人教A版选择性必修第一册 1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示同步练习（Word含答案）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一　空间向量的坐标表示
1.(多选)(2022黑龙江齐齐哈尔八中期中)下列命题正确的是(　　)
A.点(1,-2,3)关于平面Ozx的对称点为(1,2,3)
B.点关于y轴的对称点为
C.点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1
D.设i,j,k分别是x,y,z轴上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)
2.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)已知点A(1,1,-3),B(3,1,-1),则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(　　)
A.(-2,1,-2)　　　　　　　B.(2,1,-2)
C.(2,-1,-2)　　　　　　　D.(2,1,2)
3.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是　　　　.
题组二　空间向量运算的坐标表示
4.(2021辽宁辽阳检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=(　　)
A.(-4,1,0)　　　　　　　B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0)　　　　　　　D.(4,-1,-4)
5.(2022河北任丘第一中学月考)设O为坐标原点,M(5,-1,2),A(4,2,-1),若=,则点B的坐标为(　　)
A.(-1,3,-3)　　　　　　　B.(9,1,1)
C.(1,-3,3)　　　　　　　D.(-9,-1,-1)
6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面,则x=　　　　.
7.(2021天津静海检测)若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b=　　　　.
题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
8.(2020浙江台州期末)已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,那么(　　)
A.a=3,b=-3　　　　　　　B.a=6,b=-1
C.a=3,b=2　　　　　　　 D.a=-2,b=1
9.(多选)(2022河北部分名校期中)已知a=(1,-1,1)是直线l1的一个方向向量,b=(2,2,-2)是直线l2的一个方向向量,则下列说法不正确的是(　　)
A.a·b=(2,-2,-2)
B.l1∥l2
C.l1⊥l2
D.直线l1,l2夹角的余弦值为
10.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k=(　　)
A.
C.2
11.已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　)
A.
12.(2022天津河东期中)已知=(-2,3,5),=(4,1,a),=(6,
b,-2).
(1)若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值;
(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.
题组四　利用空间向量的坐标运算求夹角和模
13.(2022河北沧州东光第一中学月考)已知向量a=(1,2,3),|c|=,若a·c=-7,则a与c的夹角为(　　)
A.30°　　　　　B.60°　　　　　C.120°　　　　　D.150°
14.若△ABC的三个顶点分别为A(0,0,
),则角A的大小为　　　　.
15.(2022重庆万州第二高级中学月考)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||=　　　　.
16.已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若=(2,a,1),且·=1,求a的值,并求此时向量夹角的余弦值.
17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求正三棱柱的侧棱长;
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
能力提升练
题组一　空间向量的坐标运算
1.(2021山东师范大学附属中学月考)已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a上的投影向量为(　　)
A.
C.
2.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为(　　)
A.
C.
3.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成角为锐角,则实数k的取值范围为　　　　　　.
题组二　空间向量的平行和垂直问题
4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量m=(-1,x,2),n=(1,3,y)
(x>0,y>0),若m⊥n,则xy的最大值是(　　)
A.
C.
5.(2021江西新余一中、宜春一中联考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是(　　)
A.平行　　　　　　　 B.相交
C.异面垂直　　　　　　　D.异面不垂直
6.(2022广东东莞四中期中)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,N为侧面DCC1D1内的动点(包括边界),若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D的体积的最小值为(　　)
A.
7.(多选)(2020海南海口海南中学月考)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是(　　)
A.　　　　　　　 B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1　　　　　　　 D.AP∥平面A1C1D
题组三　空间向量的夹角和模问题
8.(2022河南中原名校联考)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(　　)
A.
C.
9.(2020四川内江三模)如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为,则该几何体的体积为(　　)
A.16+8π　　　　　　　B.32+16π
C.32+8π　　　　　　　D.16+16π
10.(2022山东省实验中学月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为(　　)
A.
C.
11.(2020山西太原第五中学月考)如图,以棱长为1的正方体的三条共顶点的棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;
(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.ABD　根据“关于谁对称谁不变”知A,B正确;(2,-1,3)到平面Oyz的距离为2,∴C错误;根据空间向量坐标的定义,知D正确.
2.A　由题意得M(2,1,-2),∴点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(-2,1,-2).故选A.
3.答案　
解析　由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐标公式得点G的坐标为.
4.C　因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.
5.B　设B(x,y,z),由=得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),
∴∴∴点B的坐标为(9,1,1).
6.答案　3
解析　由A,B,C,D四点共面,知 λ,μ∈R,使得=λ+μ,
又=(1,1,1),=(1,2,-1),=(x,4,1),
故解得
7.答案　-2
解析　易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.
8.C　易得=(1,-1,3),=(a-1,-2,b+4),
∵与共线,∴=λ,
∴(a-1,-2,b+4)=(λ,-λ,3λ),
∴解得故选C.
9.ABC　a·b=1×2+(-1)×2+1×(-2)=-2,所以A中说法不正确;
设a=λb,则(1,-1,1)=λ(2,2,-2),即无解,所以B中说法不正确;
因为a·b=-2≠0,所以l1与l2不垂直,所以C中说法不正确;
|cos|==,所以D中说法正确.
故选ABC.
10.D　由题意得=(-6,1,2k),=(-3,2,-k).
∵∠C=90°,∴·=-6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=±.故选D.
11.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).
若OA⊥平面ABC,则⊥,⊥,
即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=.故选D.
12.解析　(1)因为=(-2,3,5),=(4,1,a),且≠,所以,不共线.
由四边形ABCD为平行四边形,知=+,
所以(4,1,a)=(-2,3,5)+(6,b,-2),
所以a=3,b=-2.
(2)由题意得=-=(8,b-3,-7).
因为四边形ABCD的对角线互相垂直,所以·=0,即32+b-3-7a=0,亦即7a-b-29=0.
13.C　|a|==,所以cos==-,
所以=120°.
14.答案　30°
解析　由题意知=,=(-1,0,0),所以||=1,||=1,所以cosA===,故角A的大小为30°.
15.答案　
解析　设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z).
由=2,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
∴x=-,y=,z=3,∴P,
故=,∴||=.
16.解析　(1)由题意得D(1,2,1),∴=(1,1,-1),
∴||==,即线段AD的长为.
(2)易知=(1,-2,1),∴·=2-2a+1=1,解得a=1,
∴=(2,1,1).
∴cos<,>===,
即向量与夹角的余弦值为.
17.解析　(1)设正三棱柱的侧棱长为h.
由题意得A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),B1(,0,h),C1(0,1,h),则=(,1,h),=(-,1,h).因为AB1⊥BC1,所以·=-3+1+h2=0,所以h=(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为.
(2)由(1)可知=(,1,),=(-,1,0),
所以·=-3+1=-2,||=,||=2,
所以cos<,>==-.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
能力提升练
1.B　∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),
∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2,
向量a方向上的单位向量e==,
∴向量b在a上的投影向量为e==.故选B.
2.C　因为点Q在直线OP上运动,所以∥.
设=t,则Q(t,t,2t),
所以=(1-t,2-t,3-2t),=(2-t,1-t,2-2t),
所以·=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)=6t2-16t+10
=6-,故当t=时,=-,此时Q.故选C.
3.答案　
解析　易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).
由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线,
∴1-k+2+4k>0,且==不成立,
解得k>-1且k≠,
∴实数k的取值范围为.
4.D　由题意得m⊥n=-1×1+3x+2y=0,即3x+2y=1.
因为x>0,y>0,所以1=3x+2y≥2,解得xy≤,当且仅当3x=2y=,即x=,y=时取等号.故选D.
5.C　建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),∴=(-1,0,-2),=(-2,0,1).∵·=0,∴直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C.
6.B　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C(0,1,0),M.
设N(0,a,b),0≤a≤1,0≤b≤1,∴=(-1,1,-1),=.
∵MN⊥A1C,∴·=+a-1-b=0,即a-b=,∴b=a-,≤a≤1.
易知点N到平面AA1D的距离为其纵坐标的绝对值,∴=··|a|=|a|.
∴≤≤.故选B.
7.BD　∵P在侧面BCC1B1上运动,平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,即为正方体的棱长,∴=·CD=××1×1×1=,故A中结论错误.
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),B(1,1,0),D1(0,0,1),
B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(x-1,1,z),=(-1,-1,1),=(-1,0,-1).
∵AP⊥BD1,∴·=1-x-1+z=0,∴x=z,
∴P(x,1,x),∴=(x,0,x),∴=-x,即B1,P,C三点共线,∴P必在线段B1C上,故B中结论正确.
易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=(x-1,1,x),
∴·=1-x+x=1,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误.
易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(-1,1,0),=(1,0,1),又=(x-1,1,x),∴=x+(其中0≤x≤1),∴,,共面,又AP 平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确.故选BD.
8.B　取AC的中点O,连接OP,OB.
∵PA=PC,∴AC⊥OP.
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴OP⊥平面ABC.
∵AB=BC,∴AC⊥OB.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为等边三角形,
∴A(2,0,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),D(,,0),
∴=(-4,0,0),=(,,-2),
∴cos<,>===-.
∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为.故选B.
9.A　设D在底面半圆上的射影为D1,连接AD1,交BC于点O,连接A1D,交B1C1于点O1.
依题意知AD1⊥BC,A1D⊥B1C1,O,O1分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接OO1,则OO1与上、下底面垂直,所以OO1⊥OB,OO1⊥OA.
以OB,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设几何体的高为h(h>0),则B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0),B1(2,0,h),所以=(-2,-2,h),=(2,-2,h).
由于异面直线BD和AB1所成角的余弦值为,
所以|cos<,>|===,即=,所以h=4(负值舍去).
所以几何体的体积为×π×22×4+×4×2×4=16+8π.故选A.
10.A　以点A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则E,G.
设F(x,0,0)(0所以=,=.
由于GD⊥EF,所以·=-x-y+=0,即x+2y-1=0.所以x=1-2y,y∈,所以|DF|===
=∈.故选A.
11.解析　(1)由PB=2AP得P,
所以M,所以|PM|==.
(2)由题意得P.设点Q(a,1,a),a∈[0,1],则|PQ|===,所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q的坐标为.
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