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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，2，3 B． C． D．9，12，15
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=8cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在ABC中，∠B= 90°，AB=2，BC=4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．8 B．16 C．20 D．25
4．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．如图，在中，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.2 C．1.25 D．1.5
6．已知的直角边分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．6 C． D．
7．如图所示，一个圆柱体高，底面直径一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．5cm B．10cm C．12cm D．
8．下列三个数是勾股数的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17 B．34 C．77 D．86
10．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．在平面直角坐标系中有两点和点，则这两点之间的距离是____________．
12．如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是______海里．
13．如图，将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为8，则_________．
14．如图，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 _____m．
15．如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则______．
三.解答题：（共55分）
16．（7分）如图，在中，，，，求b．
17．（8分）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m（AC＝0.5m），求梯子底端B外移的距离（BD的长）．
18．（7分）如图，已知在中，，若，，求BC的长．
19．（8分）已知中，
(1)在4×4的网格中画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
(2)在（1）中的网格里找一点D（在方格的顶点上使得的面积与的面积相等（只需画出一个）
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=12，AB=13．求斜边上的高CD长．
21．（8分）如图，在中，，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求AD的长．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB于点D，求：
(1)的长．
(2)的面积．
(3)的长．
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，2，3 B． C． D．9，12，15
解：A.12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B.22+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C.（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数.故不符合题意；
D.92+122=152，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意．
故选：D．
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=8cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
解：如下图，
∵∠C＝90°，
∴，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴，
∴BC=6，
∴．
故选：A．
3．如图，在ABC中，∠B= 90°，AB=2，BC=4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．8 B．16 C．20 D．25
解：∵∠B= 90°，AB=2，BC=4，
∴
∴正方形ADEC面积为20．
故选：C．
4．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故选：A．
5．如图，在中，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.2 C．1.25 D．1.5
解：在中，，，
，
，
，
，
解得，
又，
，
，
故选：B．
6．已知的直角边分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．6 C． D．
解：如图，，，
，
作于，
，
，
．
故选：C．
7．如图所示，一个圆柱体高，底面直径一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．5cm B．10cm C．12cm D．
解：在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即×π×=3（cm），
∵BC=4cm，AC=3cm，
根据勾股定理得：AB==5（cm），
∴要爬行的最短路程是5cm．
故选：A．
8．下列三个数是勾股数的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
解：A.，所以..不是勾股数，故选项不符合题意；
B...不是三个正整数，所以..不是勾股数，故该选项不符合题意；
C.，所以..不是勾股数，故该选项不符合题意；
D.，所以..是勾股数，故该选项符合题意．
故选：D．
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17 B．34 C．77 D．86
解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A.B的面积和为S1，C.D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝77．
故选：C．
10．如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
解：如图，将圆柱展开：
∵圆柱高8cm，底面周长为12cm，
∴BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝＝10（cm），
即爬行的最短路程是10cm，
故选：D．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．在平面直角坐标系中有两点和点，则这两点之间的距离是____________．
解：∵在平面直角坐标系中有两点和点，
∴A，B两点间的距离是，
故答案为：．
12．如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是______海里．
解：由题意可得，(海里)，(海里)，
(海里)．
此时两艘轮船之间的距离是海里．
故答案为：．
13．如图，将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面积为8，则_________．
解：如图，过点A作于点H，
设，
则，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
14．如图，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 _____m．
解：如图：
∵BC＝6米，AC+AB＝9米，∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
设AB＝x米，则AC＝（9﹣x）米，
即x2+62＝（9﹣x）2，
解得：x＝2.5，
∴AB＝2.5米，
∴折断处的高度AB为2.5米．
故答案为：2.5米．
15．如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则______．
解：如下图，连接BE，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴BE=EG，
∵，，
∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，
∵在Rt△ABC中，，，
∴AE2+AB2=BE2即，
∴AE=1，
故答案为：1．
三.解答题：（共55分）
16．（7分）如图，在中，，，，求b．
解在中，
∵，，
∴
17．（8分）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m（AC＝0.5m），求梯子底端B外移的距离（BD的长）．
解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，（m）
∴OB＝1.5m．
(m)．
在Rt△COD中，，(m)，
∴OD＝2m，
∴BD＝OD－OB＝2－1.5＝0.5(m)，
∴梯子底端B外移的距离为0.5m．
18．（7分）如图，已知在中，，若，，求BC的长．
解：∵中，，，，
∴．
19．（8分）已知中，
(1)在4×4的网格中画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
(2)在（1）中的网格里找一点D（在方格的顶点上使得的面积与的面积相等（只需画出一个）
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，点即为所求（答案不唯一，图中黑点都可以）．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=12，AB=13．求斜边上的高CD长．
解：在Rt△ABC中，BC=12，AB=13，
由勾股定理得∶，
又∵，
∴．
21．（8分）如图，在中，，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求AD的长．
（1）解：根据作图可知BD=BC，∵，，
∴．
∵，
∴
∴；
（2）根据作图可知AD=AE， BD=BC，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB于点D，求：
(1)的长．
(2)的面积．
(3)的长．
（1）解：∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC==8(cm)；
（2）解：S△ABC=BC AC=×6×8=24（cm2）；
（3）解：∵S△ABC=BC AC=CD AB，
∴CD=（cm）．
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