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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第二章：一元二次方程
一．选择题：（每小题3分共30分）
1．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
解：∵
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选D．
3．设x1，x2是方程x2﹣3x-3＝0的两个实数根，则x12x2＋x1x22的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
解：∵x1，x2是方程x2﹣3x-3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝-3，
则原式＝x1x2 （x1＋x2）＝-3×3＝-9．
故选：B．
4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：D．
5．用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：C．
6．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的40元降到28元，若设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据意题可列方程为（ ）
A． B． C． D．
解：设平均每次降价的百分率为x，意题可列方程为：，
故选：B．
7．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有方田一叚，圆田一叚，共积二百五十二步，只云方面圆径适等；问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等；问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则所列方程可以为（ ）
A． B． C． D．
解：设正方形田的边长为x，则圆的半径等于，则所列方程可以为，
，
故选D．
8．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7人 B．49人 C．121人 D．512人
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：1+x+x(1+x)=64，
整理得，(x+1)2=64，
解得x=7或x= 9(舍去)，
故每轮传染中平均一个人传染了7人，
则经过三轮传染后患流感的人数为：(人)，
故选：D．
9．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降为x，下列所列的方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2＝5000 B．5000（1+x）2＝6000
C．6000（1﹣x）2＝5000 D．5000（1﹣x）2＝6000
解：依题意得：6000（1﹣x）2＝5000．
故选：C．
10．关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个．
①若中不含项，则；
②不论取何值，总有；
③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为；
④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：，
若中不含项，则，
，故①正确；
当时，，，此时，故②错误；
若关于的方程的两个解分别为，，则，
，
当时，的最小值是，故③正确；
由得，
或，
由得，
△，
有两个不相同的实数根，
由得，△，
有两个不同的实数根，
始终有4个不相同的实数解，故④正确，
正确的有①③④，共3个，
故选：C．
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．关于的方程是一元二次方程，则______．
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k+1=2，
解得k=1，
故答案为：1．
12．方程的解是______．
解：
x(x-1)=0
，
故答案为：．
13．已知是一元二次方程的一个实数根，则______．
解：把x＝1代入方程有：
a 2＋4 ＝0，
即 a 2＝0，
（a 2）（a＋1）＝0，
解得a＝2或a＝ 1，
∵a 2≠0，
∴a≠2，
∴a＝ 1．
故答案为： 1．
14．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．
解：根据题意得，
∴，
∴，
∴（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，
∴2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，
解得m1=﹣3，m2=4．
故答案为：﹣3或4．
15．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a.k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为_______．
解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，
∴或，
∴，，
故答案为：，；
（2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，
得：，
解得：，，
代入a(x+3k) +2022=0得，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)（配方法）
(3)；
(4)
（1）
解：，
∴，
∴或，
解得：；
（2）
解：
，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
（3）
解：，
∴，
∴，
解得：；
（4）
解：
∴，
∴，
即，
∴或，
解得：
17．（6分）已知关于的一元二次方程．
(1)判断该方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求的值．
（1）
解：∵
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）
设方程的两根为，则有，
∵方程的两个实数根之和等于两根之积，
∴，
解得：．
18．（7分）某种农产品今年3月底价格是15元/千克，由于受到新冠肺炎疫情的影响，进入4月份后，价格下降．从5月份开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个月，该农产品的价格可望上升到每千克14.4元，求这两个月该农产品价格的月平均增长率．
解：设这两个月该农产品价格的月平均增长率为x，
该农产品下降后的价格为：
（元/千克）．
由题意得
，
解得（不合题意，舍去），，
答：这两个月该农产品价格的月平均增长率为20%．
19．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变商家想尽快销售完该款商品，求每件的定价以及此时的日销售量．
解：设每件定价为x元，则此时的日销售量为件，
根据题意，列方程，
解得，（不合题意，舍去），
（件），
答：每件定价为50元，则此时的日销售量为40件．
20．（8分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)已知每台设备成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
（1）
解：把，代入
∴
∴
∴
即年销售量y与销售单价x的函数关系式为．
（2）
解：根据题意得：
解得：．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
(1)求∠DCE的度数．
(2)设BC=a，AC=b．
①线段BE的长是关于x的方程的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
（1）
解：∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE=90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°，
∴90°+2∠DCE=180°，
∴∠DCE=45°．
（2）
解：①线段BE的长是关于x的方程的一个根．理由如下：
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∴线段BE的长是关于x的方程的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得： ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（50，0），点B坐标为（0，6），过点B在第一象限内作x轴的平行线BC，动点M从点B出发以2个单位/秒的速度沿射线BC方向运动，M出发1秒后，动点P从点O出发，以固定的速度沿x轴向点A运动，点P到达A点后停止运动．如图是的面积随P点运动时间t变化的函数图象：
(1)其中a＝______；
(2)点P的运动速度是______个单位/秒；
(3)求点P到达A点前，是等腰三角形时相应的t值．
（1）
解：∵点A坐标为（50，0），点B坐标为（0，6），
∴OA=50，OB=6，
∴，
故答案为：150；
（2）
解：由图知，点P的运动速度为50÷10=5（个单位/秒），
故答案为：5；
（3）
解：由题意，OP=5t，BM=2（t+1）=2t+2，
∴P（5t，0），M（2t+2，6），
∴，，
当OM=MP时，OP=2BM，
∴2（2t+2）=5t，解得：t=4；
当OM=OP时，，
解得：或（舍去）；
当MP=OP时，，
解得：或t=－2（舍去），
综上，满足条件的t值为4或或．
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第二章：一元二次方程
一．选择题：（每小题3分共30分）
1．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
3．设x1，x2是方程x2﹣3x-3＝0的两个实数根，则x12x2＋x1x22的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
5．用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
6．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的40元降到28元，若设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据意题可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有方田一叚，圆田一叚，共积二百五十二步，只云方面圆径适等；问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等；问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则所列方程可以为（ ）
A． B． C． D．
8．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7人 B．49人 C．121人 D．512人
9．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降为x，下列所列的方程正确的是（ ）
A．6000（1+x）2＝5000 B．5000（1+x）2＝6000
C．6000（1﹣x）2＝5000 D．5000（1﹣x）2＝6000
10．关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个．
①若中不含项，则；
②不论取何值，总有；
③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为；
④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．关于的方程是一元二次方程，则______．
12．方程的解是______．
13．已知是一元二次方程的一个实数根，则______．
14．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．
15．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a.k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为_______．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）解下列方程：
(1)；(2)（配方法）(3)；(4)
17．（6分）已知关于的一元二次方程．
(1)判断该方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求的值．
18．（7分）某种农产品今年3月底价格是15元/千克，由于受到新冠肺炎疫情的影响，进入4月份后，价格下降．从5月份开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个月，该农产品的价格可望上升到每千克14.4元，求这两个月该农产品价格的月平均增长率．
19．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变商家想尽快销售完该款商品，求每件的定价以及此时的日销售量．
20．（8分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)已知每台设备成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
(1)求∠DCE的度数．
(2)设BC=a，AC=b．
①线段BE的长是关于x的方程的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（50，0），点B坐标为（0，6），过点B在第一象限内作x轴的平行线BC，动点M从点B出发以2个单位/秒的速度沿射线BC方向运动，M出发1秒后，动点P从点O出发，以固定的速度沿x轴向点A运动，点P到达A点后停止运动．如图是的面积随P点运动时间t变化的函数图象：
(1)其中a＝______；
(2)点P的运动速度是______个单位/秒；
(3)求点P到达A点前，是等腰三角形时相应的t值．
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