人教A版选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习（Word含答案）

1.2　空间向量基本定理
基础过关练
题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解
1.(多选)(2022福建三明尤溪第五中学月考)给出下列命题,其中正确的有(　　)
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线
C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等
D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
2.(2021山东济宁检测)已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则不能与a,b共同构成空间向量的一个基底的向量是(　　)
A.　　　　　　　B.
C.　　　　　　　D.以上都不能
3.(2022吉林白城一中段考)已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,则能使向量,,成为空间的一个基底的关系是(　　)
A.
B.=+
C.=++
D.=2-
4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有(　　)
A.1个　　　　　B.2个　　　　　C.3个　　　　　D.4个
题组二　空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量
5.(2020安徽淮北一中期中)已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量=a,=b,=c,则=(　　)
A.c
B.c
C.c
D.c
6.已知a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=αa+βb+
λc,则α,β,λ的值分别为　　　　　　　.
7.(2020江苏扬州邗江中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　.
8.(2022湖北武汉育才高级中学月考)如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,延长AG交BC于M,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为基底表示,则=　　　　　　.
题组三　利用空间向量基本定理解决立体几何问题
9.化学中,将构成粒子(原子、离子、分子等)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点),则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　.
10.(2022河北石家庄冀明中学月考)在正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示向量,则=　　　　,异面直线DM与CN所成角的余弦值为　　　　.
11.(2021山东师大附中月考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=3,AB=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示;
(2)已知O为体对角线A1C的中点,求CO的长.
12.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EFG∥平面ABD.
答案全解全析
基础过关练
1.BD　空间中共面的三个向量不能作为基底,故A错误;
两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,说明a,b与任何一个向量都共面,故a∥b,故B正确;
空间向量的基底不唯一,只要是不共线的三个向量都可以作为基底,故C错误;
{a,b,c}是空间的一个基底,即a,b,c不共面,由m=a+c知m,a,c共面,故b与m,a不共面,则{a,b,m}是空间的一个基底,故D正确.
故选BD.
2.C　=(++)-(+-)=(a-b),∴与a,b共面,
∴不能与a,b共同构成空间向量的一个基底.
易知,均能与a,b共同构成空间向量的一个基底.故选C.
3.C　只有不共面的向量才可以构成空间的一个基底.对于A,由=x+y+z(x+y+z=1),知M,A,B,C四点共面,故,,共面;对于B,D,由共面向量定理知,,共面.故选C.
4.C　借助长方体进行判断,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c不共面,故选C.
方法归纳
判断给出的某一个向量组中的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.
5.C　连接ON,=+=×(+)+×=++
=a+b+c.故选C.
6.答案　,-1,-
解析　由题意知e1+2e2+3e3=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+λ(e1-e2+e3)=
(α+β+λ)e1+(α+β-λ)e2+(α-β+λ)e3,
∴∴
7.答案　-a+b+c
解析　连接OG,则=+=(+)+(+)=(+)+
(+)++(+)+=++=-+
+=-a+b+c.
8.答案　--+
解析　连接AE.因为G为△ABC的重心,所以=.因为BE=3ED,所以BE=BD.所以=-=+-=+(-)-×
(+)=--+.
9.答案　
解析　设立方体的棱长为a.取{,,}为空间向量的一个基底,其中<,>=90°,<,>=90°,<,>=90°,
=-=-=-,=+=+.
设BF与B1E所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|=
===,∴BF与B1E所成角的余弦值为.
10.答案　a+b-c;
解析　连接AM,则=+=-+(+)=a+b-c,
=-=-=a-b.
设正四面体的棱长为1.
易知|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=.
设异面直线DM与CN所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|====.
11.解析　(1)=++=-+-=---=-c-b-a.
(2)由题意知|a|=2,|b|=2,|c|=3,
a·b=0,a·c=2×3×=3,b·c=2×3×=3.
∵==(a+b+c),
∴||=
=
==.
12.证明　(1)易得=+=+,=+=-
.
∵·=·=0,
·=·=-=0,
∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,
又BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
(2)连接B1G.易得=-=(+)-=+-
,=-=(+)-=.
∵·=+·+-=-=0,
·=·=0,
∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,又EG∩FG=G,
∴B1D⊥平面EFG.又B1D⊥平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD.
8