是的内切圆，点，是切点，则下列说法不正确的是( )
A． B． C．的外心在的外面 D．四边形没有外接圆
6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝( )
A．108° B．72° C．54° D．126°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心 B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上 D．点E为AC中点
8．用反证法证明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（　 　）
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋b2＞c2 C．a2＋b2＜c2 D．a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
10．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　）
A．2 B． C． + D．
评卷人得分
二、填空题(每小题5分，共5各小题，共计25分)
11．如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度．
12．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____．
13．如图，线段，以O为圆心，的长为半径作，B是平面上一点，且，过点B作直线l垂直于，交于C，D两点．若取最大值时，则的长为_________．
14．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在______．
15．已知点P(，)和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线AB的表达式为，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是_________．
评卷人得分
三、解答题(16、17、18题9分，19题8分，共计35分)
16．如图，已知P，PB分别与⊙O相切于点AB，∠APB＝60°，C为⊙O上一点．
(1)如图②求∠ACB的度数；
(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．
17．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
(1)求证：AF=CE；
(2)若BF=2，，求⊙O的半径．
18．如图，直角坐标系中，A（2，0），点在第一象限且为正三角形，的外接圆交y轴的正半轴于点，过点作圆的切线交x轴于点．
(1)求、两点的坐标；
(2)求直线的函数解析式；
(3)设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长，试求当△AEF的面积取最大值时AE的长．
19．如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BD＝8，CE＝12，求AC的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D【分析】根据三角形内心的性质解答即可．
【详解】△ABC三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等，所以探照灯的位置是三条角平分线的交点．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，即三角形的三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等．
2．D【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．
【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
3．C【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
4．A【分析】作OH⊥AB于H，与正方形的边AD切于点F，证明四边形AHOF是正方形，求出DF＝6，然后根据切线长定理可得答案．
【详解】解：如图，作OH⊥AB于H，与正方形的边AD切于点F，
则∠OFD＝∠OFA＝90°，∠OHA＝90°，
∵∠A＝90°，OH＝OF，
∴四边形AHOF是正方形，
∵的半径为4，且，
∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10，
∴DF＝10－4＝6，
∵与相切于点，
∴DE＝DF＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，切线长定理，证明四边形AHOF是正方形，求出DF是解题的关键．
5．D【分析】根据切线的定理可判断A，作于，可证四边形为正方形，即可判断B；根据为钝角三角形即可判断C；根据四边形的对角即可判断D．
【详解】解： ，是切点，
根据切线定理可知，故选项A正确，不满足题意；
作交于，
是的内切圆，
为切点，,
为切点，
,
四边形为正方形，
，故选项B正确，不满足题意；
由题可知为钝角三角形，
的外心在的外面，故选项C正确，不满足题意；
,
,
,
四边形有外接圆,故选项D错误，满足题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查切线的性质，正方形的判定与性质，三角形的外心，四边形的外接圆，掌握相关定理与概念是解题的关键．
6．D【分析】根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形内角和可计算出∠AOB=108°，通过圆周角定理得出∠ACB的度数，最后通过圆内接四边形的性质得出∠ADB的度数．
【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°-72°=108°，
∴，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-54°=126°，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．
7．B【分析】根据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，由AE＝BE，∠ABE＝∠CBE＝36°，可得点F是三角形角平分线的交点，进而可以判断点F到△ABC三边的距离相等．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝36°，
∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∵BE、AD交于点F，
∴点F是三角形内角平分线的交点，
∴点F到△ABC三边的距离相等．
由已知条件均得不出A，C，D选项
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分三角形的内心与外心．
8．A【分析】根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解．
【详解】解：根据题意得：应先假设a2＋b2=c2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．
9．D【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是△ABC的内心，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
10．A【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，此时周长最小．根据切线性质和勾股定理可求出CD的值，再根据三角形的周长公式可以算出最小值．
【详解】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时周长最小．
设AB于⊙O相切于点F，连接OF，则．
．
．
．
且OC为⊙O的半径．
是⊙O的切线．
．
．
．
即：．
解得：．
．
的周长最小值为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、轴对称最短路线等问题，解题的关键在于正确找到M点位置．
11．35【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可求解．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
12．四边形ABCD是平行四边形【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．
13．8【分析】根据条件分析点B的运动轨迹为以A为圆心，以AB长度为半径的圆，作出B的运动轨迹，过点B作直线l⊥AB，交于C，D两点，此时CD为圆的弦，要使取最大值，即CD为直径时，此时在根据勾股定理计算OB即可．
【详解】解：如图所示，是点B的运动轨迹，
过点B作直线l⊥AB，交于C，D两点，此时CD为圆的弦，要使取最大值，即CD为直径时，
∵CD⊥AB，
∴△AOB是直角三角形，
∴，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查圆的弦最大情况，根据题意，将图形画出，进而将线段长问题转化成为圆的弦最值问题，结合勾股定理计算即可．
14．外【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得
【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
∵，，
∴d>r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系．
15．【分析】连接，先根据点与圆的位置关系可得当点为与的交点时，取得最小值，再根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后利用点到直线的距离公式可得的长，由此即可得．
【详解】解：的半径为1，
，
如图，连接，
则当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
直线的表达式为，的坐标为，
的最小值为，
则的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时，点的位置是解题关键．
16．(1)60°
(2)45°
【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，则∠BCE=90°-60°=30°，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE=30°，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可计算出∠EAC =15°，然后由∠BAC=∠BAE+∠EAC即可求解．
（1）
解：连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
由圆周角定理得，∠ACB=∠AOB=60°；
（2）
解：连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
由（1）知∠ACB=60°，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴∠BAE=∠BCE=30°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=15°．
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+15°=45°．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证；
（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解．
（1）
证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°．
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA=90°．
∴∠AFD=∠CED=90°．
在△DAF和△DCE中，，
∴△DAF≌△DCE（AAS）．
∴AF=CE．
（2）
解：如图，连接AH，DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD=∠DFA=90°．
∵AD=AB，，
∴．
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，
∴AD2－AF2=BD2－BF2．
∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．
∴．
∴AD=5．
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
18．(1)B（1，）；C（0，）
(2)
(3)
【分析】(1)连接AC，作BG⊥OA于G，如图，根据等边三角形的性质得OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根据含30°的直角三角形求出OH，BH，然后在Rt△OAC中求出OC的长，即可写出B、C坐标；
（2）由∠AOC=90°，得出AC是圆的直径，再根据CD是圆的切线，得CD⊥AC，由∠OCD=30°，计算出得到D点坐标为（，0），然后用待定系数法求CD的函数解析式；
（3）先求出AB、OA、OD、CD、BC、OC的长，得出四边形ABCD的周长，设AE=t，△AEF的面积为S，得出S的二次函数，根据点E、F分别在线段AB、AD上，求出t的取值范围，再利用二次函数的最值求取S的最大值时AE的长．
（1）
解：∵A（2，0），
∴OA=2．
连接AC，作BG⊥OA于G，
∵△OAB为正三角形，
∴OG=1，，
∴B（1，），
∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，
∴，
∴C（0，）；
（2）
∵∠AOC=90°，
∴AC是圆的直径，
又∵CD是圆的切线，
∴CD⊥AC，
∴，，
∴D（，0），
设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得 ，
∴直线CD的解析式为；
（3）
∵AB=OA=2，，，，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=．
设AE=t，△AEF的面积为S，过点E作于点H，
则，，
，
∵，
又∵点E、F分别在线段AB、AD上，
∴ ，
∴，
∴当时，，
即当时，△AEF的面积取最大值．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、切线的性质定理、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用等知识，综合性强，解题关键是熟练掌握相关性质，并用数形结合的思想分析问题．
19．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）在Rt△ODB中，根据勾股定理求得BO，得到BC＝16，然后，在Rt△ACB中，根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程即可．
（1）证明：连接OD．∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵DE//OA，∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD．在△AOD和△AOC中，，∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝12，∴OE＝OD＝OC＝6，在Rt△ODB中，BD＝8，OD＝6，BD2＋OD2＝BO2，∴BO＝10，∴BC＝BO＋OC＝16．∵⊙O与AB和AC都相切，∴AD＝AC．在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，即：AC2＋162＝（AC＋8）2，解得：AC＝12．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关性质定理是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页